AMC 10 · 2012 · #12

쉬운 모드 학년 4

문제

윤년(하루가 더 있어 $366$ 일인 해)의 규칙은 이래요. 어떤 해가 $400$ 으로 나누어떨어지거나(예: $2000$ 년), 또는 $4$ 로는 나누어떨어지지만 $100$ 으로는 나누어떨어지지 않으면(예: $2012$ 년) 그 해는 윤년이에요. 2012년 2월 7일은 화요일이었고, 이날은 작가 찰스 디킨스가 태어난 지 정확히 $200$ 년이 되는 날이었어요. 디킨스는 무슨 요일에 태어났을까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

Friday

(B)

Saturday

(C)

Sunday

(D)

Monday

(E)

Tuesday

AMC 10 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 2012년 2월 7일(화요일)은 소설가 찰스 디킨스가 태어난 지 200주년이 되는 날이다. 윤년 규칙(400으로 나누어떨어지거나, 4로는 나누어떨어지지만 100으로는 나누어떨어지지 않으면 윤년)을 이용해 디킨스가 태어난 요일을 구하라.

주어진 것: 2012년 2월 7일은 화요일이었다.; 이 날짜는 정확히 탄생 200주년이 되는 날이다.; 윤년 규칙: 400의 배수이거나, 4의 배수이면서 100의 배수는 아닌 해.; 평년은 365일, 윤년은 366일이다.

구하는 것: 찰스 디킨스가 태어난 요일.

이해

계획

주요 도구: #11 거꾸로 풀기

보조 도구: #5 패턴 찾기, #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기

끝 상태(2012년 2월 7일 화요일)가 주어졌고 200년 전의 시작 상태를 찾아야 하므로 거꾸로 풀기가 정확히 들어맞는다. 핵심 원리는 같은 날짜가 해마다 요일을 얼마나 밀어내는지에 대한 주간 패턴이며, 그 200년 중 윤년이 몇 번인지 세는 것은 깔끔한 작은 문제이다. 게다가 답은 다섯 요일 중 하나이다.

실행 — 정답: A

#11 거꾸로 풀기 4.OA.A.3 단계 1

태어난 해 확정하기

기념일은 사건이 일어난 후 지난 온전한 햇수를 센다.
200주년이 2012년 2월 7일이므로, 탄생은 같은 월·일로 200년 전인 1812년 2월 7일에 일어났다.

$$2012 - 200 = 1812$$

💡 200번의 기념일을 거슬러 올라간다는 것은 2월 7일은 그대로 둔 채 연도에서 200을 빼는 것이다.

#5 패턴 찾기 4.NBT.B.6 단계 2

날짜가 해마다 요일을 미는 방식

한 주는 7일이다.
평년은 365일이고 365 = 52 x 7 + 1이므로, 같은 날짜가 이듬해에는 요일이 1칸 뒤로 밀린다.
윤년은 366일이고 366 = 52 x 7 + 2이므로, 윤년은 날짜를 요일 2칸 뒤로 민다.
온전한 주를 넘어선 나머지 날수만이 요일을 움직인다.

$$365 = 52 \times 7 + 1, \qquad 366 = 52 \times 7 + 2$$

💡 온전한 주는 같은 요일로 되돌아오므로, 7로 나눈 나머지만 요일을 옮긴다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.B.4 단계 3

지나온 윤년 세기

1812년 2월 7일에서 2012년 2월 7일까지 앞으로 나아가면 1812년부터 2011년까지의 해를 지난다.
4의 배수인 해를 세면 1812년부터 2008년까지 (2008 - 1812) / 4 + 1 = 50개이다.
이제 규칙을 적용한다.
1900년은 100의 배수이지만 400의 배수가 아니므로 윤년이 아니어서 빼야 하고, 2000년은 400의 배수이므로 남는다.
그러면 윤년은 49개, 평년은 200 - 49 = 151개가 된다.

\frac{2008 - 1812}{4} + 1 = 50, \qquad 50 - 1 = 49 \text{ (윤년)}, \qquad 200 - 49 = 151 \text{ (평년)}

💡 윤일만이 추가로 요일을 밀며, 100의 배수 규칙이 조용히 1900년을 제거한다.

#11 거꾸로 풀기 4.OA.A.3 단계 4

이동량을 더하고 거꾸로 세기

평년은 요일을 1칸, 윤년은 2칸 밀므로 200년 동안의 총 앞쪽 이동량은 151 x 1 + 49 x 2 = 249칸이다.
249 = 7 x 35 + 4이므로 7로 나눈 나머지는 4이고, 따라서 2012년 2월 7일은 1812년 2월 7일보다 요일이 4칸 뒤에 있다.
이를 되돌리려면 화요일에서 4일 거꾸로 센다: 화요일, 월요일, 일요일, 토요일, 금요일.
디킨스는 금요일에 태어났으며, 답은 (A)이다.

151 \times 1 + 49 \times 2 = 249, \qquad 249 = 7 \times 35 + 4, \qquad \text{화요일} - 4 = \text{금요일}

💡 생일은 2012년의 화요일보다 요일이 4칸 앞이므로, 4일을 거꾸로 세면 그 날에 도달한다.

[1] #11 4.OA.A.3 기념일은 사건이 일어난 후 지난 온전한 햇수를 센다. 200주년이 2012년 2월 7일이므로, 탄생은 같은 월·일로 200년 전인 1812년 2

[2] #5 4.NBT.B.6 한 주는 7일이다. 평년은 365일이고 365 = 52 x 7 + 1이므로, 같은 날짜가 이듬해에는 요일이 1칸 뒤로 밀린다. 윤년은 366일이

[3] #7 4.OA.B.4 1812년 2월 7일에서 2012년 2월 7일까지 앞으로 나아가면 1812년부터 2011년까지의 해를 지난다. 4의 배수인 해를 세면 1812년

[4] #11 4.OA.A.3 평년은 요일을 1칸, 윤년은 2칸 밀므로 200년 동안의 총 앞쪽 이동량은 151 x 1 + 49 x 2 = 249칸이다. 249 = 7 x 3

검토

합리성 확인: 총 이동량 249는 250에 가깝고, 250 = 7 x 35 + 5라면 5가 나오지만, 정확히 세면 나머지가 4이고 이는 화요일에서 4칸 뺀 금요일과 일치한다. 빠른 점검: 200년은 매년 약 28주가 조금 넘게 순환하며, 남는 4일은 작고 그럴듯하다. 금요일은 보기 중 하나이므로 답이 일관된다.

대안 접근: 평년과 윤년을 따로 세는 대신, 모든 해가 요일을 최소 1칸 밀므로 기본 이동량이 200이고, 49번의 윤년이 각각 1칸씩 더한다는 점을 이용하면 200 + 49 = 249가 된다. 더 적은 계산으로 같은 나머지 4에 도달한다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.OA.A.3 Solve multi-step word problems using four operations with whole numbers (태어난 해를 찾고 요일을 알맞은 칸수만큼 거꾸로 세는 데 사용.)
4.NBT.B.6 Find whole-number quotients and remainders with up to four-digit dividends (날수를 7로 나누어 날짜가 요일을 몇 칸 미는지 구하는 데 사용.)
4.OA.B.4 Find all factor pairs and recognize multiples; determine prime or composite (4의 배수를 세고 배수 기반의 윤년 규칙을 적용하는 데 사용.)

⭐ 먼 과거의 요일을 찾으려면, 날짜가 해마다 며칠씩 밀리는지 세고, 7로 나눈 나머지만 남긴 뒤, 그만큼 요일을 거꾸로 세면 된다.