AMC 10 · 2005 · #5

쉬운 모드 학년 4

문제

어떤 가게에서 창문을 한 개에 $$100$ 씩 판다. 지금은 창문 네 개 값을 낼 때마다 한 개를 공짜로 준다. Dave는 창문 일곱 개를 원하고 Doug는 여덟 개를 원한다. 두 사람이 각자 따로 사지 않고 한 번에 함께 사면 몇 달러를 아낄 수 있는가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

100

(B)

200

(C)

300

(D)

400

(E)

500

AMC 10 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 창문은 한 개에 $100$달러입니다. 이 가게는 창문 네 개를 살 때마다 한 개를 공짜로 줍니다. Dave는 창문 일곱 개가 필요하고 Doug는 여덟 개가 필요합니다. 따로따로 사는 대신 둘이 한꺼번에 주문하면 몇 달러를 더 아낄 수 있는지 구하세요.

주어진 것: 창문 한 개의 정가는 $100$달러입니다; 혜택: 창문 네 개를 살 때마다 한 개를 공짜로 줍니다; Dave는 창문 $7$개, Doug는 창문 $8$개가 필요합니다; 선택지: (A) $100$, (B) $200$, (C) $300$, (D) $400$, (E) $500$

구하는 것: 따로 주문할 때에 비해 둘이 합쳐서 주문하면 더 아끼는 금액(달러)

이해

계획

주요 도구: #16 관점 바꾸기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기

돈을 계속 따라가는 대신, 도구 #16(관점 바꾸기)은 문제 전체를 하나의 세기로 바꿉니다. 각 계획이 공짜 창문을 몇 개나 얻는가? 공짜 창문 한 개는 $100$달러의 가치이므로 공짜 창문 개수만 세면 충분합니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 일을 세 조각으로 나눕니다. Dave가 얻는 공짜 창문, Doug가 얻는 공짜 창문, 그리고 합친 주문이 얻는 공짜 창문입니다. 도구 #3(가능성 지우기)은 핵심 함정을 막습니다. 합친 주문은 공짜 창문 세 개, 즉 $300$달러어치를 얻어 선택지 (C)처럼 보이지만, 문제는 따로 살 때보다 '더' 아끼는 금액만을 묻습니다.

실행 — 정답: A

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NBT.B.6 단계 1

Dave가 혼자 얻는 공짜 창문 세기

공짜 창문은 값을 낸 네 개가 완전한 한 묶음을 이룰 때만 생깁니다.
Dave는 창문 $7$개가 필요합니다.
네 개 한 묶음의 값을 내고 $1$개를 공짜로 받아 $5$개가 되고, 남은 $2$개는 그냥 값을 주고 삽니다.
$2$는 네 개짜리 완전한 묶음이 아니므로 더 얻는 것은 없습니다.
Dave 혼자서는 공짜 창문 $1$개를 얻습니다.

$$7 = \underbrace{4}_{\text{값 냄}} + \underbrace{1}_{\text{공짜}} + \underbrace{2}_{\text{값 냄}} \;\Rightarrow\; 1\text{개 공짜}$$

💡 완전한 네 개 묶음만 공짜 창문 한 개를 주고, 네 개가 안 되는 나머지는 아무것도 주지 않습니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NBT.B.6 단계 2

Doug가 혼자 얻는 공짜 창문 세기

Doug는 창문 $8$개가 필요합니다.
네 개 한 묶음의 값을 내고 $1$개를 공짜로 받아 $5$개가 되고, 남은 $3$개는 값을 주고 삽니다.
$3$은 완전한 네 개 묶음이 아니므로 더 얻는 것은 없습니다.
Doug 혼자서는 공짜 창문 $1$개를 얻습니다.
따로 사면 두 사람이 합쳐서 $1 + 1 = 2$개의 공짜 창문을 얻습니다.

$$8 = 4 + 1 + 3 \;\Rightarrow\; 1\text{개 공짜};\quad 1 + 1 = 2\text{개 공짜 (따로)}$$

💡 각자 첫 묶음을 채우고 남은 개수는 두 번째 공짜 창문을 얻기엔 너무 작습니다.

#16 관점 바꾸기 4.NBT.B.6 단계 3

합친 주문의 공짜 창문 세기

둘이 합치면 $7 + 8 = 15$개가 필요합니다.
이제 남은 개수들이 합쳐집니다.
네 개 묶음 값을 세 번 내고(즉 $12$개 값), 공짜로 $3$개를 받아 정확히 $12 + 3 = 15$개가 됩니다.
합치면 짧게 남았던 개수들($2$와 $3$)이 완전한 네 개 묶음으로 뭉치므로, 합친 주문은 공짜 창문 $3$개를 얻습니다.

$$15 = 3\times 4 + 3 = 12\text{개 값} + 3\text{개 공짜} \;\Rightarrow\; 3\text{개 공짜}$$

💡 버려지던 남은 개수를 모으면 완전한 네 개 묶음이 되어 공짜 창문을 하나 더 열어 줍니다.

#3 가능성 지우기 4.OA.A.3 단계 4

차이를 구해 더 아끼는 금액 찾기

합친 주문은 공짜 창문 $3$개를 얻고 따로 주문은 $2$개만 얻으므로, 합치면 $3 - 2 = 1$개의 공짜 창문을 더 얻습니다.
창문 한 개는 $100$달러의 가치이므로 더 아끼는 금액은 $1 \times 100 = 100$달러입니다.
함정을 조심하세요.
합친 주문의 전체 할인액은 $3 \times 100 = 300$달러로 선택지 (C)이지만, 문제는 합쳐서 '얼마나 더' 아끼는지만 묻습니다.
따라서 답은 $100$달러, 선택지 (A)입니다.

$(3 - 2)\times \$100 = \$100 \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$

💡 합침의 보상은 모인 나머지들이 열어 주는 딱 하나의 추가 공짜 창문입니다.

[1] #7 4.NBT.B.6 공짜 창문은 값을 낸 네 개가 완전한 한 묶음을 이룰 때만 생깁니다. Dave는 창문 $7$개가 필요합니다. 네 개 한 묶음의 값을 내고 $1$

[2] #7 4.NBT.B.6 Doug는 창문 $8$개가 필요합니다. 네 개 한 묶음의 값을 내고 $1$개를 공짜로 받아 $5$개가 되고, 남은 $3$개는 값을 주고 삽니다.

[3] #16 4.NBT.B.6 둘이 합치면 $7 + 8 = 15$개가 필요합니다. 이제 남은 개수들이 합쳐집니다. 네 개 묶음 값을 세 번 내고(즉 $12$개 값), 공짜로

[4] #3 4.OA.A.3 합친 주문은 공짜 창문 $3$개를 얻고 따로 주문은 $2$개만 얻으므로, 합치면 $3 - 2 = 1$개의 공짜 창문을 더 얻습니다. 창문 한 개

검토

합리성 확인: 모든 절약은 공짜 창문에서 나오고 각각 $100$달러의 가치이므로, 답은 반드시 $100$의 배수여야 합니다. 모든 선택지가 이 조건에는 맞지만, 크기가 작아야 합니다. 따로 사면 두 사람의 남은 개수가 $2$개와 $3$개인데, 이를 합치면 $5$가 되어 딱 공짜 창문 하나만큼 더 됩니다. 그래서 추가 이득은 공짜 창문 한 개, 즉 $100$달러입니다. $300$이나 $500$ 같은 큰 값은 추가 공짜 창문이 여러 개 있어야 하지만 작은 나머지로는 그럴 수 없습니다. 선택지 (C) $300$은 합친 주문의 전체 할인액일 뿐 따로 살 때보다 더 아끼는 금액이 아니므로, 자연스러운 함정입니다.

대안 접근: 각 계획이 실제로 내는 현금을 계산해 봅니다. 따로 사면 Dave는 $6$개, Doug는 $7$개의 값을 내어 합계 $13$개, $13 \times \$100 = \$1300$입니다. 합쳐서 사면 $12$개의 값을 내어 $12 \times \$100 = \$1200$입니다. 차이 $\$1300 - \$1200 = \$100$가 더 아끼는 금액으로, 역시 선택지 (A)입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.NBT.B.6 네 자리 수까지의 나눗셈에서 몫과 나머지 구하기 (각 창문 개수($7$, $8$, $15$)를 완전한 네 개 묶음과 나머지로 나누어 각 계획이 얻는 공짜 창문 개수를 세는 데 사용합니다.)
4.OA.A.3 네 가지 연산을 이용해 여러 단계 문장제 해결하기 (공짜 창문 개수를 뺄셈으로 비교하고($3-2=1$) 창문 가격 $\$100$을 곱하여 더 아끼는 금액을 구하는 데 사용합니다.)

⭐ 돈이 아니라 공짜 창문을 세세요. 함께 사면 버려지던 나머지들이 뭉쳐 완전한 네 개 묶음을 하나 더 만들고, 그 공짜 창문 한 개가 바로 아끼는 $100$달러입니다.