AMC 10 · 2009 · #13

쉬운 모드 학년 5

문제

다섯 개의 변을 가진 도형이 곧은 직선 위에 놓여 있어요. 변을 차례로 돌아가며 $AB$ , $BC$ , $CD$ , $DE$ , $EA$ 라고 부르고, 길이는 $AB=3$ , $BC=4$ , $CD=6$ , $DE=3$ , $EA=7$ 이에요. 처음에는 변 $AB$ 가 직선에 딱 붙어 있고, 꼭짓점 $A$ 는 $0$ 자리에 있어요. 이제 도형을 오른쪽으로 굴려서 꼭짓점을 하나씩 넘겨요. 그러면 각 변이 차례로 직선에 붙으면서 자기 길이만큼 직선을 눌러요. 도형이 $2009$ 자리에 닿을 때 직선에 붙어 있는 변은 어느 것일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\overline{AB}$

(B)

$\overline{BC}$

(C)

$\overline{CD}$

(D)

$\overline{DE}$

(E)

$\overline{EA}$

AMC 10 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 각 변의 길이가 $AB=3$, $BC=4$, $CD=6$, $DE=3$, $EA=7$인 볼록오각형 $ABCDE$가 있다. 처음에는 변 $AB$가 $x$축 위에 놓여 있고 $A$는 원점, $B$는 양의 $x$축 위에 있다. 이 오각형을 $x$축을 따라 오른쪽으로 시계 방향으로 굴린다. 오각형이 점 $x=2009$를 덮는 순간 바닥에 닿아 있는 변이 어느 변인지 구하라.

주어진 것: 다섯 변의 길이는 차례로 $AB=3$, $BC=4$, $CD=6$, $DE=3$, $EA=7$이다.; 처음에 변 $AB$가 바닥에 놓여 있고 $A=(0,0)$, $B=(3,0)$이다.; 미끄러지지 않고 시계 방향으로 오른쪽으로 굴린다.; 보기는 각각 하나의 변이다: (A) $\overline{AB}$, (B) $\overline{BC}$, (C) $\overline{CD}$, (D) $\overline{DE}$, (E) $\overline{EA}$.

구하는 것: 점 $x=2009$에서 $x$축에 닿아 있는 변이 어느 변인가.

이해

계획

주요 도구: #5 패턴 찾기

보조 도구: #1 그림 그리기, #9 더 쉬운 문제로 줄이기

오각형을 굴리면 변들이 바닥에 차례로 찍히고, 한 바퀴가 끝나면 같은 무늬가 그대로 반복된다. 도구 #5(패턴 찾기)는 바닥이 똑같은 $23$짜리 블록으로 채워진다는 사실을 잡아내므로, $2009$가 한 블록 안 어디에 떨어지는지만 알면 된다. 도구 #1(그림 그리기)은 변의 길이를 더해 각 변이 차지하는 구간을 정확히 기록한다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)는 거대한 $2009$를 둘레로 나눈 나머지로 줄여, 큰 수를 작은 블록 안의 한 점으로 바꾼다.

실행 — 정답: C

#1 그림 그리기 3.MD.D.8 단계 1

한 바퀴의 변 길이를 모두 더하기

오각형이 굴러 한 바퀴를 돌면 모든 변이 정확히 한 번씩 바닥에 닿으므로, 한 바퀴 동안 덮는 길이는 둘레와 같다.
다섯 변의 길이를 더하면 $3+4+6+3+7=23$이다.
따라서 $x$축을 따라 $23$마다 바닥에 닿는 변의 무늬가 똑같이 반복된다.

$$3+4+6+3+7=23$$

💡 한 바퀴가 각 변을 한 번씩 쓰므로 반복 길이는 곧 둘레다.

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 2

각 변이 끝나는 위치 표시하기

$x=0$에서 시작해 각 변의 오른쪽 끝을 따라간다.
변 $AB$(길이 $3$)는 $0$부터 $3$까지, 변 $BC$(길이 $4$)는 $3$부터 $7$까지, 변 $CD$(길이 $6$)는 $7$부터 $13$까지, 변 $DE$(길이 $3$)는 $13$부터 $16$까지, 변 $EA$(길이 $7$)는 $16$부터 $23$까지 덮으며 첫 바퀴가 끝난다.
그 뒤로는 같은 블록이 반복된다.

$$AB:[0,3],\ BC:[3,7],\ CD:[7,13],\ DE:[13,16],\ EA:[16,23]$$

💡 변 길이를 끝끼리 이어 쌓으면 각 변이 차지한 바닥 구간이 그대로 드러난다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 5.NBT.B.6 단계 3

2009를 한 블록으로 줄이기

무늬가 $23$마다 반복되므로 온전한 바퀴를 걷어낸 나머지만 중요하다.
$2009$를 $23$으로 나누면 $23\times 87=2001$이므로 $87$번 온전히 들어가고 $2009-2001=8$이 남는다.
따라서 점 $x=2009$는 한 블록 안의 점 $x=8$과 똑같이 행동한다.

$$2009=23\times 87+8,\qquad 2009\equiv 8 \pmod{23}$$

💡 온전한 바퀴는 오각형을 출발점으로 되돌려 놓으므로 나머지만 답을 정한다.

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 4

남은 8이 어느 변인지 찾기

$x=8$을 품는 변의 구간을 찾는다.
앞의 표시에서 $CD$는 $7$부터 $13$까지 덮고 $8$은 그 안에 있다.
따라서 $x=8$에서, 즉 $x=2009$에서 바닥에 닿아 있는 변은 $\overline{CD}$이다.
이는 보기 $\textbf{(C)}$이다.

$$7<8<13\ \Rightarrow\ \text{변 } \overline{CD}\ \Rightarrow\ \textbf{(C)}$$

💡 나머지는 첫 블록 위의 한 점일 뿐이므로 그 점을 가진 변을 읽으면 답이 나온다.

[1] #1 3.MD.D.8 오각형이 굴러 한 바퀴를 돌면 모든 변이 정확히 한 번씩 바닥에 닿으므로, 한 바퀴 동안 덮는 길이는 둘레와 같다. 다섯 변의 길이를 더하면 $

[2] #5 4.OA.C.5 $x=0$에서 시작해 각 변의 오른쪽 끝을 따라간다. 변 $AB$(길이 $3$)는 $0$부터 $3$까지, 변 $BC$(길이 $4$)는 $3$부터

[3] #9 5.NBT.B.6 무늬가 $23$마다 반복되므로 온전한 바퀴를 걷어낸 나머지만 중요하다. $2009$를 $23$으로 나누면 $23\times 87=2001$이므로

[4] #5 4.OA.C.5 $x=8$을 품는 변의 구간을 찾는다. 앞의 표시에서 $CD$는 $7$부터 $13$까지 덮고 $8$은 그 안에 있다. 따라서 $x=8$에서, 즉

검토

합리성 확인: 블록 경계를 점검한다. 누적되는 끝은 $3,7,13,16,23$이고 그 사이 간격은 $3,4,6,3,7$로 주어진 변 길이와 일치하며 합이 둘레 $23$이 되므로 겹치거나 빠진 것이 없다. 남은 $8$은 $7$과 $13$ 사이, 즉 꼭짓점이 아니라 $CD$ 구간의 내부에 놓이므로 답이 깔끔하다. $23\times 87=2001$, $2001+8=2009$로 다시 확인하면 나머지는 $8$이고 $\overline{CD}$, 곧 보기 (C)에 떨어진다.

대안 접근: 나눗셈 대신 둘레를 계속 빼서 수를 작게 만들 수도 있다. $2009-23=1986$처럼 반복하거나 $2009-2001=8$로 $8$을 얻는다. 그다음 처음부터 변을 걸으며 길이를 뺀다. $8-3=5$($AB$ 통과), $5-4=1$($BC$ 통과), $1$은 $CD$의 길이 $6$보다 작으므로 그 점은 $\overline{CD}$에 놓인다. 역시 보기 (C)이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

3.MD.D.8 Solve real-world problems involving perimeters of polygons (다섯 변의 길이 $3+4+6+3+7=23$을 더해 둘레를 구하고, 이를 굴림 무늬의 반복 길이로 삼는다.)
4.OA.C.5 Generate a number or shape pattern following a given rule (각 변이 덮는 바닥 구간의 반복 블록을 세우고 주어진 위치가 어느 변에 속하는지 읽어낸다.)
5.NBT.B.6 Find whole-number quotients with up to four-digit dividends and two-digit divisors ($2009$를 $23$으로 나누어 몫 $87$과 나머지 $8$을 구하고, 큰 위치를 한 블록으로 축소한다.)

⭐ 도형이 굴러 반복되면, 한 바퀴 길이를 더하고 온전한 바퀴는 나눠 없앤 뒤 남은 만큼이 어디에 떨어지는지만 보면 된다.