AMC 10 · 2016 · #4

쉬운 모드 학년 4

문제

쉬운 버전 문제

조이는 책 $15$ 권을 한 권씩 차례로 읽습니다. 첫 번째 책은 읽는 데 $1$ 일, 두 번째 책은 $2$ 일, 세 번째 책은 $3$ 일이 걸리고, 이렇게 책마다 바로 앞 책보다 하루씩 더 걸립니다. 조이는 첫 번째 책을 월요일에, 두 번째 책을 수요일에 다 읽었습니다. $15$ 번째 책은 무슨 요일에 다 읽게 될까요?

$\textbf{(A)}\ \text{Sunday}\qquad\textbf{(B)}\ \text{Monday}\qquad\textbf{(C)}\ \text{Wednesday}\qquad\textbf{(D)}\ \text{Friday}\qquad\textbf{(E)}\ \text{Saturday}$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

Sunday

(B)

Monday

(C)

Wednesday

(D)

Friday

(E)

Saturday

AMC 10 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 조이는 책 $15$권을 순서대로 읽는다. 책 $1$권은 $1$일, 책 $2$권은 $2$일이 걸리고, 이후의 책은 모두 바로 앞 책보다 하루씩 더 걸린다. 조이는 책 $1$권을 월요일에, 책 $2$권을 수요일에 다 읽었다. 책 $15$권을 다 읽는 요일을 구하여라.

주어진 것: 책 $k$권은 정확히 $k$일이 걸린다; 책 $1$권은 월요일에 다 읽었다; 책 $2$권은 수요일에 다 읽었다; 선택지: (A) 일요일, (B) 월요일, (C) 수요일, (D) 금요일, (E) 토요일

구하는 것: 책 $15$권을 다 읽는 요일

이해

계획

주요 도구: #5 패턴 찾기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기

책 $15$권을 하루하루 따라가는 것은 느리지만, 두 가지 패턴이 풀이를 빠르게 만든다. 도구 #5 (패턴 찾기)는 $7$일마다 반복되는 요일을 다루므로, 달력 자체가 아니라 지나간 날의 수만 중요해진다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기)은 문제를 두 부분으로 깔끔하게 나눈다 — 먼저 며칠이 지나는지 구하고, 그다음 그 날수를 요일로 바꾼다. 도구 #3 (가능성 지우기)은 주기가 가리키는 하나의 선택지를 확인해 준다.

실행 — 정답: B

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 1

각 책을 끝내는 날

쉬지 않고 이어서 읽으므로, 한 책을 끝내는 날은 그때까지 읽은 모든 날을 더한 누적 합이다.
책 $1$권은 $1$일째, 책 $2$권은 $1+2=3$일째, 책 $3$권은 $1+2+3=6$일째에 끝나고, 일반적으로 책 $n$권은 $1+2+\cdots+n$일째에 끝난다.
단서로 확인해 보자: $1$일째는 월요일이고, $3$일째(이틀 뒤)는 수요일이다 — 문제와 정확히 일치한다.

$$\text{책 } n \text{권을 끝내는 날} = 1+2+\cdots+n$$

💡 각 책이 앞 책을 끝낸 직후에 시작되므로, 끝내는 날은 그때까지 쓴 모든 읽기 날의 합일 뿐이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NBT.B.4 단계 2

책 15권까지의 총 날수

책 $15$권은 $1+2+\cdots+15$일째에 끝난다.
양 끝을 짝지어 더하자: $1+15=16$, $2+14=16$, 이런 식이다.
$16$이 되는 짝이 $7$개 있고 가운데 남는 수 $8$이 더해져, $7\times 16 + 8 = 112 + 8 = 120$이다.
따라서 책 $15$권은 $120$일째에 끝난다.

$$1+2+\cdots+15 = \dfrac{15\times 16}{2} = 120$$

💡 가장 작은 수와 가장 큰 수를 짝지으면 모든 짝의 합이 같아져서, 긴 덧셈이 한 번의 곱셈으로 줄어든다.

#5 패턴 찾기 4.NBT.B.6 단계 3

날수를 요일로 바꾸기

$1$일째는 월요일이다.
$120$일째는 그 월요일에서 $120-1 = 119$일 뒤다.
요일은 $7$일마다 반복되므로 $119$를 $7$로 나눈 나머지만 중요하다: $119 = 7\times 17$로 나머지는 $0$이다.
나머지가 $0$이라는 것은 정확히 몇 주가 통째로 지났다는 뜻이므로, 같은 요일인 월요일로 되돌아온다.
다른 선택지들은 나머지가 다르므로 지워진다.
정답은 (B)이다.

$$119 \div 7 = 17\ \text{나머지 } 0 \;\Rightarrow\; \text{월요일과 같은 요일} = \textbf{(B)}$$

💡 $7$일이 통째로 지날 때마다 같은 요일로 돌아오므로, 나머지가 $0$이면 곧장 월요일로 돌아온다.

[1] #5 4.OA.C.5 쉬지 않고 이어서 읽으므로, 한 책을 끝내는 날은 그때까지 읽은 모든 날을 더한 누적 합이다. 책 $1$권은 $1$일째, 책 $2$권은 $1+2

[2] #7 4.NBT.B.4 책 $15$권은 $1+2+\cdots+15$일째에 끝난다. 양 끝을 짝지어 더하자: $1+15=16$, $2+14=16$, 이런 식이다. $16

[3] #5 4.NBT.B.6 $1$일째는 월요일이다. $120$일째는 그 월요일에서 $120-1 = 119$일 뒤다. 요일은 $7$일마다 반복되므로 $119$를 $7$로 나

검토

합리성 확인: 주어진 단서로 설정이 맞는지 확인된다: $1$일째는 월요일, $3$일째는 수요일로 문제와 일치한다. 최종 날수 $120$은 ($119$가 $7$의 배수이므로) $7$의 배수에서 $1$만큼 옮겨진 값이라, 시작 요일인 월요일로 다시 끝나는 것이 주기가 예측하는 결과와 정확히 같다 — 정답 (B).

대안 접근: 요일에 $7$로 나눈 나머지로 번호를 매기되, ($1$일째가 월요일이므로) 월요일 $=1$로 둔다. 그러면 책 $15$권을 끝내는 날인 $120$일째는 $120 \bmod 7 = 1$로 월요일과 같은 나머지이므로, 책 $15$권은 월요일에 끝난다 — 역시 (B).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.OA.C.5 Generate a number or shape pattern following a given rule (각 책이 앞 책보다 하루씩 더 걸리므로, 책을 끝내는 날이 누적 합 $1+2+\cdots+n$임을 알아내는 데 사용.)
4.NBT.B.4 Fluently add and subtract multi-digit whole numbers ($1+2+\cdots+15$을 (짝지어) 더해 총 $120$일을 구하는 데 사용.)
4.NBT.B.6 Find whole-number quotients and remainders with up to four-digit dividends ($119$를 $7$로 나눠 나머지 $0$을 얻어 $7$일 주기에서 요일을 확정하는 데 사용.)

⭐ 요일은 $7$일마다 반복되므로, 지나간 날수가 $7$의 배수이면 정확히 같은 요일로 되돌아온다.