AMC 10 · 2013 · #14

쉬운 모드 학년 3

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문제

한 변의 길이가 $3$ 인 정육면체가 있다. 이 정육면체의 $8$ 개 꼭짓점마다 한 변의 길이가 $1$ 인 작은 정육면체를 잘라낸다. 남은 입체의 모서리는 몇 개인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

108

AMC 10 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 한 변의 길이가 $3$인 정육면체에서 $8$개의 꼭짓점마다 한 변의 길이가 $1$인 작은 정육면체를 하나씩 잘라낸다. 남은 입체의 모서리가 몇 개인지 세어라.

주어진 것: 처음 도형은 한 변의 길이가 $3$인 정육면체이다; $8$개의 꼭짓점마다 한 변의 길이가 $1$인 정육면체를 하나씩 잘라낸다; 정육면체는 모서리 $12$개, 면 $6$개, 꼭짓점 $8$개를 가진다; 선택지: (A) $36$, (B) $60$, (C) $72$, (D) $84$, (E) $108$

구하는 것: $8$개의 꼭짓점 정육면체를 모두 잘라낸 뒤 남은 입체의 모서리 개수

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #17 공간 상상하기, #1 그림 그리기

모든 모서리를 한꺼번에 세면 헷갈리므로, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 전체를 두 개의 독립된 세기로 나눈다: 원래 정육면체의 모서리 중 몇 개가 살아남는가, 그리고 똑같이 생긴 $8$개의 꼭짓점 절단이 새 모서리를 몇 개 더하는가. 도구 #17(공간 상상하기)로 한 꼭짓점의 홈을 떠올려, 새로 드러난 정사각형 면 세 개가 정확히 $9$개의 모서리를 만든다는 것을 본다. 도구 #1(그림 그리기)로 그 한 꼭짓점을 그려서 새 면끼리 공유하는 모서리를 두 번 세지 않도록 한다. $8$개의 꼭짓점이 모두 똑같으므로 한 곳만 신중히 세면 전체로 곱해진다.

실행 — 정답: D

#17 공간 상상하기 2.G.A.1 단계 1

원래 정육면체의 모서리 지키기

먼저 이미 있던 모서리를 센다.
큰 정육면체의 모든 모서리는 양 끝에서 단위 정육면체가 잘려 나간다.
모서리의 두 끝에서 단위 조각을 잘라내면 그 모서리는 짧아질 뿐, 여러 조각으로 갈라지거나 사라지지 않는다.
정육면체의 모서리는 $12$개이므로 원래 모서리 $12$개가 모두 남는다.

$$12 \text{ 개의 원래 모서리}$$

💡 막대의 양 끝을 다듬으면 짧은 막대 하나가 남지, 없어지거나 둘로 갈라지지 않는다.

#17 공간 상상하기 K.G.B.4 단계 2

한 꼭짓점 절단이 드러내는 것 보기

이제 한 꼭짓점을 본다.
잘라낸 단위 정육면체의 면 $6$개 중 $3$개는 큰 정육면체의 바깥면에 붙어 있었고, 나머지 $3$개는 안쪽에 묻혀 있었다.
작은 정육면체를 떼어내면 이 안쪽 $3$개 면이 드러나므로, 각 꼭짓점 절단은 정확히 새 단위 정사각형 면 $3$개를 열어 놓고, 이 세 정사각형은 안쪽의 한 점에서 모두 만난다.

$$\text{꼭짓점마다 새 정사각형 면 } 3 \text{개}$$

💡 꼭짓점을 정육면체 모양으로 한 입 베어 물면 그 자국의 안쪽 벽 세 개가 드러난다.

#1 그림 그리기 2.G.A.1 단계 3

그 꼭짓점에서 새 모서리 세기

드러난 정사각형 $3$개는 각각 모서리가 $4$개이므로 $3 \times 4 = 12$개의 모서리 자리가 생긴다.
그러나 세 정사각형은 안쪽 한 점에서 만나고, 서로 짝지을 때마다 그 점으로 가는 모서리 하나를 공유하므로 $3$개의 모서리는 각각 두 번씩 세어진다.
한 꼭짓점의 서로 다른 새 모서리 개수는 $12 - 3 = 9$이다.

$$3 \times 4 - 3 = 12 - 3 = 9 \text{ 개의 새 모서리(꼭짓점당)}$$

💡 두 면이 맞닿는 곳은 모서리를 공유하므로 공유된 모서리는 한 번만 세어야 한다.

#7 작은 문제로 쪼개기 3.OA.D.8 단계 4

여덟 꼭짓점 모두 더하기

$8$개의 꼭짓점이 모두 똑같으므로 각각 $9$개의 새 모서리를 더한다: $8 \times 9 = 72$개의 새 모서리.
여기에 살아남은 원래 모서리 $12$개를 더하면 $12 + 72 = 84$이다.
남은 입체의 모서리는 $84$개이며, 이는 선택지 (D)이다.

$$12 + 8 \times 9 = 12 + 72 = 84 \Rightarrow \textbf{(D)}$$

💡 똑같은 홈이 여덟 개이니 한 홈을 세어 곱하고, 건드리지 않은 모서리를 더하면 된다.

[1] #17 2.G.A.1 먼저 이미 있던 모서리를 센다. 큰 정육면체의 모든 모서리는 양 끝에서 단위 정육면체가 잘려 나간다. 모서리의 두 끝에서 단위 조각을 잘라내면

[2] #17 K.G.B.4 이제 한 꼭짓점을 본다. 잘라낸 단위 정육면체의 면 $6$개 중 $3$개는 큰 정육면체의 바깥면에 붙어 있었고, 나머지 $3$개는 안쪽에 묻혀

[3] #1 2.G.A.1 드러난 정사각형 $3$개는 각각 모서리가 $4$개이므로 $3 \times 4 = 12$개의 모서리 자리가 생긴다. 그러나 세 정사각형은 안쪽 한

[4] #7 3.OA.D.8 $8$개의 꼭짓점이 모두 똑같으므로 각각 $9$개의 새 모서리를 더한다: $8 \times 9 = 72$개의 새 모서리. 여기에 살아남은 원래

검토

합리성 확인: 오일러의 다면체 공식 $V - E + F = 2$로 합계를 확인한다. 면: 원래 면 $6$개는 그대로 남고(각 큰 면은 네 모서리의 정사각형만 잃지만 하나의 연결된 면으로 유지된다), 꼭짓점마다 새 면 $3$개가 생겨 $3 \times 8 = 24$개, 따라서 $F = 6 + 24 = 30$. 꼭짓점: 각 절단은 원래 꼭짓점 $1$개를 지우지만 작은 정육면체의 나머지 꼭짓점 $7$개를 만들므로 $V = 8 \times 7 = 56$. 그러면 $E = V + F - 2 = 56 + 30 - 2 = 84$로, 직접 센 값과 일치하며 (D)를 확인해 준다. 또한 $84$는 선택지 중 하나이고 원래 모서리 $12$개보다 적절히 큰 값이다.

대안 접근: 원래 모서리와 새 모서리를 나누는 대신 처음부터 오일러 공식으로 전부 센다: 잘린 입체의 꼭짓점이 $V = 56$개, 면이 $F = 30$개임을 구한 뒤 $V - E + F = 2$를 풀어 $E = V + F - 2 = 56 + 30 - 2 = 84$를 얻는다. 이는 모서리를 직접 상상하는 대신 면과 꼭짓점을 세는 방법으로 바꾼 것이며 같은 답 (D)에 이른다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 3)

2.G.A.1 Recognize and draw shapes having specified attributes (정육면체의 모서리가 $12$개이고 새로 드러난 각 면이 모서리 $4$개짜리 단위 정사각형임을 떠올리는 데 사용.)
K.G.B.4 Analyze and compare two- and three-dimensional shapes (한 꼭짓점의 단위 정육면체를 떼어내면 한 점에서 만나는 안쪽 정사각형 면 정확히 $3$개가 드러남을 보는 데 사용.)
3.OA.D.8 Solve two-step word problems using four operations within 100 (두 세기를 $12 + 8 \times 9 = 84$로 합치는 데 사용.)

⭐ 꼭짓점에서 정육면체를 잘라내도 원래 모서리는 사라지지 않는다. 새 모서리 $9$개짜리 작은 세 면의 홈이 하나 생길 뿐이고, 홈 여덟 개가 $72$개를 더한다.