AMC 10 · 2016 · #8

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문제

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$2015$ 를 $2016$ 번 곱한 다음, $2017$ 을 뺍니다. 그 결과는 아주 큰 수입니다. 이 수의 십의 자리 숫자, 즉 오른쪽에서 두 번째 숫자는 무엇일까요?

$\textbf{(A)}\ 0 \qquad \textbf{(B)}\ 1 \qquad \textbf{(C)}\ 3 \qquad \textbf{(D)}\ 5 \qquad \textbf{(E)}\ 8$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

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보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $2015^{2016} - 2017$의 십의 자리 숫자를 구하세요.

주어진 것: 주어진 수는 $2015^{2016} - 2017$이다; $2015^{2016}$은 $2015$를 $2016$번 곱한 것이다; 선택지: (A) $0$, (B) $1$, (C) $3$, (D) $5$, (E) $8$

구하는 것: $2015^{2016} - 2017$의 십의 자리 숫자(오른쪽에서 둘째 자리)

이해

문제 재정리: $2015^{2016} - 2017$의 십의 자리 숫자를 구하세요.

주어진 것: 주어진 수는 $2015^{2016} - 2017$이다; $2015^{2016}$은 $2015$를 $2016$번 곱한 것이다; 선택지: (A) $0$, (B) $1$, (C) $3$, (D) $5$, (E) $8$

계획

주요 도구: #5 패턴 찾기

보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #7 작은 문제로 쪼개기

$2015^{2016}$은 수천 자리나 되어 직접 쓸 수 없습니다. 하지만 문제는 십의 자리만 묻고, 십의 자리는 마지막 두 자리만으로 정해집니다. 도구 #9 (더 쉬운 문제로 줄이기)는 매 단계에서 마지막 두 자리만 남기고 나머지를 버리게 해 주어, 거대한 거듭제곱을 두 자리 추적 문제로 바꿉니다. 문제가 이렇게 작아지면 도구 #5 (패턴 찾기)로 $15$의 거듭제곱의 마지막 두 자리가 짧은 반복 주기를 이룬다는 것을 알 수 있어, $2016$번 곱하지 않아도 됩니다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기)은 일을 두 조각으로 나눕니다 — 먼저 거듭제곱의 마지막 두 자리를 구하고, 그다음 $2017$을 뺍니다.

실행 — 정답: A

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 5.NBT.A.1 단계 1

마지막 두 자리만 중요하다

어떤 수의 십의 자리는 오른쪽에서 둘째 자리에 있으므로, 마지막 두 자리만으로 완전히 정해집니다.
그러므로 더 왼쪽의 모든 자리는 무시하고, 계산 내내 마지막 두 자리만 따라가면 됩니다.

$$N\text{의 십의 자리} = (N\text{의 마지막 두 자리})\text{의 십의 자리}$$

💡 훨씬 왼쪽에서 일어나는 일은 결코 십의 자리까지 내려와 바꿀 수 없습니다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 4.NBT.B.5 단계 2

2015를 15로 바꾸기

수를 곱할 때, 결과의 마지막 두 자리는 곱하는 수들의 마지막 두 자리에만 달려 있습니다.
$2015$의 마지막 두 자리는 $15$이므로, $2015^{2016}$의 마지막 두 자리는 $15^{2016}$과 같습니다.
그러므로 $2015$ 대신 $15$로 계산할 수 있습니다.

$$2015^{2016} \equiv 15^{2016} \pmod{100}$$

💡 곱셈에서는 각 수의 꼬리만이 곱의 꼬리에 영향을 줍니다.

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 3

15의 거듭제곱에서 패턴 찾기

$15$의 거듭제곱의 마지막 두 자리를 적어 봅시다: $15^1$은 $15$로 끝나고, $15^2 = 225$는 $25$로 끝나며, $15^3 = 15 \times 25 = 375$는 $75$로 끝나고, $15^4 = 15 \times 75 = 1125$는 $25$로 끝납니다.
둘째 거듭제곱부터는 마지막 두 자리가 $25$와 $75$를 번갈아 갑니다: 짝수 거듭제곱은 $25$로, 홀수 거듭제곱은 $75$로 끝납니다.

$$15^2 \to 25,\ 15^3 \to 75,\ 15^4 \to 25,\ 15^5 \to 75,\ \ldots$$

💡 $15$를 한 번 더 곱할 때마다 끝자리가 $25$와 $75$ 사이를 오갈 뿐입니다.

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 4

지수 2016에 패턴 적용하기

지수는 $2016$으로 짝수이므로, 패턴에 따라 $15^{2016}$은 $25$로 끝납니다.
따라서 $2015^{2016}$도 $25$로 끝나며, 마지막 두 자리는 $25$입니다.

$$2016\text{은 짝수} \Rightarrow 15^{2016} \to 25 \Rightarrow 2015^{2016} \equiv 25 \pmod{100}$$

💡 짝수 지수는 번갈아 가는 사다리에서 $25$ 칸에 내려앉습니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NBT.B.4 단계 5

2017을 빼고 십의 자리 읽기

이제 $2017$을 뺍니다.
마지막 두 자리만 보면 되고, $2017$은 $17$로 끝납니다.
거듭제곱은 $25$로 끝나고, 그 수는 매우 크므로 받아내림할 높은 자리가 있어, 차의 마지막 두 자리는 $25 - 17 = 08$입니다.
마지막 두 자리가 $0$과 $8$이므로 십의 자리는 $0$입니다.
답은 (A)입니다.

$$\ldots 25 - 2017 \to 25 - 17 = 08 \Rightarrow \text{십의 자리} = 0 = \textbf{(A)}$$

💡 작은 수를 빼면 꼬리만 흔들릴 뿐이고, $25$에서 $17$을 빼면 $08$이 남습니다.

[1] #9 5.NBT.A.1 어떤 수의 십의 자리는 오른쪽에서 둘째 자리에 있으므로, 마지막 두 자리만으로 완전히 정해집니다. 그러므로 더 왼쪽의 모든 자리는 무시하고, 계

[2] #9 4.NBT.B.5 수를 곱할 때, 결과의 마지막 두 자리는 곱하는 수들의 마지막 두 자리에만 달려 있습니다. $2015$의 마지막 두 자리는 $15$이므로, $2

[3] #5 4.OA.C.5 $15$의 거듭제곱의 마지막 두 자리를 적어 봅시다: $15^1$은 $15$로 끝나고, $15^2 = 225$는 $25$로 끝나며, $15^3

[4] #5 4.OA.C.5 지수는 $2016$으로 짝수이므로, 패턴에 따라 $15^{2016}$은 $25$로 끝납니다. 따라서 $2015^{2016}$도 $25$로 끝나며

[5] #7 4.NBT.B.4 이제 $2017$을 뺍니다. 마지막 두 자리만 보면 되고, $2017$은 $17$로 끝납니다. 거듭제곱은 $25$로 끝나고, 그 수는 매우 크므

검토

합리성 확인: 더 작은 짝수 지수로 주기를 확인해 봅시다: $15^4 = 50625$로 마지막 두 자리가 $25$이며, 짝수 거듭제곱 규칙과 맞습니다. $25$로 끝나는 수에서 $17$로 끝나는 수를 빼면 $08$로 끝나므로, 십의 자리 $0$은 일관됩니다. 결과 $0$은 선택지 (A)입니다.

대안 접근: $2015 = 2000 + 15$로 나누어 $2015^{2016}$을 전개하면, $2000$을 인수로 가진 항은 모두 $100$의 배수라 마지막 두 자리에 영향을 줄 수 없으므로, $100$으로 나눈 나머지에서는 $15^{2016}$만 남습니다. $15^{2016} \bmod 100$을 계산하면 앞서처럼 $25$이고, $25 - 17 = 08$로 다시 십의 자리 $0$을 얻습니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

5.NBT.A.1 Recognize that a digit in one place represents ten times as much as to its right (십의 자리가 마지막 두 자리만으로 정해짐을 알고, 더 높은 자리를 모두 버리는 데 사용.)
4.NBT.B.5 Multiply a whole number of up to four digits by a one-digit whole number (곱하는 수들의 마지막 두 자리만 곱의 마지막 두 자리를 정함을 보아 $2015$를 $15$로 바꾸는 데 사용.)
4.OA.C.5 Generate a number or shape pattern following a given rule ($15$의 거듭제곱의 마지막 두 자리가 이루는 반복 주기(짝수는 $25$, 홀수는 $75$)를 찾아 지수 $2016$에 적용하는 데 사용.)
4.NBT.B.4 Fluently add and subtract multi-digit whole numbers ($2017$을 빼서 마지막 두 자리 $25 - 17 = 08$을 구하고 십의 자리를 읽는 데 사용.)

⭐ 마지막 자리만 묻는 문제라면, 매 단계에서 마지막 두 자리만 남기고 거듭제곱의 패턴을 찾으세요.