AMC 10 · 2004 · #3

쉬운 모드 학년 4

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문제

제니는 연습할 때마다 바로 전 연습보다 자유투를 두 배씩 많이 넣어요. 다섯 번째 연습에서 자유투를 $48$ 개 넣었어요. 맨 처음 연습에서는 몇 개를 넣었을까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 제니는 연습할 때마다 자유투 성공 개수를 두 배로 늘린다. 다섯 번째 연습에서 $48$개를 성공했다. 첫 번째 연습에서 몇 개를 성공했는지 구하여라.

주어진 것: 매 연습마다 바로 전 연습보다 자유투를 두 배 많이 성공했다; 다섯 번째 연습에서 자유투 $48$개를 성공했다; 선택지: (A) $3$, (B) $6$, (C) $9$, (D) $12$, (E) $15$

구하는 것: 첫 번째 연습에서 성공한 자유투 개수

이해

계획

주요 도구: #11 거꾸로 풀기

보조 도구: #5 패턴 찾기

문제는 사슬의 끝(다섯 번째 연습, $48$)을 주고 시작(첫 번째 연습)을 묻는다. 도구 #11(거꾸로 풀기)이 정확히 맞다. 쌓아 올리는 대신 규칙을 한 단계씩 되돌리면 된다. 앞으로 가는 규칙이 "$2$ 곱하기"이므로 거꾸로 가는 규칙은 "$2$로 나누기"이다. 도구 #5(패턴 찾기)는 구조가 두 배씩 커지는 사슬임을 알려 주어, 다섯 번째에서 첫 번째까지 되돌아가는 단계가 정확히 네 번임을 알게 해 준다.

실행 — 정답: A

#5 패턴 찾기 4.OA.A.1 단계 1

두 배 사슬 보기

다섯 번의 연습을 순서대로 늘어놓는다.
각 연습은 바로 앞의 두 배이므로, 첫 번째에서 다섯 번째까지 "$2$ 곱하기" 규칙이 네 번 적용된다.
다섯 번째 연습은 사슬의 큰 끝인 $48$이고, 첫 번째 연습이 우리가 구하려는 작은 끝이다.

$$\text{1번째}\xrightarrow{\times2}\text{2번째}\xrightarrow{\times2}\text{3번째}\xrightarrow{\times2}\text{4번째}\xrightarrow{\times2}\text{5번째}=48$$

💡 "두 배 많이"는 $2$를 곱하는 도약이고, 첫 번째에서 다섯 번째까지 그 도약이 네 번 있다.

#11 거꾸로 풀기 3.OA.C.7 단계 2

두 배를 한 번 되돌리기

한 연습만큼 거꾸로 가려면 두 배를 되돌려 $2$로 나눈다.
다섯 번째 연습에서 네 번째 연습으로 거슬러 가면 $48\div2=24$이다.
그래서 네 번째 연습에서는 자유투 $24$개를 성공했다.

$$48\div2=24\ \text{(4번째 연습)}$$

💡 반으로 나누기는 두 배를 되돌리므로, $48$에서 한 단계 뒤는 $24$이다.

#11 거꾸로 풀기 3.OA.C.7 단계 3

첫 번째까지 계속 반으로 나누기

반으로 나누기를 반복해 앞의 연습들로 거슬러 올라간다.
네 번째에서 세 번째: $24\div2=12$.
세 번째에서 두 번째: $12\div2=6$.
두 번째에서 첫 번째: $6\div2=3$.
이렇게 첫 번째 연습까지 도달한다.

$$24\div2=12,\quad 12\div2=6,\quad 6\div2=3$$

💡 반씩 나눌 때마다 두 배가 하나씩 벗겨져 첫 번째 연습만 남는다.

#11 거꾸로 풀기 3.OA.C.7 단계 4

답 읽고 확인하기

첫 번째 연습은 자유투 $3$개로 나오며, 이는 선택지 (A)이다.
앞으로 가며 확인해 보자.
$3\to6\to12\to24\to48$ — 네 번의 두 배가 다섯 번째 연습에서 정확히 $48$에 도달하므로 $3$이 맞다.

$$3\xrightarrow{\times2}6\xrightarrow{\times2}12\xrightarrow{\times2}24\xrightarrow{\times2}48\;\Rightarrow\;\textbf{(A)}$$

💡 반으로 내려가고 두 배로 올라간 값이 주어진 $48$과 맞으면 시작 값이 확인된다.

[1] #5 4.OA.A.1 다섯 번의 연습을 순서대로 늘어놓는다. 각 연습은 바로 앞의 두 배이므로, 첫 번째에서 다섯 번째까지 "$2$ 곱하기" 규칙이 네 번 적용된다.

[2] #11 3.OA.C.7 한 연습만큼 거꾸로 가려면 두 배를 되돌려 $2$로 나눈다. 다섯 번째 연습에서 네 번째 연습으로 거슬러 가면 $48\div2=24$이다. 그래

[3] #11 3.OA.C.7 반으로 나누기를 반복해 앞의 연습들로 거슬러 올라간다. 네 번째에서 세 번째: $24\div2=12$. 세 번째에서 두 번째: $12\div2=

[4] #11 3.OA.C.7 첫 번째 연습은 자유투 $3$개로 나오며, 이는 선택지 (A)이다. 앞으로 가며 확인해 보자. $3\to6\to12\to24\to48$ — 네

검토

합리성 확인: 두 배는 빠르게 커지므로, 네 번의 두 배를 거치면 첫 번째 연습의 수는 $48$보다 훨씬 작아야 한다 — 그리고 $3$이 그렇다. 선택지가 모두 작은 수라는 점이 첫 번째 연습이 $48$로 부풀어 오르는 작은 씨앗임을 알려 주는 단서이다. 앞으로 확인하면 $3\to6\to12\to24\to48$이 다섯 번째에서 정확히 $48$에 닿으므로, 너무 많이 또는 적게 나누지 않았다. 만약 $6$(B)이라면 다섯 번째에서 $96$이 되어 너무 크므로 배제된다.

대안 접근: 변수를 도입한다. 첫 번째 연습을 $x$라 하자. 두 배를 네 번 하면 $2^4=16$을 곱하는 것이므로 다섯 번째 연습은 $16x$이다. $16x=48$을 세우고 나누면 $x=48\div16=3$으로, 같은 답 (A)를 한 식으로 얻는다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.OA.A.1 곱셈식을 비교로 해석하기 ("두 배 많이"를 $2$를 곱하는 관계로 읽고, 첫 번째 연습에서 다섯 번째까지 두 배가 네 번임을 인식하는 데 사용.)
3.OA.C.7 100 이내에서 곱셈과 나눗셈을 능숙하게 하기 ($48\div2=24$, $24\div2=12$, $12\div2=6$, $6\div2=3$으로 반씩 나누어 거슬러 가고, 다시 두 배로 확인하는 데 사용.)

⭐ 두 배 사슬의 끝이 주어지고 시작을 구할 때는, 한 단계씩 반으로 나누며 거꾸로 걸어가면 된다.