AMC 10 · 2004 · #7

쉬운 모드 학년 4

문제

한 청과물 상인이 오렌지를 피라미드 모양으로 쌓습니다. 맨 아래층은 가로로 $5$ 개, 세로로 $8$ 개인 직사각형 모양입니다. 위층에 놓이는 오렌지는 각각 바로 아래층에 있는 네 개의 오렌지가 만드는 오목한 자리에 놓입니다. 맨 위는 오렌지 한 줄로 마무리됩니다. 이 오렌지 더미에는 오렌지가 모두 몇 개 있을까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

100

(D)

101

(E)

134

AMC 10 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 오렌지를 쌓는데 맨 아래층은 $5$개 곱하기 $8$개의 직사각형이다. 위층의 각 오렌지는 바로 아래 네 개의 오렌지가 만드는 오목한 자리에 놓인다. 이 쌓기는 한 줄짜리 오렌지로 마무리된다. 쌓은 오렌지의 총 개수를 구하여라.

주어진 것: 맨 아래층은 오렌지 $5$개 곱하기 $8$개의 직사각형이다.; 맨 아래층 위의 각 오렌지는 바로 아래 네 개의 오렌지가 만드는 오목한 자리에 놓인다.; 쌓기는 맨 위에서 한 줄짜리 오렌지로 마무리된다.; 선택지: (A) $96$, (B) $98$, (C) $100$, (D) $101$, (E) $134$

구하는 것: 쌓은 모든 층에 걸친 오렌지의 총 개수.

이해

계획

주요 도구: #17 공간 상상하기

보조 도구: #5 패턴 찾기, #7 작은 문제로 쪼개기

이 문제의 핵심은 기하 구조를 보는 것이다(도구 #17). 네 개의 오목한 자리에 놓인 오렌지는 네 오렌지가 만나는 빈틈 위에 놓이므로, 아래층의 줄과 줄 사이, 열과 열 사이에 자리한다. 그래서 새 층은 아래층보다 각 변을 따라 오렌지가 하나씩 적다. 이를 알고 나면 크기들이 뚜렷하게 줄어드는 패턴을 이룬다(도구 #5): $5\times8$, 그다음 $4\times7$, 그다음 $3\times6$ 등. 마지막으로 쌓기를 간단한 작은 문제들로 나눈다(도구 #7): 각 직사각형 층은 두 변의 길이를 곱해 세고, 그 층들을 더한다. 함정 답은 쌓기가 어떻게 끝나는지 잊거나 마지막 층을 잘못 세는 것이다.

실행 — 정답: C

#17 공간 상상하기 4.OA.C.5 단계 1

각 층이 변마다 하나씩 작아지는 이유 보기

아래 오렌지들을 줄과 열의 격자로 그려 보자.
다음 층의 오렌지는 네 오렌지가 만나는 오목한 자리로 떨어지므로 빈틈 위, 즉 두 줄 사이이자 두 열 사이의 가운데에 놓인다.
길이가 $m$인 변을 따라 있는 빈틈의 수는 $m-1$개이고, 길이가 $n$인 변을 따라서는 $n-1$개이다.
그래서 $m$ 곱하기 $n$인 층은 $(m-1)$ 곱하기 $(n-1)$인 층을 받친다.
즉 각 방향으로 하나씩 적다.

$$m \times n \text{ 층} \;\Rightarrow\; (m-1) \times (n-1) \text{ 위층}$$

💡 오렌지는 다른 네 오렌지 사이의 빈틈에 얹히고, 빈틈은 한 줄의 오렌지 수보다 항상 하나 적다.

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 2

모든 층의 크기를 나열하기

$5$ 곱하기 $8$인 바닥에서 시작해 다음 층마다 각 변을 $1$씩 줄인다.
크기는 $5\times8$, $4\times7$, $3\times6$, $2\times5$, $1\times4$이다.
짧은 변이 $5,4,3,2,1$로 줄어드니 다섯 층 만에 $1$에 이르고, $1\times4$가 바로 문제에서 말한 마무리하는 한 줄이다.
이로써 쌓기가 다섯 층이고 그 이상은 없음이 확인된다.

$$5{\times}8,\; 4{\times}7,\; 3{\times}6,\; 2{\times}5,\; 1{\times}4$$

💡 한 변이 $1$에 이를 때까지 줄이는 규칙을 따르면, 그것이 쌓기를 마무리하는 한 줄이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 3.OA.A.3 단계 3

각 층의 오렌지 세기

각 층은 직사각형이므로 오렌지 수는 두 변 길이의 곱이다.
각 쌍을 곱하면 $5\times8=40$, $4\times7=28$, $3\times6=18$, $2\times5=10$, $1\times4=4$이다.
이 다섯 수가 아래부터 위까지 각 층의 오렌지 수이다.

$$40,\; 28,\; 18,\; 10,\; 4$$

💡 직사각형 격자의 오렌지 수는 줄 수 곱하기 열 수일 뿐이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 3.NBT.A.2 단계 4

층을 모두 더해 총합 구하기

다섯 층의 수를 더한다: $40+28+18+10+4$.
쉽게 묶으면 $40+28=68$, 이어서 $68+18=86$, $86+10=96$, $96+4=100$이다.
그래서 쌓기에는 오렌지가 $100$개 있고, 이는 선택지 (C)이다.

$$40+28+18+10+4 = 100 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 총합은 각 층의 수를 모두 더한 것일 뿐이다.

[1] #17 4.OA.C.5 아래 오렌지들을 줄과 열의 격자로 그려 보자. 다음 층의 오렌지는 네 오렌지가 만나는 오목한 자리로 떨어지므로 빈틈 위, 즉 두 줄 사이이자 두

[2] #5 4.OA.C.5 $5$ 곱하기 $8$인 바닥에서 시작해 다음 층마다 각 변을 $1$씩 줄인다. 크기는 $5\times8$, $4\times7$, $3\times

[3] #7 3.OA.A.3 각 층은 직사각형이므로 오렌지 수는 두 변 길이의 곱이다. 각 쌍을 곱하면 $5\times8=40$, $4\times7=28$, $3\times

[4] #7 3.NBT.A.2 다섯 층의 수를 더한다: $40+28+18+10+4$. 쉽게 묶으면 $40+28=68$, 이어서 $68+18=86$, $86+10=96$, $9

검토

합리성 확인: 바닥만 해도 $5\times8=40$개이고 위 층마다 더 작아지므로, 총합은 $40$보다는 많되 크게 많지는 않아야 한다. 줄어드는 다섯 층이 $100$에 이르는 것은 알맞다. 바닥의 두 배가 조금 넘지만, 훨씬 더 많거나 큰 층이 필요할 $134$보다는 한참 아래다. 또 $96$(바닥에 대충 더한 값)보다 조금 위이고, 층별로 꼼꼼히 더하면 깔끔하게 $100$에 떨어지므로 (C)가 타당하고 (E)는 분명히 너무 크다.

대안 접근: 크기를 나열하는 대신 줄이는 규칙을 식으로 쓸 수 있다. 층들은 $k=1,2,3,4,5$에 대해 $(6-k)\times(9-k)$이다. 계산하면 $5\cdot8,4\cdot7,3\cdot6,2\cdot5,1\cdot4 = 40,28,18,10,4$이고, 다시 더하면 $100$이 나온다. 하나의 식 $\sum_{k=1}^{5}(6-k)(9-k)$로 쓰면 쌓기를 그리지 않고도 같은 총합을 확인할 수 있다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.OA.C.5 규칙에 따라 수 또는 도형 패턴 만들기 (네 개의 오목한 자리 기하를 각 층이 변마다 하나씩 작아진다는 규칙으로 바꾸고, 크기 $5\times8, 4\times7, 3\times6, 2\times5, 1\times4$를 만드는 데 사용.)
3.OA.A.3 $100$ 이내의 곱셈과 나눗셈 문장제 해결하기 (각 직사각형 층을 줄 수 곱하기 열 수로 세는 데 사용.)
3.NBT.A.2 $1000$ 이내에서 유창하게 더하고 빼기 (다섯 층의 수 $40+28+18+10+4$를 더해 총합 $100$을 구하는 데 사용.)

⭐ 각 오렌지는 아래 네 오렌지 사이의 빈틈에 얹히니 층마다 변이 하나씩 작아진다. 각 층의 두 변을 곱해 더하면 40+28+18+10+4 = 100.