AMC 10 · 2013 · #4

쉬운 모드 학년 3

문제

어느 소프트볼 팀이 열 경기를 치렀다. 각 경기에서 낸 점수는 $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ , $7$ , $8$ , $9$ , $10$ 점으로, 한 경기에 한 점수씩이었다. 이 중 다섯 경기에서는 딱 $1$ 점 차로 졌다. 나머지 다섯 경기에서는 각각 상대 팀보다 두 배 많은 점수를 냈다. 상대 팀들이 낸 점수를 모두 합하면 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

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보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 한 팀이 치른 열 경기의 점수는 $1,2,3,\dots,10$ 이다. 다섯 경기는 정확히 1점 차로 졌고, 나머지 다섯 경기는 각각 상대의 두 배 점수를 냈다. 상대 팀들이 낸 점수를 모두 더하라.

주어진 것: 팀의 열 경기 점수는 한 경기당 하나씩 $1,2,3,4,5,6,7,8,9,10$ 이다; 정확히 다섯 경기에서 팀은 1점 차로 졌다 (상대가 1점 더 냈다); 나머지 다섯 경기에서는 각각 팀이 상대의 두 배 점수를 냈다; 선택지: (A) $35$, (B) $40$, (C) $45$, (D) $50$, (E) $55$

구하는 것: 열 경기 동안 모든 상대 팀이 낸 점수의 합

이해

계획

주요 도구: #3 가능성 지우기

보조 도구: #13 대수로 바꾸기, #7 작은 문제로 쪼개기

어려운 부분은 다섯 점수가 진 경기인지 두 배 경기인지 가려내는 것이다. 도구 #13 (대수로 바꾸기)로 두 규칙을 수 관계로 바꾼다. 그다음 도구 #3 (가능성 지우기)이 홀짝 하나로 문제를 푼다: 두 배 점수는 자연수의 $2$ 배이므로 짝수여야 한다 — 그래서 다섯 개의 홀수 점수는 진 경기, 다섯 개의 짝수 점수는 두 배 경기가 될 수밖에 없다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기)로 세는 일을 두 개의 쉬운 합으로 나눠 마지막에 더한다.

실행 — 정답: C

#13 대수로 바꾸기 2.OA.A.1 단계 1

각 규칙을 수 관계로 바꾸기

각 종류의 경기가 상대 점수에 대해 뜻하는 바를 적는다.
두 배 경기에서 팀은 상대의 두 배를 냈으므로 팀 점수 $=2\times(\text{상대})$ 이고, 이는 상대가 팀 점수의 절반을 냈다는 뜻이다.
진 경기에서는 팀이 1점 차로 졌으므로 상대는 팀보다 1점 더 낸 $(\text{팀})+1$ 이다.

$$\text{두 배: 팀}=2\times\text{상대}\Rightarrow\text{상대}=\tfrac{\text{팀}}{2};\quad\text{짐: 상대}=\text{팀}+1$$

💡 말을 "절반" 과 "1 더" 로 바꾸면 팀 점수에서 상대 점수를 어떻게 얻는지 바로 보인다.

#3 가능성 지우기 2.OA.C.3 단계 2

홀짝으로 경기를 나누기

두 배 점수는 자연수의 $2$ 배와 같으므로 반드시 짝수다.
홀수 점수 $1,3,5,7,9$ 는 결코 자연수의 두 배가 될 수 없으므로, 이 다섯 경기는 두 배 경기일 수 없다 — 곧 다섯 개의 진 경기다.
그러면 짝수 점수 $2,4,6,8,10$ 이 다섯 개의 두 배 경기로 남는다.
개수도 다섯과 다섯으로 딱 맞는다.

$$\text{홀수 }\{1,3,5,7,9\}\to\text{짐};\quad\text{짝수 }\{2,4,6,8,10\}\to\text{두 배}$$

💡 두 배는 항상 짝수에 떨어지므로 홀수 점수는 진 경기로 몰릴 수밖에 없다.

#7 작은 문제로 쪼개기 2.NBT.B.5 단계 3

진 경기의 상대 점수 더하기

홀수 점수에서는 상대가 팀보다 1점 더 냈다.
그래서 상대 점수는 $1{+}1,\;3{+}1,\;5{+}1,\;7{+}1,\;9{+}1$, 곧 $2,4,6,8,10$ 이다.
이들을 더하면 진 경기에서 상대가 낸 점수가 된다.

$$2+4+6+8+10 = 30$$

💡 진 경기의 상대는 팀 점수를 1만큼 올린 값일 뿐이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 3.OA.A.3 단계 4

두 배 경기의 상대 점수 더하기

짝수 점수에서는 상대가 팀 점수의 절반을 냈다.
그래서 상대 점수는 $\tfrac{2}{2},\;\tfrac{4}{2},\;\tfrac{6}{2},\;\tfrac{8}{2},\;\tfrac{10}{2}$, 곧 $1,2,3,4,5$ 이다.
이들을 더하면 두 배 경기에서 상대가 낸 점수가 된다.

$$1+2+3+4+5 = 15$$

💡 두 배 경기의 상대는 팀 점수를 절반으로 나눈 값일 뿐이다.

#3 가능성 지우기 2.NBT.B.5 단계 5

두 합을 합치기

두 종류의 경기에서 나온 점수를 더한다: 진 경기의 $30$ 과 두 배 경기의 $15$.
상대들이 낸 점수는 모두 $30+15=45$ 이고, 이는 선택지 (C)다.

$$30+15 = 45 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 두 묶음이 겹침 없이 열 경기를 모두 덮으므로 두 합을 그냥 더하면 된다.

[1] #13 2.OA.A.1 각 종류의 경기가 상대 점수에 대해 뜻하는 바를 적는다. 두 배 경기에서 팀은 상대의 두 배를 냈으므로 팀 점수 $=2\times(\text{상

[2] #3 2.OA.C.3 두 배 점수는 자연수의 $2$ 배와 같으므로 반드시 짝수다. 홀수 점수 $1,3,5,7,9$ 는 결코 자연수의 두 배가 될 수 없으므로, 이 다

[3] #7 2.NBT.B.5 홀수 점수에서는 상대가 팀보다 1점 더 냈다. 그래서 상대 점수는 $1{+}1,\;3{+}1,\;5{+}1,\;7{+}1,\;9{+}1$, 곧

[4] #7 3.OA.A.3 짝수 점수에서는 상대가 팀 점수의 절반을 냈다. 그래서 상대 점수는 $\tfrac{2}{2},\;\tfrac{4}{2},\;\tfrac{6}{2

[5] #3 2.NBT.B.5 두 종류의 경기에서 나온 점수를 더한다: 진 경기의 $30$ 과 두 배 경기의 $15$. 상대들이 낸 점수는 모두 $30+15=45$ 이고, 이

검토

합리성 확인: 팀은 $1+2+\cdots+10=55$ 점을 냈다. 진 경기에서 상대는 팀보다 조금 많이($경기당 +1$, 다섯 경기 $=+5$), 두 배 경기에서 상대는 훨씬 적게(각각 절반) 냈다. 합 $45$ 는 팀의 $55$ 보다 알맞게 작아 (C)와 맞는다. 나눠서 확인해도 맞다: 진 경기 상대 $30$ 은 팀의 홀수 합 $25$ 보다 $5$ 크고(예상대로), 두 배 경기 상대 $15$ 는 팀의 짝수 합 $30$ 의 정확히 절반이다.

대안 접근: 나누지 않고 절반과 1 더하기 구조를 바로 쓴다. 팀의 홀수 점수 합은 $25$ 이고 진 경기 상대는 각각 1씩 더하므로 $25+5=30$. 팀의 짝수 점수 합은 $30$ 이고 두 배 경기 상대는 각각 절반이므로 $\tfrac{30}{2}=15$. 합 $30+15=45$, 역시 (C)다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 3)

2.OA.A.1 Solve one- and two-step word problems using addition and subtraction within 100 ("1점 차로 졌다" 를 상대 $=$ 팀 $+1$ 로 바꾸기.)
2.OA.C.3 Determine whether a group of objects has an odd or even number (두 배 점수가 짝수여야 함을 알아내어 홀수 점수를 진 경기로 정하기.)
3.OA.A.3 Solve multiplication and division word problems within 100 (각 짝수 팀 점수를 절반으로 나눠 두 배 경기 상대 $1,2,3,4,5$ 구하기.)
2.NBT.B.5 Fluently add and subtract within 100 ($2+4+6+8+10=30$, $1+2+3+4+5=15$, $30+15=45$ 계산하기.)

⭐ 두 배는 늘 짝수를 만드니 홀수 점수는 아슬아슬하게 진 경기였다 — 그렇게 나눈 뒤 절반들과 1 더한 값들을 더하면 된다.