AMC 10 · 2008 · #5
학년 5 algebra답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
501개의 분수를 정면으로 곱하는 것은 무리다. 그래서 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)는 먼저 앞의 두세 인수만 곱해 보라고 한다. 그러면 반복되는 약분이 드러나고, 도구 #5(패턴 찾기)가 그 이유를 설명한다. 각 분수의 분자가 바로 다음 분수의 분모이기 때문이다. 이어서 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 전체를 하나의 큰 분수로 적고, 짝이 맞는 것끼리 모두 약분한 뒤 마지막에 나눗셈 한 번으로 끝낸다.
앞의 몇 인수를 곱해 보기
두 개만 곱해 보자: 8/4·12/8=12/4=3. 다음 인수를 넣으면 12가 약분되어 16/4=4가 남는다.
곱의 작은 버전을 먼저 해 보면 전체를 다 하지 않아도 무슨 일이 벌어지는지 보인다.
5.NF.B.4Solve An Easier Related Problem왜 항상 한 수가 약분되는지 보기
분자는 8, 12, 16, …, 2008, 분모는 4, 8, 12, …, 2004이므로 각 분자가 다음 분수의 분모다.
각 분자가 다음 분모와 같으므로, 짝이 맞는 수가 위아래에 놓여 약분될 준비가 되어 있다.
4.OA.C.5Look For A Pattern가운데 것들을 모두 약분하기
하나의 분수로 적으면 (8·12·16…2008)/(4·8·12…2004). 8부터 2004까지는 모두 약분되어 2008/4만 남는다.
위의 어떤 수와 아래의 같은 수는 곱해서 1이 되므로, 짝 없는 양 끝 두 수만 남는다.
위와 아래에 같은 수가 있으면 곱해서 1이 되므로, 짝을 못 찾은 양 끝만 살아남는다.
▸ 왜?
어떤 양에 그 역수를 곱하면 1이 되고, 1을 곱해도 아무것도 달라지지 않는다.
▸ 왜?
공통 인수를 나눠 없애면 모습은 달라도 같은 양을 가리키는 분수가 남는다.
마지막 나눗셈 하기
남은 것은 2008/4뿐이고, 2008÷4=502, 즉 선택지 (B)이다.
사슬이 접혀 사라지고 나면 나눗셈 한 번으로 문제가 끝난다.
4.NBT.B.6Identify Subproblems각 분수의 분자가 다음 분수의 분모이면 줄줄이 약분되어, 맨 마지막 분자와 맨 처음 분모만 남는다.
- 앞의 몇 인수를 곱해 보기
- 왜 항상 한 수가 약분되는지 보기
- 가운데 것들을 모두 약분하기
- 마지막 나눗셈 하기