AMC 10 · 2004 · #1

쉬운 모드 학년 4

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문제

극장의 모든 줄에는 좌석이 $33$ 개씩 있어요. 번호가 $12$ 번인 줄부터 $13$ 번, 그리고 계속해서 $22$ 번인 줄까지 모두 어떤 동아리를 위해 예약되어 있어요. 예약된 좌석은 모두 몇 개일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

297

(B)

330

(C)

363

(D)

396

(E)

726

AMC 10 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 어느 원형 극장의 모든 줄에는 $33$ 개의 좌석이 있습니다. $12$ 번째 줄부터 $22$ 번째 줄까지가 한 동아리를 위해 예약되어 있습니다. 예약된 좌석은 모두 몇 개인지 구하세요.

주어진 것: 각 줄에는 좌석이 $33$ 개 있습니다.; $12$ 번째 줄부터 $22$ 번째 줄까지가 예약되어 있고, 이 범위는 $12$ 번째 줄과 $22$ 번째 줄을 모두 포함합니다.; 선택지: (A) $297$, (B) $330$, (C) $363$, (D) $396$, (E) $726$

구하는 것: 예약된 줄들의 총 좌석 수.

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #3 가능성 지우기

이 문제는 두 개의 깔끔한 작은 문제로 나뉩니다(도구 #7): 먼저 $12$ 번째 줄부터 $22$ 번째 줄까지 몇 줄인지 세고, 그 줄 수에 각 줄의 좌석 $33$ 을 곱합니다. 유일한 진짜 함정은 포함 세기입니다 — $22-12=10$ 이라고 쓰면 $12$ 번째 줄 자체가 예약되어 있다는 것을 빠뜨립니다. 도구 #3(가능성 지우기)은 모든 오답이 특정 오세기임을 보여 줍니다: $330=10\times33$(하나 빠뜨림), $297=9\times33$, $396=12\times33$, $726=22\times33$.

실행 — 정답: C

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.A.3 단계 1

예약된 줄 수 세기

$12$ 부터 $22$ 까지의 정수를 양쪽 끝을 포함하여 세려면, 끝값끼리 빼고 $1$ 을 더합니다: $22-12=10$, 그리고 $10+1=11$.
여분의 $1$ 은 $12$ 번째 줄과 $22$ 번째 줄이 모두 예약되어 있기 때문에 필요합니다 — 그 사이 간격만 세는 것이 아닙니다.
그래서 예약된 줄은 $11$ 개입니다.

$$22-12+1 = 11$$

💡 양쪽 끝을 포함하는 수의 연속을 셀 때는 끝값끼리 빼고, 시작 줄을 위해 하나를 더합니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NBT.B.5 단계 2

줄 수에 줄당 좌석 곱하기

$11$ 개의 줄 각각에 좌석이 $33$ 개 있고 모든 줄의 크기가 같으므로, 총합은 $33$ 씩 $11$ 묶음입니다.
$11\times33 = 10\times33 + 1\times33 = 330 + 33 = 363$ 으로 계산합니다.

$$11\times33 = 330 + 33 = 363$$

💡 같은 크기 묶음은 곱셈으로: 줄 수 곱하기 줄당 좌석 수가 전체 좌석 수입니다.

#3 가능성 지우기 4.OA.A.3 단계 3

함정 선택지와 대조하기

총합 $363$ 은 선택지 (C)입니다.
가까운 선택지들은 저마다 특정 오세기와 일치합니다: $330$ (B)은 $12$ 번째 줄을 빼고 $10$ 줄만 세고, $297$ (A)은 $9$ 줄, $396$ (D)은 $12$ 줄, $726$ (E)은 $1$ 번째 줄부터 $22$ 번째 줄까지 모두 예약된 것처럼 $22\times33$ 을 셉니다.
오직 올바른 포함 세기인 $11$ 줄만 $363$ 을 주므로, 답은 (C)입니다.

$$11\times33 = 363 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 각 오답은 특정한 하나 차이 또는 초과 세기이므로, 줄 수를 정확히 세면 답이 정해집니다.

[1] #7 4.OA.A.3 $12$ 부터 $22$ 까지의 정수를 양쪽 끝을 포함하여 세려면, 끝값끼리 빼고 $1$ 을 더합니다: $22-12=10$, 그리고 $10+1=1

[2] #7 4.NBT.B.5 $11$ 개의 줄 각각에 좌석이 $33$ 개 있고 모든 줄의 크기가 같으므로, 총합은 $33$ 씩 $11$ 묶음입니다. $11\times33 =

[3] #3 4.OA.A.3 총합 $363$ 은 선택지 (C)입니다. 가까운 선택지들은 저마다 특정 오세기와 일치합니다: $330$ (B)은 $12$ 번째 줄을 빼고 $10

검토

합리성 확인: 빠른 어림: 약 열두 줄에 각 약 $33$ 좌석이면 대략 $12\times33\approx396$ 이므로, 총합은 $400$ 보다 조금 아래에 있어야 합니다. $363$ 은 이에 맞고, $726$(거의 두 배)과 $297$(줄이 너무 적음)은 맞지 않습니다. 정확한 포함 세기는 $11$ 줄이고, $11\times33=363$ 이 선택지 (C)를 확인해 줍니다.

대안 접근: 좌석을 인수분해하면 $33 = 3\times11$ 이므로 $11\times33 = 11\times11\times3 = 121\times3 = 363$ 입니다. 이 다른 곱셈 경로로 $363$ 에 이르면 $33$ 을 열한 번 다시 더하지 않고도 (C)를 확인합니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.OA.A.3 네 가지 연산으로 여러 단계 문장제를 해결한다 ("12번째 줄부터 22번째 줄까지"를 11줄의 포함 세기로 해석하고, 총합을 함정 답들과 대조하는 데 사용.)
4.NBT.B.5 네 자리 이하의 수를 한 자리 수와 곱한다 (예약된 11줄의 총 좌석 $11\times33=363$ 을 계산하는 데 사용.)

⭐ 첫 번째 줄부터 마지막 줄까지 세려면 두 수를 빼고 하나를 더하세요 — 그런 다음 각 줄의 좌석 수를 곱하면 됩니다.