AMC 8 · 2006 · #9

학년 5 arithmetic
유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Weighted Group Aggregation
fraction-multiplicationpattern-recognitionfraction-arithmetic pattern-recognitionidentify-subproblems ↑ 선수 지식: fraction-arithmeticfraction-multiplication
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문제
곱 32\frac{3}{2}×43\frac{4}{3}×54\frac{5}{4}×…×20062005\frac{2006}{2005} 의 값을 구하세요. 각 인수는 분자가 분모보다 1 큰 분수이고, 한 인수의 분자가 다음 인수의 분모와 같습니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
1
(B)
1002
(C)
1003
(D)
2005
(E)
2006

AMC 8 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 패턴 찾기

2004 개의 분수를 직접 곱하는 것은 불가능하니, 문제는 구조를 보라고 말하고 있습니다. 도구 #5(패턴 찾기)가 주력입니다 — 한 인수의 분자가 다음 인수의 분모와 같다는 성질은 대부분의 항이 약분되는 텔레스코핑(망원경) 곱의 신호이기 때문입니다. 2004 개를 다 쓰지 않고도 약분을 보려면 도구 #9(더 쉬운 문제로 바꾸기)가 딱입니다. 짧은 곱부터 계산해서 무엇이 살아남는지 확인하고, 같은 패턴이 끝까지 이어진다는 점을 활용합니다.

1STEP 1

먼저 짧게 해봅니다. 앞쪽 세 인수만 하나의 분수로 곱합니다.

32\frac{3}{2}×43\frac{4}{3}×54\frac{5}{4} = 3×4×52×3×4\frac{3× 4× 5}{2× 3× 4} = 52\frac{5}{2}
2STEP 2

3 과 4 는 위아래로 약분되고, 맨 앞 분모 2 와 맨 뒤 분자 5 만 남아 52\frac{5}{2}.

32\frac{3}{2}×43\frac{4}{3}×54\frac{5}{4} = 3×4×52×3×4\frac{3×4× 5}{2×3×4} = 52\frac{5}{2}
3STEP 3

같은 패턴을 전체에 적용하면 3 부터 2005 까지 모두 약분되어 20062\frac{2006}{2} 만 남습니다.

32\frac{3}{2}×43\frac{4}{3}×54\frac{5}{4}×…×20062005\frac{2006}{2005} = 20062\frac{2006}{2}
4STEP 4

마지막으로 나눠서 마무리합니다.

20062\frac{2006}{2} = 1003 → (C)
정답
1003
패턴을 한 번 더 확인합니다. 32\frac{3}{2}×43\frac{4}{3}×54\frac{5}{4}×65\frac{6}{5} 는 62\frac{6}{2} = 3 이 되어야 합니다. 직접 계산해도 3⋅4⋅5⋅62⋅3⋅4⋅5\frac{3· 4· 5· 6}{2· 3· 4· 5} = 360120\frac{360}{120} = 3. 일치합니다. "답 = 마지막 분자 ÷ 첫 분모" 규칙이 확인됐고, 이를 시험 문제에 적용하면 20062\frac{2006}{2} = 1003. 또한 각 인수가 1 보다 살짝 큰 수임에도 2004 번이나 곱하므로 답은 1000 보다 살짝 큰 정도가 자연스럽고, 1003 이 거기에 맞아떨어집니다. 1, 2005, 2006 은 후보에서 빠집니다.
💡핵심 정리

한 분수의 분자가 다음 분수의 분모와 똑같이 이어지면, 거의 모든 수가 약분됩니다. 맨 앞 분모와 맨 뒤 분자만 살아남고 — 여기서는 2006 ÷ 2 = 1003 입니다.

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