AMC 10 · 2013 · #6

쉬운 모드 학년 1

문제

조이와 그의 다섯 형제는 나이가 $3$ , $5$ , $7$ , $9$ , $11$ , $13$ 살이다. 어느 날 오후, 나이의 합이 $16$ 인 두 형제는 영화를 보러 갔다. $10$ 살보다 어린 두 형제는 야구를 하러 갔다. 조이와 $5$ 살인 형제는 집에 남았다. 조이는 몇 살인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 여섯 형제(그중 한 명이 조이)의 나이는 $3$, $5$, $7$, $9$, $11$, $13$ 입니다. 이 중 나이의 합이 $16$ 인 두 명은 영화를 보러 갔고, $10$ 살보다 어린 두 명은 야구를 하러 갔으며, 조이와 $5$ 살은 집에 남았습니다. 조이의 나이를 구하세요.

주어진 것: 여섯 명의 나이는 $3, 5, 7, 9, 11, 13$; 영화를 보러 간 두 명의 나이 합은 $16$; 야구를 하러 간 두 명은 각각 $10$ 살보다 어림; 조이와 $5$ 살은 집에 남음; 선택지: (A) $3$, (B) $7$, (C) $9$, (D) $11$, (E) $13$

구하는 것: 조이의 나이

이해

계획

주요 도구: #3 가능성 지우기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기

나이의 집합이 작고 고정되어 있으며 답이 다섯 선택지 중 하나입니다 — 도구 #3(가능성 지우기)의 전형적인 신호입니다. 먼저 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 합이 $16$ 이 되는 영화 짝 후보를 모두 적고, 그다음 도구 #3으로 다른 단서와 어긋나는 것을 하나씩 지워 단 하나의 배치만 남깁니다. 마지막에 갈 곳이 없는 형제가 바로 조이입니다.

실행 — 정답: D

#2 빠짐없이 나열하기 1.OA.C.6 단계 1

합이 16인 짝 모두 나열하기

나이들을 살펴 합이 $16$ 이 되는 짝을 모두 찾습니다.
그것이 영화 짝이기 때문입니다.
확인해 보면 짝은 $3+13$, $5+11$, $7+9$ 뿐입니다.

$$3+13=16,\quad 5+11=16,\quad 7+9=16$$

💡 합이 $16$ 이 되는 짝은 몇 개뿐이라 전부 적어 두면 영화 짝에 대해 추측할 것이 없습니다.

#3 가능성 지우기 1.OA.A.1 단계 2

5살 단서로 한 짝 지우기

$5$ 살은 집에 남았으므로 영화를 볼 수 없습니다.
따라서 $5+11$ 짝은 지워집니다.
영화 짝은 $3+13$ 아니면 $7+9$ 여야 합니다.

$$\text{집} = \{5, \text{조이}\} \Rightarrow 5 \notin \text{영화} \Rightarrow \text{영화} \in \{(3,13),\,(7,9)\}$$

💡 한 형제는 한 곳에만 있을 수 있으니, 집에 대한 사실 하나가 영화 후보를 즉시 없앱니다.

#3 가능성 지우기 1.NBT.B.3 단계 3

야구 짝이 성립하는 영화 짝 고르기

야구는 $10$ 살보다 어린 두 명이 필요하고 $5$ 살은 집에 있으므로, 선수는 $\{3, 7, 9\}$ 에서 나옵니다.
만약 영화 짝이 $7+9$ 라면 야구는 $\{3\}$ 에서만 뽑아야 하는데 — 한 명뿐이라 부족합니다.
따라서 $7+9$ 는 안 되고, 영화 짝은 $3+13$ 이어야 합니다.

$$10\text{살 미만} = \{3,7,9\};\ \text{영화}=(7,9)\Rightarrow \text{야구}\subseteq\{3\}\ (\text{부족}) \Rightarrow \text{영화}=(3,13)$$

💡 야구는 어린 선수 두 명을 요구하므로, 두 번째 어린 형제를 없애는 선택은 불가능합니다.

#3 가능성 지우기 1.OA.A.1 단계 4

나머지 배치하기; 남는 사람이 조이

영화가 $3$ 과 $13$ 을 데려가면, 남은 $10$ 살 미만 형제는 $7$ 과 $9$ 이므로 이들이 야구 짝입니다.
집에는 이미 $5$ 살과 조이가 있습니다.
나이 $3, 5, 7, 9, 13$ 이 모두 배정되어 조이에게는 $11$ 만 남습니다.
따라서 조이는 $11$ 살, 선택지 (D) 입니다.

$$\text{영화}=\{3,13\},\ \text{야구}=\{7,9\},\ \text{집}=\{5,\,\text{조이}\}\Rightarrow \text{조이}=11\ \textbf{(D)}$$

💡 다섯 나이가 자리를 잡으면 남은 단 하나의 나이가 조이의 것일 수밖에 없습니다.

[1] #2 1.OA.C.6 나이들을 살펴 합이 $16$ 이 되는 짝을 모두 찾습니다. 그것이 영화 짝이기 때문입니다. 확인해 보면 짝은 $3+13$, $5+11$, $7+

[2] #3 1.OA.A.1 $5$ 살은 집에 남았으므로 영화를 볼 수 없습니다. 따라서 $5+11$ 짝은 지워집니다. 영화 짝은 $3+13$ 아니면 $7+9$ 여야 합니다

[3] #3 1.NBT.B.3 야구는 $10$ 살보다 어린 두 명이 필요하고 $5$ 살은 집에 있으므로, 선수는 $\{3, 7, 9\}$ 에서 나옵니다. 만약 영화 짝이 $7

[4] #3 1.OA.A.1 영화가 $3$ 과 $13$ 을 데려가면, 남은 $10$ 살 미만 형제는 $7$ 과 $9$ 이므로 이들이 야구 짝입니다. 집에는 이미 $5$ 살과

검토

합리성 확인: 최종 배치를 모든 단서에 대조해 봅시다: 영화 $= 3+13 = 16$ (합이 $16$, 통과); 야구 $= 7$ 과 $9$, 둘 다 $10$ 살 미만 (통과); 집 $=$ $5$ 살과 조이 ($11$). 여섯 형제 $3,5,7,9,11,13$ 이 각각 정확히 한 번씩 쓰였고 모든 단서가 충족되므로 조이가 $11$ 살이라는 결론은 일관됩니다.

대안 접근: 도구 #16(관점 바꾸기): 세 그룹을 따라가는 대신, 어느 나이가 어디에도 끌려가지 않는지 물어봅니다. 영화 단서는 $3,13,7,9$ 를, 야구 단서는 $3,7,9$ 를 쓸 수 있고, 집 단서는 $5$ 를 지목합니다. 어떤 단서도 집 밖으로 끌어낼 수 없는 나이는 $11$ 뿐이며 — 조이가 이름이 안 불린 집에 남은 형제이므로 조이는 $11$ 살입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 1)

1.OA.C.6 $20$ 이내에서 덧셈·뺄셈 하기 (합이 $16$ 이 되는 나이 짝을 모두 찾아 영화 짝 후보를 확정하는 데 사용.)
1.OA.A.1 $20$ 이내 덧셈·뺄셈으로 문장제 해결하기 (이야기 단서(누가 집에 있는지, 누가 남는지)를 각 형제의 배치로 옮겨 조이를 찾는 데 사용.)
1.NBT.B.3 두 자리 수 두 개를 >, =, < 로 비교하기 (어느 형제가 $10$ 살보다 어려 야구 짝 자격이 있는지 판단하는 데 사용.)

⭐ 각 단서에 맞는 짝을 모두 적고, 다른 단서가 막는 짝을 지워 나가면 — 갈 그룹이 없는 형제가 바로 답입니다.