AMC 10 · 2012 · #14
쉬운 모드 학년 4처비는 가로 31칸, 세로 31칸인 체커보드를 만들어요. 네 모서리 칸은 모두 검은색이에요. 각 행과 각 열을 따라 칸의 색이 검은색과 빨간색으로 번갈아 바뀌어요. 이 보드에는 검은 칸이 몇 개 있을까요?
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AMC 10 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 체커판의 가로와 세로가 각각 $31$칸이다. 네 모서리 칸은 모두 검은색이고, 각 행과 각 열을 따라 검은색과 빨간색이 번갈아 나온다. 이 판 전체에 검은 칸이 몇 개인지 세어라.
주어진 것: 판은 $31\times31$ 칸으로 이루어진 격자이다.; 네 모서리 칸은 모두 검은색이다.; 모든 행과 모든 열을 따라 빨간색과 검은색이 번갈아 나온다.; 선택지: (A) $480$, (B) $481$, (C) $482$, (D) $483$, (E) $484$.
구하는 것: $31\times31$ 판에 있는 검은 칸의 총 개수.
이해
문제 재정리: 체커판의 가로와 세로가 각각 $31$칸이다. 네 모서리 칸은 모두 검은색이고, 각 행과 각 열을 따라 검은색과 빨간색이 번갈아 나온다. 이 판 전체에 검은 칸이 몇 개인지 세어라.
주어진 것: 판은 $31\times31$ 칸으로 이루어진 격자이다.; 네 모서리 칸은 모두 검은색이다.; 모든 행과 모든 열을 따라 빨간색과 검은색이 번갈아 나온다.; 선택지: (A) $480$, (B) $481$, (C) $482$, (D) $483$, (E) $484$.
계획
주요 도구: #5 패턴 찾기
보조 도구: #1 그림 그리기, #7 작은 문제로 쪼개기
$31\times31$ 판 전체를 한 칸씩 세기에는 너무 크므로, 도구 #5(패턴 찾기)로 반복되는 규칙으로 바꾼다. 각 행은 번갈아 색이 나오는 띠일 뿐이고, 한 행의 검은 칸 수는 양 끝의 색만으로 정해진다. 도구 #1(그림 그리기)로 작은 홀수 판에서 이 규칙을 먼저 확인하고, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 $31$개의 행을 검은색으로 끝나는 행과 빨간색으로 끝나는 행 두 무리로 나누면 세고 더하기가 쉬워진다.
실행 — 정답: B
2.OA.C.4 단계 1 작은 홀수 판 그려 보기
- 작은 홀수 판, 예를 들어 $3\times3$ 판에 네 모서리를 검은색으로 그려 보자.
- 아무 행이나 읽으면 검은색, 빨간색, 검은색이 되어 길이가 홀수이므로 검은색으로 시작해 검은색으로 끝난다.
- $31$칸 너비의 판에서도 똑같다.
- $31$은 홀수이므로 모든 행은 양 끝 칸과 같은 색으로 시작하고 끝난다.
💡 길이가 홀수인 띠는 항상 시작한 색과 같은 색으로 끝난다.
4.OA.C.5 단계 2 행 종류별 검은 칸 세기
- 검은색으로 시작해 검은색으로 끝나는 $31$칸 행은 검은색, 빨간색, 검은색, 빨간색, ...
- , 검은색 모양이다.
- 검은색과 빨간색이 번갈아 나오고 검은 칸이 빨간 칸보다 하나 더 많으므로, $31$칸은 검은색 $16$칸과 빨간색 $15$칸으로 나뉜다.
- 빨간색으로 시작해 빨간색으로 끝나는 행은 그 반대라서 검은색 $15$칸, 빨간색 $16$칸이다.
- 그래서 모든 행은 검은 칸이 $16$개 아니면 $15$개다.
💡 길이가 홀수인 번갈아 띠에서는 양 끝의 색이 다른 색보다 정확히 하나 더 많이 나온다.
2.OA.C.3 단계 3 각 종류의 행이 몇 개인지 세기
- 맨 왼쪽 열도 번갈아 나오며 맨 위 모서리에서 검은색으로 시작하므로, 검은색으로 시작하는 행은 $1,3,5,\ldots,31$번째 행이고 빨간색으로 시작하는 행은 $2,4,6,\ldots,30$번째 행이다.
- $1$부터 $31$까지의 수 중 홀수 번호는 $16$개, 짝수 번호는 $15$개다.
- 그러므로 검은색 끝 행이 $16$개, 빨간색 끝 행이 $15$개다.
💡 모서리 색이 홀수 번째 행을 표시하니, $31$까지의 홀수와 짝수를 세면 행이 나뉜다.
4.NBT.B.5 단계 4 각 무리 곱하기
- 각 행 종류의 개수에 그 종류가 내놓는 검은 칸 수를 곱한다.
- 검은색 끝 행 $16$개는 검은 칸 $16\times16=256$개를 내놓고, 빨간색 끝 행 $15$개는 검은 칸 $15\times15=225$개를 내놓는다.
💡 크기가 같은 무리는 긴 세기를 두 번의 빠른 곱셈으로 바꿔 준다.
4.NBT.B.4 단계 5 두 무리 더하기
- 두 무리의 검은 칸을 더한다: $256+225=481$.
- 이것이 판 위 검은 칸의 총 개수이며 선택지 (B)이다.
- 가까운 선택지들은 사소한 실수에서 나온다.
- 남는 한 칸을 빨간색에 주면 $480$이 되고, 어떤 행을 잘못 세면 $482$ 이상이 된다.
💡 두 행 무리는 겹치지 않으므로 검은 칸 수를 그대로 더하면 된다.
2.OA.C.4 작은 홀수 판, 예를 들어 $3\times3$ 판에 네 모서리를 검은색으로 그려 보자. 아무 행이나 읽으면 검은색, 빨간색, 검은색이 되어 길이 4.OA.C.5 검은색으로 시작해 검은색으로 끝나는 $31$칸 행은 검은색, 빨간색, 검은색, 빨간색, ... , 검은색 모양이다. 검은색과 빨간색이 번갈아 나 2.OA.C.3 맨 왼쪽 열도 번갈아 나오며 맨 위 모서리에서 검은색으로 시작하므로, 검은색으로 시작하는 행은 $1,3,5,\ldots,31$번째 행이고 빨간색 4.NBT.B.5 각 행 종류의 개수에 그 종류가 내놓는 검은 칸 수를 곱한다. 검은색 끝 행 $16$개는 검은 칸 $16\times16=256$개를 내놓고, 빨 4.NBT.B.4 두 무리의 검은 칸을 더한다: $256+225=481$. 이것이 판 위 검은 칸의 총 개수이며 선택지 (B)이다. 가까운 선택지들은 사소한 실수 검토
합리성 확인: 판에는 모두 $31^2=961$개의 칸이 있다. 이 총합은 홀수이므로 검은색과 빨간색이 똑같이 나뉠 수 없고, 한 색이 남는 한 칸을 가져가야 한다. 네 모서리가 모두 검은색이므로 남는 칸을 가져가는 색은 검은색이고, 검은 칸은 $\dfrac{961+1}{2}=481$개가 된다. 이것은 행별로 센 결과와 일치한다. 함정 선택지 $480$은 정확히 $\dfrac{961-1}{2}$로, 남는 칸을 빨간색에 잘못 주었을 때 나온다.
대안 접근: 행을 세지 않고 홀짝성만 써도 된다. 홀수 곱하기 홀수 판에서는 모서리 색이 $\dfrac{n^2+1}{2}$칸을 차지한다. $n=31$이면 $\dfrac{961+1}{2}=481$로 한 번에 나온다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)
2.OA.C.4Use addition to find the total number of objects in rectangular arrays (체커판을 $31$칸짜리 행 $31$개로 보고 각 행을 순서 있는 띠로 읽는 데 사용.)4.OA.C.5Generate a number or shape pattern following a given rule (번갈아 나오는 색 규칙으로 홀수 길이 행이 한 색 $16$칸, 다른 색 $15$칸을 가짐을 알아내는 데 사용.)2.OA.C.3Determine whether a group of objects has an odd or even number ($1$부터 $31$까지의 행 중 홀수 번째(검은색 끝) 행 $16$개와 짝수 번째(빨간색 끝) 행 $15$개를 세는 데 사용.)4.NBT.B.5Multiply a whole number of up to four digits by a one-digit whole number (두 행 무리에 대해 $16\times16=256$과 $15\times15=225$를 계산하는 데 사용.)4.NBT.B.4Fluently add and subtract multi-digit whole numbers (두 행 무리의 검은 칸을 합치기 위해 $256+225=481$을 더하는 데 사용.)
⭐ 홀수 곱하기 홀수 판에서는 모서리에 놓인 색이 전체 칸의 절반보다 정확히 하나 더 많이 차지한다.
⭐ 홀수 곱하기 홀수 판에서는 모서리에 놓인 색이 전체 칸의 절반보다 정확히 하나 더 많이 차지한다.
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