AMC 10 · 2006 · #14

쉬운 모드 학년 4

문제

서로 연결된 고리들이 말뚝에 위아래로 하나씩 걸려 있습니다. 모든 고리의 두께는 $1$ cm입니다. 맨 위 고리는 바깥쪽 지름이 $20$ cm입니다. 그 아래 고리들은 바로 위에 있는 고리보다 바깥쪽 지름이 $1$ cm씩 작아지며, 맨 아래 고리는 바깥쪽 지름이 $3$ cm입니다. 맨 위 고리의 꼭대기부터 맨 아래 고리의 바닥까지의 거리는 몇 cm인가요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

171

(B)

173

(C)

182

(D)

188

(E)

210

AMC 10 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 고리들이 못에 서로 연결된 채 위에서 아래로 매달려 있다. 모든 고리의 두께는 $1$ cm다. 바깥지름은 한 단계씩 $1$ cm 줄어든다: 맨 위 고리는 바깥지름이 $20$ cm, 맨 아래 고리는 $3$ cm이므로 바깥지름은 $20, 19, 18, \dots, 3$ 으로 이어진다. 맨 위 고리의 가장 위 끝에서 맨 아래 고리의 가장 아래 끝까지의 직선 거리를 구한다.

주어진 것: 각 고리의 두께(금속 자체)는 $1$ cm다; 맨 위 고리의 바깥지름은 $20$ cm다; 아래로 갈수록 바깥지름이 바로 위 고리보다 $1$ cm씩 작아진다; 맨 아래 고리의 바깥지름은 $3$ cm다; 선택지: (A) 171, (B) 173, (C) 182, (D) 188, (E) 210

구하는 것: 맨 위 고리의 맨 위에서 맨 아래 고리의 맨 아래까지의 전체 수직 거리

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #1 그림 그리기, #5 패턴 찾기

바깥지름을 그냥 다 더하면($20 + 19 + \dots + 3$) 지나치게 많이 세게 된다. 연결된 고리들은 하나가 다른 하나 속으로 들어가며 겹치기 때문이다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 전체 높이를 서로 겹치지 않는 조각으로 자르라고 말한다. 도구 #1(그림 그리기)이 그 조각이 무엇인지 보여준다 — 각 고리의 윗변이 바로 위 고리의 구멍 속으로 들어가므로, 실제로 쌓이는 것은 안지름들이고, 여기에 맨 위 고리의 윗변과 맨 아래 고리의 아랫변만 덧붙는다. 그다음 도구 #5(패턴 찾기)로 안지름을 빠르게 더한다: 안지름은 정확히 $1$ 부터 $18$ 까지의 자연수라 깔끔하게 짝지어진다. 핵심은 바깥 테두리가 아니라 안쪽 구멍을 재는 것이다.

실행 — 정답: B

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.C.5 단계 1

바깥지름을 안지름으로 바꾸기

금속 두께가 $1$ cm이므로 구멍의 양쪽에서 $1$ cm씩 잡아먹는다.
그래서 모든 고리의 안지름은 바깥지름에서 $2$ 를 뺀 값이 된다.
맨 위 고리: $20 - 2 = 18$.
맨 아래 고리: $3 - 2 = 1$.
바깥지름이 $20, 19, \dots, 3$ 으로 한 단계씩 내려가므로, 안지름은 $18, 17, \dots, 1$ — 즉 $1$ 부터 $18$ 까지의 자연수로 내려간다.

$$\text{안지름} = \text{바깥지름} - 2;\quad 20\to18,\ 19\to17,\ \dots,\ 3\to1$$

💡 각 고리의 구멍이 바로 다음 고리가 들어가는 자리이므로, 바깥 테두리가 아니라 구멍 크기가 진짜 중요하다.

#1 그림 그리기 4.MD.A.2 단계 2

연결된 고리가 어떻게 겹치는지 보기

이웃한 두 고리를 그려 보자.
아래 고리는 위 고리를 통과해 매달리고, 그 윗변은 바로 위 고리의 아랫변에 딱 걸린다.
그래서 아래 고리의 윗변은 위 고리의 구멍 *속에* 들어가 있다 — 이 겹침은 위 고리의 안쪽 구멍을 세는 순간 이미 한 번 세어진 것이다.
아래로 쭉 내려가면 안쪽 구멍들만 차곡차곡 쌓인다.
위쪽 구멍에 삼켜지지 않는 금속은 오직 맨 위 고리의 윗변($1$ cm)과 맨 아래 고리의 아랫변($1$ cm)뿐이다.
따라서 전체 높이는 윗변 하나 + 세로로 쌓인 모든 안지름 + 아랫변 하나다.

$$\text{전체} = \underbrace{1}_{\text{윗변}} + (18 + 17 + \cdots + 1) + \underbrace{1}_{\text{아랫변}}$$

💡 두 고리가 맞닿는 곳에서는 한 고리의 변이 다른 고리의 구멍 속에 숨으므로, 그 길이는 딱 한 번만 세어진다.

#5 패턴 찾기 4.NBT.B.5 단계 3

안지름을 짝지어 더하기

$1 + 2 + 3 + \cdots + 18$ 을 양 끝을 짝지어 더한다: $1 + 18 = 19$, $2 + 17 = 19$, $3 + 16 = 19$, 이런 식이다.
$18$ 개의 수가 $9$ 쌍을 이루고 각 쌍의 합은 $19$ 다.
따라서 총합은 $9 \times 19 = 171$ 이다.

$$1 + 2 + \cdots + 18 = 9 \times 19 = 171$$

💡 가장 작은 수와 가장 큰 수를 짝지으면 모든 쌍의 크기가 같아져, 긴 덧셈이 곱셈 하나로 바뀐다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NBT.B.4 단계 4

양 끝의 변 두 개 더하기

이제 남은 금속을 더한다: 맨 위 고리의 윗변과 맨 아래 고리의 아랫변, 각각 $1$ cm다.
그러면 $171 + 1 + 1 = 173$ cm로, 맨 위 고리의 맨 위에서 맨 아래 고리의 맨 아래까지의 거리이며 선택지 $\textbf{(B)}$ 다.

$$171 + 1 + 1 = 173 \Rightarrow \textbf{(B)}$$

💡 구멍들은 가운데에 쌓이고, 실제 금속은 맨 위에 $1$ cm, 맨 아래에 $1$ cm만 더 붙는다.

[1] #7 4.OA.C.5 금속 두께가 $1$ cm이므로 구멍의 양쪽에서 $1$ cm씩 잡아먹는다. 그래서 모든 고리의 안지름은 바깥지름에서 $2$ 를 뺀 값이 된다. 맨

[2] #1 4.MD.A.2 이웃한 두 고리를 그려 보자. 아래 고리는 위 고리를 통과해 매달리고, 그 윗변은 바로 위 고리의 아랫변에 딱 걸린다. 그래서 아래 고리의 윗변

[3] #5 4.NBT.B.5 $1 + 2 + 3 + \cdots + 18$ 을 양 끝을 짝지어 더한다: $1 + 18 = 19$, $2 + 17 = 19$, $3 + 16

[4] #7 4.NBT.B.4 이제 남은 금속을 더한다: 맨 위 고리의 윗변과 맨 아래 고리의 아랫변, 각각 $1$ cm다. 그러면 $171 + 1 + 1 = 173$ cm로

검토

합리성 확인: 두 함정을 점검한다. 안지름만 더하면 $171$ 로 선택지 (A)인데, 이는 맨 위·맨 아래 변을 빠뜨린 것이라 조금 작아야 한다. 바깥지름을 더하면 $3 + 4 + \cdots + 20 = 207$ 로 너무 크다. 모든 겹침을 두 번씩 세기 때문이다. $207$ 은 선택지에도 없어 겹침을 반드시 빼야 함을 알려 준다. 우리 답 $173$ 은 $171$ 보다 끝 변 $2$ cm만큼 큰데, 이는 그림이 요구하는 딱 그만큼의 작은 보정이다. 개수도 확인하자: 바깥지름 $3$ 부터 $20$ 까지는 $18$ 개 고리로, 안지름 $18$ 개와 맞아떨어져 빠진 것이 없다.

대안 접근: 바깥지름에서 출발해도 된다. 그 합은 $3 + 4 + \cdots + 20 = 207$ 이다. 이웃한 고리 사이의 연결 $17$ 곳마다 겹침이 $2$ cm(맞닿은 변 두 개, 각 $1$ cm)씩 숨어 있으므로 $17 \times 2 = 34$ 를 뺀다: $207 - 34 = 173$. 안쪽 구멍을 쌓는 대신 두 번 센 겹침을 덜어내는 방식으로 같은 답에 이른다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.OA.C.5 Generate a number or shape pattern following a given rule (한 단계씩 내려가는 바깥지름 $20, 19, \dots, 3$ 을 안지름 $18, 17, \dots, 1$, 즉 $1$ 부터 $18$ 까지의 자연수로 바꾸기.)
4.MD.A.2 Solve word problems involving distances, time, liquid volumes, and money (위에서 아래까지의 거리를 겹치지 않는 길이들로 쪼개기: 윗변 하나, 쌓인 안지름들, 아랫변 하나.)
4.NBT.B.5 Multiply a whole number of up to four digits by a one-digit whole number ($1 + 2 + \cdots + 18$ 을 $19$ 짜리 짝 $9$ 개로 보아 $9 \times 19 = 171$ 로 계산하기.)
4.NBT.B.4 Fluently add and subtract multi-digit whole numbers (안지름마다 $2$ 를 빼고, 끝 변 두 개를 더하기: $171 + 1 + 1 = 173$.)

⭐ 연결된 고리는 겹치므로 진짜로 쌓이는 안쪽 구멍만 재라 — 여기서 구멍은 $1$ 부터 $18$ 까지(합 $171$)이고, 맨 위와 맨 아래에 금속 $1$ cm씩을 더하면 $173$ 이다.