AMC 10 · 2015 · #4
쉬운 모드 학년 4네 남매가 피자 한 판을 나눠 먹습니다. Alex는 그 중 51을 먹습니다. Beth는 31을 먹습니다. Cyril은 41을 먹습니다. Dan은 남은 것을 모두 먹습니다. 가장 많이 먹은 사람부터 가장 적게 먹은 사람까지 순서대로 적으세요.
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AMC 10 2015 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 네 남매가 피자 한 판을 나눠 먹습니다. Alex 는 $\frac15$, Beth 는 $\frac13$, Cyril 은 $\frac14$ 을 먹고, Dan 은 남은 부분을 모두 먹습니다. 가장 많이 먹은 사람부터 가장 적게 먹은 사람까지 네 남매를 순서대로 나열하세요.
주어진 것: Alex 는 피자의 $\frac15$ 을 먹음; Beth 는 피자의 $\frac13$ 을 먹음; Cyril 은 피자의 $\frac14$ 을 먹음; Dan 은 나머지 — 다른 세 명이 먹지 않은 부분 — 을 먹음; 각 선택지는 네 이름을 많이 먹은 순서대로 늘어놓은 한 가지 배열
구하는 것: 각자 먹은 피자 양을 기준으로 내림차순 정렬한 네 남매의 순서
이해
문제 재정리: 네 남매가 피자 한 판을 나눠 먹습니다. Alex 는 $\frac15$, Beth 는 $\frac13$, Cyril 은 $\frac14$ 을 먹고, Dan 은 남은 부분을 모두 먹습니다. 가장 많이 먹은 사람부터 가장 적게 먹은 사람까지 네 남매를 순서대로 나열하세요.
주어진 것: Alex 는 피자의 $\frac15$ 을 먹음; Beth 는 피자의 $\frac13$ 을 먹음; Cyril 은 피자의 $\frac14$ 을 먹음; Dan 은 나머지 — 다른 세 명이 먹지 않은 부분 — 을 먹음; 각 선택지는 네 이름을 많이 먹은 순서대로 늘어놓은 한 가지 배열
계획
주요 도구: #4 변수 도입하기
보조 도구: #16 관점 바꾸기, #3 가능성 지우기
$\frac15$, $\frac13$, $\frac14$ 을 분수 그대로 비교하기는 번거롭습니다. 도구 #4(변수 도입하기) 로 피자를 똑같은 조각 수로 정해 버리면 — $5$, $3$, $4$ 의 공통 배수인 $60$ 을 고르면 — 모든 몫이 자연수 조각으로 떨어져 크기를 한눈에 읽을 수 있습니다. 도구 #16(관점 바꾸기/여집합 세기) 은 Dan 을 처리합니다. 그의 몫을 직접 구하는 대신 피자 전체에서 알려진 세 몫을 빼면 됩니다. 도구 #3(가능성 지우기) 으로 마무리합니다 — 네 조각 수가 정해지면 다섯 배열 중 하나만 맞고 나머지는 지워집니다.
실행 — 정답: C
4.OA.B.4 단계 1 피자를 60조각으로 자르기
- 모든 분수를 자연수로 바꿔 주는 피자 크기를 고릅니다.
- 분모는 $5$, $3$, $4$ 이고 $60$ 은 셋 모두의 배수이므로, 피자를 똑같은 $60$ 조각으로 잘랐다고 생각합니다.
💡 세 분모가 모두 나누어떨어지는 수를 고르면 각 몫이 지저분한 분수 대신 딱 떨어지는 조각 수가 됩니다.
4.NF.B.4 단계 2 알려진 몫 세기
- 각자 분수만큼의 조각을 셉니다.
- Alex 는 $60$ 조각의 $\frac15 = 12$ 조각, Beth 는 $\frac13 = 20$ 조각, Cyril 은 $\frac14 = 15$ 조각을 먹습니다.
💡 전체 피자의 몇 분의 몇을 구하는 것은 그 분수에 조각 수를 곱하는 것일 뿐입니다.
4.NBT.B.4 단계 3 Dan 은 남은 것을 먹음
- Dan 의 몫은 다른 세 명이 먹지 않은 부분이므로, 피자 전체에서 그들의 조각을 뺍니다.
- $12 + 20 + 15 = 47$ 조각이 사라지고 Dan 에게 $60 - 47 = 13$ 조각이 남습니다.
💡 남은 양은 전체에서 이미 아는 부분을 빼는 것이 가장 쉽습니다.
4.NBT.A.2 단계 4 많은 순서대로 정렬
- 이제 조각 수를 비교합니다.
- Beth $20$, Cyril $15$, Dan $13$, Alex $12$.
- 내림차순으로는 Beth, Cyril, Dan, Alex 이고 이는 선택지 (C) 와 일치합니다.
- 나머지 네 배열은 맞지 않으므로 답은 $\textbf{(C)}$ 입니다.
💡 자연수 조각 수는 크기 순서가 그대로 보이므로 순위를 숫자에서 바로 읽을 수 있습니다.
4.OA.B.4 모든 분수를 자연수로 바꿔 주는 피자 크기를 고릅니다. 분모는 $5$, $3$, $4$ 이고 $60$ 은 셋 모두의 배수이므로, 피자를 똑같은 4.NF.B.4 각자 분수만큼의 조각을 셉니다. Alex 는 $60$ 조각의 $\frac15 = 12$ 조각, Beth 는 $\frac13 = 20$ 조각, C 4.NBT.B.4 Dan 의 몫은 다른 세 명이 먹지 않은 부분이므로, 피자 전체에서 그들의 조각을 뺍니다. $12 + 20 + 15 = 47$ 조각이 사라지고 4.NBT.A.2 이제 조각 수를 비교합니다. Beth $20$, Cyril $15$, Dan $13$, Alex $12$. 내림차순으로는 Beth, Cyril, 검토
합리성 확인: 네 조각 수는 피자 전체를 다시 만들어야 합니다. $12 + 20 + 15 + 13 = 60$ 조각 — 처음 시작한 피자와 정확히 같으므로 빠지거나 중복된 부분이 없습니다. 순위도 직관 검사를 통과합니다. Beth 의 $\frac13$ 은 주어진 분수 중 가장 크고, Alex 의 $\frac15$ 은 가장 작으며, Dan 의 $13$ 조각은 Cyril 과 Alex 사이에 놓여 (C) 의 Beth, Cyril, Dan, Alex 순서와 맞습니다.
대안 접근: 조각을 쓰지 않고 공통분모 $60$ 으로 분수를 직접 비교할 수도 있습니다. $\frac15 = \frac{12}{60}$, $\frac13 = \frac{20}{60}$, $\frac14 = \frac{15}{60}$, Dan $= 1 - \frac{47}{60} = \frac{13}{60}$. 분자 $20, 15, 13, 12$ 가 같은 순서 Beth, Cyril, Dan, Alex 를 주어 (C) 를 확인합니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)
4.OA.B.41-100 범위 자연수의 인수쌍과 배수 구하기 ($60$ 을 $5$, $3$, $4$ 의 공통 배수로 골라 피자를 자연수 조각으로 나누는 데 사용.)4.NF.B.4분수와 자연수의 곱셈 (각 남매의 분수를 조각 수로 바꾸는 데 사용, 예: $60$ 의 $\frac15 = 12$.)4.NBT.B.4표준 알고리즘으로 다자릿수 자연수를 능숙하게 더하고 빼기 (Dan 의 남은 조각을 $60 - (12 + 20 + 15) = 13$ 으로 구하는 데 사용.)4.NBT.A.2>, =, < 기호로 두 다자릿수 비교하기 (조각 수 $20 > 15 > 13 > 12$ 를 정렬해 네 남매의 순위를 정하는 데 사용.)
⭐ 분수를 $60$ 조각짜리 피자로 바꾸면, 이 AMC 10 문제 전체가 4학년 세기와 비교가 됩니다.
⭐ 분수를 $60$ 조각짜리 피자로 바꾸면, 이 AMC 10 문제 전체가 4학년 세기와 비교가 됩니다.
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