AMC 10 · 2008 · #5

쉬운 모드 학년 5

문제

다음 분수들의 긴 곱을 끝까지 모두 곱하자. 그 값은 어느 보기와 같은가?
$\frac{8}{4}\cdot\frac{12}{8}\cdot\frac{16}{12}\cdot\cdots\cdot\frac{4n+4}{4n}\cdot\cdots\cdot\frac{2008}{2004}?$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

251

(B)

502

(C)

1004

(D)

2008

(E)

4016

AMC 10 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 긴 분수 곱 $\frac{8}{4}\cdot\frac{12}{8}\cdot\frac{16}{12}\cdots\frac{2008}{2004}$ 을 계산한다. 각 분수는 $\frac{4n+4}{4n}$ 꼴이며, 이 곱이 어느 선택지와 같은지 찾는다.

주어진 것: 곱은 $\frac{8}{4}\cdot\frac{12}{8}\cdot\frac{16}{12}\cdots\frac{4n+4}{4n}\cdots\frac{2008}{2004}$ 이다; 각 인수는 $\frac{4n+4}{4n}$ 꼴이라 분자와 분모가 모두 $4$씩 커진다; 마지막 인수는 $\frac{2008}{2004}$ 이다; 선택지: (A) $251$, (B) $502$, (C) $1004$, (D) $2008$, (E) $4016$

구하는 것: 곱 전체가 정리되어 나오는 하나의 수

이해

계획

주요 도구: #5 패턴 찾기

보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #7 작은 문제로 쪼개기

501개의 분수를 정면으로 곱하는 것은 무리다. 그래서 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)는 먼저 앞의 두세 인수만 곱해 보라고 한다. 그러면 반복되는 약분이 드러나고, 도구 #5(패턴 찾기)가 그 이유를 설명한다. 각 분수의 분자가 바로 다음 분수의 분모이기 때문이다. 이어서 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 전체를 하나의 큰 분수로 적고, 짝이 맞는 것끼리 모두 약분한 뒤 마지막에 나눗셈 한 번으로 끝낸다.

실행 — 정답: B

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 5.NF.B.4 단계 1

앞의 몇 인수를 곱해 보기

501개를 다 하지 말고 두 개부터 시작한다: $\frac{8}{4}\cdot\frac{12}{8}=\frac{8\cdot12}{4\cdot8}$.
위의 $8$이 아래의 $8$과 약분되어 $\frac{12}{4}=3$ 이 남는다.
다음 인수를 넣으면 $3\cdot\frac{16}{12}=\frac{12}{4}\cdot\frac{16}{12}$ 이고, 이번에는 $12$가 약분되어 $\frac{16}{4}=4$ 가 남는다.

$$\frac{8}{4}\cdot\frac{12}{8}=\frac{12}{4}=3,\qquad \frac{12}{4}\cdot\frac{16}{12}=\frac{16}{4}=4$$

💡 곱의 작은 버전을 먼저 해 보면 전체를 다 하지 않아도 무슨 일이 벌어지는지 보인다.

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 2

왜 항상 한 수가 약분되는지 보기

분자와 분모를 나란히 놓는다.
분자: $8, 12, 16, \ldots, 2008$.
분모: $4, 8, 12, \ldots, 2004$.
모든 분자는 바로 다음 분수의 분모로 다시 나타난다.
첫 분수 위의 $8$은 둘째 분수 아래의 $8$이고, 둘째 위의 $12$는 셋째 아래의 $12$이며, 계속 그렇다.
그래서 가운데 수는 각각 위에 한 번, 아래에 한 번 나온다.

$$\text{분자: }8,12,16,\ldots,2008;\quad \text{분모: }4,8,12,\ldots,2004$$

💡 각 분자가 다음 분모와 같으므로, 짝이 맞는 수가 위아래에 놓여 약분될 준비가 되어 있다.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NF.B.4 단계 3

가운데 것들을 모두 약분하기

곱 전체를 하나의 분수로 적는다: 위 $=8\cdot12\cdot16\cdots2008$, 아래 $=4\cdot8\cdot12\cdots2004$.
$8$부터 $2004$까지의 모든 수가 위와 아래에 함께 나타나므로 전부 약분된다.
살아남는 것은 맨 마지막 분자 $2008$과 맨 처음 분모 $4$뿐이다.
곱은 $\frac{2008}{4}$ 로 줄어든다.

$$\frac{8\cdot12\cdot16\cdots2008}{4\cdot8\cdot12\cdots2004}=\frac{2008}{4}$$

💡 위의 어떤 수와 아래의 같은 수는 곱해서 $1$이 되므로, 짝 없는 양 끝 두 수만 남는다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NBT.B.6 단계 4

마지막 나눗셈 하기

남은 것은 $\frac{2008}{4}=2008\div4=502$ 뿐이다.
이것이 선택지 (B)와 일치한다.

$$\frac{2008}{4}=502 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 사슬이 접혀 사라지고 나면 나눗셈 한 번으로 문제가 끝난다.

[1] #9 5.NF.B.4 501개를 다 하지 말고 두 개부터 시작한다: $\frac{8}{4}\cdot\frac{12}{8}=\frac{8\cdot12}{4\cdot8}

[2] #5 4.OA.C.5 분자와 분모를 나란히 놓는다. 분자: $8, 12, 16, \ldots, 2008$. 분모: $4, 8, 12, \ldots, 2004$. 모든

[3] #7 5.NF.B.4 곱 전체를 하나의 분수로 적는다: 위 $=8\cdot12\cdot16\cdots2008$, 아래 $=4\cdot8\cdot12\cdots2004

[4] #7 4.NBT.B.6 남은 것은 $\frac{2008}{4}=2008\div4=502$ 뿐이다. 이것이 선택지 (B)와 일치한다.

검토

합리성 확인: 나눗셈을 확인하자: $502\cdot4=2008$ 이므로 $\frac{2008}{4}=502$ 가 맞다. 크기도 타당하다. 각 인수는 $1$보다 아주 조금 클 뿐($2, 1.5, 1.33, \ldots$)이라, 약 500개를 곱해도 가장 큰 선택지보다 한참 아래에 놓인다. 함정들도 흔한 실수와 맞물린다. $2008$ (D)는 첫 분모로 나누는 것을 잊은 값, $4016$ (E)는 나누는 대신 두 배로 한 값, $251$ (A)는 한 수를 지나치게 약분한 $\frac{2008}{8}$ 이다.

대안 접근: 일반 인수를 먼저 간단히 하자: $\frac{4n+4}{4n}=\frac{4(n+1)}{4n}=\frac{n+1}{n}$. 그러면 곱은 $\frac{2}{1}\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{4}{3}\cdots\frac{502}{501}$ 이 되어 $\frac{502}{1}=502$ 로 접힌다. 마지막 인수 $\frac{2008}{2004}$ 는 $n=501$ 이므로 인수는 $501$개이고, 마지막 인수의 분자 $502$가 곧 답이다. 역시 (B).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

5.NF.B.4 Apply and extend understanding of multiplication to multiply a fraction by a fraction (모든 분자를 위에, 모든 분모를 아래에 모아 분수들을 곱하여, 위아래의 같은 수끼리 약분되게 하는 데 사용.)
4.OA.C.5 Generate a number or shape pattern following a given rule (분자 $8,12,16,\ldots$ 와 분모 $4,8,12,\ldots$ 가 겹쳐, 각 분자가 다음 분모와 같다는 것을 인식하는 데 사용.)
4.NBT.B.6 Find whole-number quotients and remainders with up to four-digit dividends (마지막 몫 $2008\div4=502$ 를 계산하는 데 사용.)

⭐ 각 분수의 분자가 다음 분수의 분모이면 줄줄이 약분되어, 맨 마지막 분자와 맨 처음 분모만 남는다.