AMC 10 · 2015 · #10
쉬운 모드 학년 2네 글자 a, b, c, d를 한 줄로 늘어놓아요. 각 글자는 한 번씩만 써요. 규칙은 이래요: 알파벳에서 바로 옆에 있는 두 글자는 줄에서도 서로 옆에 놓을 수 없어요. 예를 들어 a와 b는 알파벳 이웃이라서 ab나 ba는 안 돼요. 규칙을 지키는 줄은 모두 몇 가지일까요?
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AMC 10 2015 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 네 글자 $a$, $b$, $c$, $d$를 한 줄로 늘어놓을 때, 서로 붙어 있는 두 글자가 알파벳에서도 이웃인 경우가 하나도 없는 배열이 몇 개인지 세어라 (즉 $ab$, $ba$, $bc$, $cb$, $cd$, $dc$ 같은 이웃 쌍은 금지된다).
주어진 것: 재배열할 네 글자는 $a$, $b$, $c$, $d$이다; 알파벳에서 순서는 $a,b,c,d$이므로, 알파벳에서 이웃인 쌍은 (방향에 상관없이) $ab$, $bc$, $cd$이다; 옆으로 붙어 있는 모든 글자 쌍이 알파벳 이웃 쌍이 아닐 때에만 그 배열이 허용된다; 선택지: (A) 0, (B) 1, (C) 2, (D) 3, (E) 4
구하는 것: 규칙을 만족하는 $a,b,c,d$의 올바른 배열의 개수
이해
문제 재정리: 네 글자 $a$, $b$, $c$, $d$를 한 줄로 늘어놓을 때, 서로 붙어 있는 두 글자가 알파벳에서도 이웃인 경우가 하나도 없는 배열이 몇 개인지 세어라 (즉 $ab$, $ba$, $bc$, $cb$, $cd$, $dc$ 같은 이웃 쌍은 금지된다).
주어진 것: 재배열할 네 글자는 $a$, $b$, $c$, $d$이다; 알파벳에서 순서는 $a,b,c,d$이므로, 알파벳에서 이웃인 쌍은 (방향에 상관없이) $ab$, $bc$, $cd$이다; 옆으로 붙어 있는 모든 글자 쌍이 알파벳 이웃 쌍이 아닐 때에만 그 배열이 허용된다; 선택지: (A) 0, (B) 1, (C) 2, (D) 3, (E) 4
계획
주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기
보조 도구: #4 변수 도입하기, #3 가능성 지우기
배열은 $4!=24$가지뿐인 작고 유한한 세계이므로, 첫 글자를 기준으로 정리하는 도구 #2(빠짐없이 나열하기)를 쓰면 빠뜨리거나 중복하지 않고 모두 셀 수 있다. 알파벳 이웃 검사를 기계적으로 만들기 위해 도구 #4(변수 도입하기)로 $a,b,c,d$를 위치 번호 $1,2,3,4$로 바꾸면 "알파벳 이웃"이 "차이가 정확히 $1$"이라는 깔끔한 수 검사가 된다. 그다음 도구 #3(가능성 지우기)이 금지된 쌍이 강제되는 순간 가지 전체를 쳐내므로, 24가지 중 대부분이 일일이 적기도 전에 사라진다.
실행 — 정답: C
2.OA.A.1 단계 1 글자를 숫자로 바꾸기
- 각 글자를 알파벳 위치로 바꾼다: $a=1$, $b=2$, $c=3$, $d=4$.
- 두 글자가 알파벳 이웃인 것은 두 숫자의 차이가 $1$일 때와 똑같다.
- 그래서 규칙은 이렇게 바뀐다: $1,2,3,4$를 한 줄로 늘어놓되 옆에 붙은 두 숫자의 차이가 $1$이 되지 않게 한다.
💡 숫자로 바꾸면 "알파벳에서 옆자리"를 뺄셈 한 번으로 확인할 수 있다.
2.OA.A.1 단계 2 첫 글자로 나누어 정리하기
- 첫 글자를 정하고 나서 무엇이 강제되는지 보며 목록을 만든다.
- 어떤 글자 옆에는 그 숫자의 이웃이 올 수 없다.
- 시도할 첫 글자는 $a$, $b$, $c$, $d$ 네 가지이고, 규칙이 계속 선택지를 지워 주므로 각 가지는 짧다.
💡 첫 글자를 고정하면 24가지가 추적하기 쉬운 네 개의 작은 묶음으로 갈라진다.
2.OA.B.2 단계 3 A나 D로 시작하면 둘 다 무너짐
- $a$($1$)로 시작해 보자.
- 다음 글자는 $b$($2$)가 될 수 없으니 $c$($3$)나 $d$($4$)이다.
- $a,c$라면: 세 번째 글자는 $c$ 옆이라 $b$나 $d$가 올 수 없는데 남은 것이 $b$와 $d$뿐 — 막다른 길.
- $a,d$라면: 세 번째는 $d$의 이웃인 $c$를 피해야 해서 $b$가 강제되고, 마지막은 $c$인데 $b,c$는 차이가 $1$ — 금지된다.
- 그래서 $a$로 시작하는 배열은 없다.
- $d$($4$)로 시작하는 경우는 좌우 대칭이라 똑같이 무너진다.
💡 $a$나 $d$ 같은 끝 글자는 짝이 될 글자가 너무 적어 가지가 금방 막힌다.
2.OA.B.2 단계 4 B나 C로 시작하면 각각 딱 하나
- $b$($2$)로 시작: 그 이웃은 $a$($1$)도 $c$($3$)도 될 수 없으니 두 번째 글자는 $d$($4$)여야 한다.
- $d$ 옆에는 $c$를 쓸 수 없으니 세 번째는 $a$, 마지막은 $c$: $b,d,a,c$.
- 간격 $|2-4|,|4-1|,|1-3| = 2,3,2$ — 모두 안전.
- $c$로 시작하는 경우는 좌우 대칭이라 $c,a,d,b$가 강제되고 역시 안전하다.
- 따라서 $b$에서 하나, $c$에서 하나가 나오고 $a$와 $d$ 시작은 하나도 없었으니, 모두 합쳐 $2$개 — 선택지 (C)이다.
💡 $b$나 $c$ 같은 가운데 글자는 강제된 한 줄이 살아남을 만큼의 여유를 남긴다.
2.OA.A.1 각 글자를 알파벳 위치로 바꾼다: $a=1$, $b=2$, $c=3$, $d=4$. 두 글자가 알파벳 이웃인 것은 두 숫자의 차이가 $1$일 때 2.OA.A.1 첫 글자를 정하고 나서 무엇이 강제되는지 보며 목록을 만든다. 어떤 글자 옆에는 그 숫자의 이웃이 올 수 없다. 시도할 첫 글자는 $a$, $b 2.OA.B.2 $a$($1$)로 시작해 보자. 다음 글자는 $b$($2$)가 될 수 없으니 $c$($3$)나 $d$($4$)이다. $a,c$라면: 세 번째 글 2.OA.B.2 $b$($2$)로 시작: 그 이웃은 $a$($1$)도 $c$($3$)도 될 수 없으니 두 번째 글자는 $d$($4$)여야 한다. $d$ 옆에는 검토
합리성 확인: 살아남은 두 배열 $bdac$와 $cadb$는 서로 뒤집은 것으로, 이는 문제의 대칭성과 맞아떨어진다: 올바른 줄을 좌우로 뒤집어도 모든 이웃 쌍은 그대로이므로 올바른 배열은 거울 쌍으로 나온다. 그래서 개수가 짝수일 것이 예상되고, $2$는 가장 작은 0이 아닌 짝수다 — 홀수인 (B) $1$과 (D) $3$이 배제된다. $bdac$의 이웃 간격은 $2,3,2$, $cadb$도 $2,3,2$로 모두 깨끗하고, $a$나 $d$로 시작하는 경우는 모두 $ab$/$bc$/$cd$ 쌍에 강제로 빠졌다. 따라서 (A) $0$은 너무 적고 (E) $4$는 너무 많다.
대안 접근: 나열 대신 여사건으로 나쁜 배열을 셀 수도 있다: 알파벳 이웃 쌍을 한 덩어리로 묶고 세 쌍 $ab,bc,cd$에 대해 포함–배제를 쓴다. 덩어리로 묶으면 $3\cdot2\cdot3! - (\text{겹침})$의 금지된 배열이 나오고, $24$에서 빼도 똑같이 $2$가 된다. 다만 글자가 네 개뿐이라면 곧장 빠짐없이 나열하는 쪽이 더 빠르고 실수가 적다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 2)
2.OA.A.1Solve one- and two-step word problems using addition and subtraction within 100 ("알파벳 이웃"을 "차이가 1"이라는 수 조건으로 바꾸고, 첫 글자 기준으로 목록을 만들면서 그 조건을 적용하는 데 사용.)2.OA.B.2Fluently add and subtract within 20 using mental strategies (이웃한 두 글자의 위치 번호 차이를 계산해 차이가 정확히 1인 쌍을 걸러내는 데 사용.)
⭐ 글자를 1-2-3-4 숫자로 바꾼 뒤 이웃끼리 차이가 1이 되지 않게 늘어놓으면, 살아남는 줄은 단 두 개다.
⭐ 글자를 1-2-3-4 숫자로 바꾼 뒤 이웃끼리 차이가 1이 되지 않게 늘어놓으면, 살아남는 줄은 단 두 개다.
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