AMC 10 · 2003 · #1

쉬운 모드 학년 3

문제

숫자 목록이 두 개 있어요. 첫 번째 목록은 짝수를 세는 수예요: $2, 4, 6$ , 이렇게 $2003$ 번째까지요. 두 번째 목록은 홀수를 세는 수예요: $1, 3, 5$ , 이렇게 $2003$ 번째까지요. 첫 번째 목록의 수를 모두 더하고, 두 번째 목록의 수도 모두 더해요. 첫 번째 합은 두 번째 합보다 얼마나 클까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

2003

(E)

4006

AMC 10 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 처음 $2003$개의 짝수의 합에서 처음 $2003$개의 홀수의 합을 뺀다. 그 차를 구하라.

주어진 것: 처음 $2003$개의 짝수: $2, 4, 6, \dots, 4006$; 처음 $2003$개의 홀수: $1, 3, 5, \dots, 4005$; 선택지: (A) $0$, (B) $1$, (C) $2$, (D) $2003$, (E) $4006$

구하는 것: (짝수들의 합) $-$ (홀수들의 합)의 값

이해

문제 재정리: 처음 $2003$개의 짝수의 합에서 처음 $2003$개의 홀수의 합을 뺀다. 그 차를 구하라.

주어진 것: 처음 $2003$개의 짝수: $2, 4, 6, \dots, 4006$; 처음 $2003$개의 홀수: $1, 3, 5, \dots, 4005$; 선택지: (A) $0$, (B) $1$, (C) $2$, (D) $2003$, (E) $4006$

계획

주요 도구: #5 패턴 찾기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기

$2003$개짜리 목록 두 개를 각각 더한 뒤 빼는 것은 양이 엄청나고 실수하기 쉽다. 도구 #5(패턴 찾기)로 두 목록이 나란히 간다는 것을 알아챈다: $2$는 $1$ 바로 뒤에, $4$는 $3$ 바로 뒤에 오는 식이다. 그래서 두 개의 거대한 합을 만드는 대신, 같은 자리끼리 짝을 지어 한 쌍씩 본다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 전체를 $2003$개의 아주 작은 뺄셈으로 바꾸는데, 그 결과가 모두 같다. 그다음 도구 #3(가능성 지우기)으로 답의 크기를 선택지와 견주어 확인한다.

실행 — 정답: D

#5 패턴 찾기 3.OA.D.9 단계 1

두 목록을 같은 자리끼리 짝짓기

각 목록을 먼저 다 더하는 대신, 목록을 나란히 놓고 같은 자리끼리 뺀다.
첫 번째 짝수는 첫 번째 홀수와, 두 번째는 두 번째와 짝을 짓는 식이다.
두 전체 합의 뺄셈은 자리별로 다시 묶을 수 있으므로, (짝수 합) $-$ (홀수 합)은 이렇게 짝지은 차들의 합과 같다: $(2-1)+(4-3)+(6-5)+\dots+(4006-4005)$.

$$\underbrace{(2-1)}_{}+\underbrace{(4-3)}_{}+\underbrace{(6-5)}_{}+\dots+\underbrace{(4006-4005)}_{}$$

💡 모든 짝수는 같은 자리의 홀수보다 정확히 한 칸 뒤에 있으므로, 한 쌍씩 비교하면 된다.

#7 작은 문제로 쪼개기 2.OA.B.2 단계 2

모든 쌍의 차는 정확히 1

한 쌍만 계산해 보자: $2-1=1$, $4-3=1$, $6-5=1$, 그리고 $4006-4005=1$까지.
각 짝수는 자기와 짝지어진 홀수보다 정확히 $1$ 크므로, 짝지은 차는 모두 $1$이다.
예외도 없고 중간에 달라지는 것도 없다.

$$2-1=1,\quad 4-3=1,\quad 6-5=1,\quad \dots,\quad 4006-4005=1$$

💡 연속한 자연수는 항상 $1$만큼 떨어져 있으므로, 짝수에서 홀수를 뺀 각 쌍은 그냥 $1$이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 3.OA.A.1 단계 3

2003개의 1을 더하기

이제 전체 차는 $1$이 $2003$개 더해진 것이다.
즉 $2003 \times 1 = 2003$이다.
따라서 처음 $2003$개의 짝수의 합은 처음 $2003$개의 홀수의 합보다 정확히 $2003$ 크며, 이것은 선택지 (D)이다.

$$\underbrace{1+1+\dots+1}_{2003\text{개의 }1}=2003\times 1 = 2003 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 $1$을 $2003$번 더하는 것은 곱하기와 같고, $2003\times 1$은 그냥 $2003$이다.

[1] #5 3.OA.D.9 각 목록을 먼저 다 더하는 대신, 목록을 나란히 놓고 같은 자리끼리 뺀다. 첫 번째 짝수는 첫 번째 홀수와, 두 번째는 두 번째와 짝을 짓는 식

[2] #7 2.OA.B.2 한 쌍만 계산해 보자: $2-1=1$, $4-3=1$, $6-5=1$, 그리고 $4006-4005=1$까지. 각 짝수는 자기와 짝지어진 홀수보다

[3] #7 3.OA.A.1 이제 전체 차는 $1$이 $2003$개 더해진 것이다. 즉 $2003 \times 1 = 2003$이다. 따라서 처음 $2003$개의 짝수의 합

검토

합리성 확인: 짝수 목록이 홀수 목록보다 크므로 차는 반드시 양수여야 한다 — 이것으로 (A) $0$이 지워진다. 각 짝의 차는 $2$가 아니라 $1$이므로, 총 벌어진 값은 한 쌍당 둘이 아니라 하나다. 이것으로 (E) $4006$이 지워지는데, 이는 각 쌍의 차가 $2$일 때 나오는 값이다. $2003$개의 쌍이 각각 $1$씩 기여하므로 차는 $2003$이고, 이는 (D)와 일치한다.

대안 접근: 합 공식을 쓰자. 처음 $n$개의 짝수의 합은 $n(n+1)$이고 처음 $n$개의 홀수의 합은 $n^2$이다. 그 차는 $n(n+1)-n^2 = n$이다. $n=2003$이면 차는 $2003$, 다시 선택지 (D)이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 3)

3.OA.D.9 Identify arithmetic patterns and explain using properties of operations (두 개의 큰 합을 짝지은 쌍으로 다시 묶고, 같은 자리에서 짝수가 항상 홀수보다 한 칸 뒤에 있음을 파악하는 데 사용.)
2.OA.B.2 Fluently add and subtract within 20 using mental strategies (각 짝의 차, 예를 들어 $2-1$, $4-3$을 계산하고 모든 쌍이 $1$임을 확인하는 데 사용.)
3.OA.A.1 Interpret products of whole numbers as total number of objects in groups ($1$이 $2003$개인 것을 $2003\times 1 = 2003$으로 읽어 최종 차를 구하는 데 사용.)

⭐ 긴 목록 두 개를 더해서 빼는 대신 짝을 지어라: 각 짝수는 짝인 홀수보다 딱 $1$ 크므로, $2003$쌍이면 차는 $2003$이다.