AMC 10 · 2013 · #14
학년 3 geometry-3d답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
모든 모서리를 한꺼번에 세면 헷갈리므로, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 전체를 두 개의 독립된 세기로 나눈다: 원래 정육면체의 모서리 중 몇 개가 살아남는가, 그리고 똑같이 생긴 8개의 꼭짓점 절단이 새 모서리를 몇 개 더하는가. 도구 #17(공간 상상하기)로 한 꼭짓점의 홈을 떠올려, 새로 드러난 정사각형 면 세 개가 정확히 9개의 모서리를 만든다는 것을 본다. 도구 #1(그림 그리기)로 그 한 꼭짓점을 그려서 새 면끼리 공유하는 모서리를 두 번 세지 않도록 한다. 8개의 꼭짓점이 모두 똑같으므로 한 곳만 신중히 세면 전체로 곱해진다.
원래 정육면체의 모서리 지키기
모서리 양 끝에서 단위 정육면체를 잘라내면 짧아질 뿐이므로 원래 모서리 12개는 모두 남는다.
막대의 양 끝을 다듬으면 짧은 막대 하나가 남지, 없어지거나 둘로 갈라지지 않는다.
2.G.A.1Visualize Spatial Relationships한 꼭짓점 절단이 드러내는 것 보기
작은 정육면체의 묻혀 있던 면이 드러나므로 꼭짓점마다 새 정사각형 면 3개가 열리고 안쪽 한 점에서 만난다.
꼭짓점을 정육면체 모양으로 한 입 베어 물면 그 자국의 안쪽 벽 세 개가 드러난다.
K.G.B.4Visualize Spatial Relationships그 꼭짓점에서 새 모서리 세기
정사각형 3개는 모서리 자리 3 × 4 = 12개지만 짝마다 하나씩 공유하므로 12 - 3 = 9개가 새 모서리다.
두 면이 맞닿는 곳은 모서리를 공유하므로 공유된 모서리는 한 번만 세어야 한다.
새로 생긴 두 면이 만나는 곳에서는 모서리를 공유하므로, 그 모서리는 두 번이 아니라 한 번만 세어야 한다.
▸ 왜?
각 면의 모서리를 그냥 더하면 공유된 것이 한 번보다 많이 세어지므로, 겹침을 덜어 내야 한다.
▸ 왜?
입체의 꼭짓점과 모서리와 면은 서로 묶여 있으므로, 올바른 모서리 셈은 앞뒤가 맞아야 한다.
여덟 꼭짓점 모두 더하기
똑같은 꼭짓점 8개가 8 × 9 = 72개를 더하고, 원래 12개와 합쳐 12 + 72 = 84, 즉 (D)이다.
똑같은 홈이 여덟 개이니 한 홈을 세어 곱하고, 건드리지 않은 모서리를 더하면 된다.
3.OA.D.8Identify Subproblems꼭짓점에서 정육면체를 잘라내도 원래 모서리는 사라지지 않는다. 새 모서리 9개짜리 작은 세 면의 홈이 하나 생길 뿐이고, 홈 여덟 개가 72개를 더한다.
- 원래 정육면체의 모서리 지키기
- 한 꼭짓점 절단이 드러내는 것 보기
- 그 꼭짓점에서 새 모서리 세기
- 여덟 꼭짓점 모두 더하기