AMC 10 · 2017 · #1

쉬운 모드 학년 5

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문제

쉬운 버전 문제

아래의 겹겹이 쌓인 식의 값을 구하세요.

$(2(2(2(2(2(2+1)+1)+1)+1)+1)+1)$

각 층은 모두 똑같은 일을 합니다. 안에 있는 수를 $2$ 배 한 다음 $1$ 을 더합니다. 가장 안쪽의 $2+1$ 부터 시작해서 한 층씩 바깥쪽으로 계산해 나가세요. 이 식 전체는 어떤 수가 될까요?

$\textbf{(A)}\ 70\qquad\textbf{(B)}\ 97\qquad\textbf{(C)}\ 127\qquad\textbf{(D)}\ 159\qquad\textbf{(E)}\ 729$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

127

(D)

159

(E)

729

AMC 10 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 중첩된 식 $(2(2(2(2(2(2+1)+1)+1)+1)+1)+1)$의 값을 구하세요.

주어진 것: 식 $(2(2(2(2(2(2+1)+1)+1)+1)+1)+1)$; 각 괄호 층은 다음을 뜻한다: 안에 있는 값을 $2$배 하고, $1$을 더한다; 선택지: (A) $70$, (B) $97$, (C) $127$, (D) $159$, (E) $729$

구하는 것: 식 전체가 나타내는 하나의 수

이해

문제 재정리: 중첩된 식 $(2(2(2(2(2(2+1)+1)+1)+1)+1)+1)$의 값을 구하세요.

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #5 패턴 찾기, #3 가능성 지우기

이 식은 똑같이 생긴 작은 계산들이 쌓여 만들어진 하나의 큰 계산입니다. 모든 층이 그저 "안을 $2$배 하고 $1$ 더하기"일 뿐입니다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기)을 쓰면 가장 안쪽부터 괄호를 하나씩 벗겨, 무서워 보이는 탑을 여섯 번의 쉬운 단계로 바꿀 수 있습니다. 도구 #5 (패턴 찾기)는 매번의 누적값이 $2$의 거듭제곱보다 $1$ 작다는 사실을 드러내고, 도구 #3 (가능성 지우기)은 그 패턴으로 들어맞는 선택지 하나를 골라냅니다.

실행 — 정답: C

#7 작은 문제로 쪼개기 5.OA.A.1 단계 1

중첩을 안에서 바깥으로 읽기

괄호가 서로 안쪽에 겹겹이 쌓여 있으므로, 연산 순서에 따라 정중앙 $(2+1)$에서 시작해 한 겹씩 바깥으로 나아갑니다.
각 겹은 안에 있는 수에게 똑같은 일을 합니다: 그 수를 $2$배 하고, $1$을 더합니다.

$$(\,2(\ldots)+1\,)\;\text{의 뜻: 안을 }2\text{배 하고 }1\text{ 더하기}$$

💡 중첩된 괄호는 겹겹이 든 상자와 같아서, 안쪽 상자를 다 열어야 다음 상자를 열 수 있습니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 3.NBT.A.2 단계 2

두 배 하고 더하기, 처음 세 층

중앙에서 시작해 "$2$배 하고 $1$ 더하기"를 세 번 적용합니다.
가장 안쪽 값은 $2+1=3$입니다.
이를 바깥으로 넘깁니다: $2 \times 3 + 1 = 7$, 그다음 $2 \times 7 + 1 = 15$.

$$2+1=3,\quad 2(3)+1=7,\quad 2(7)+1=15$$

💡 각 층은 바로 아래 층이 이미 만들어 낸 수 하나만 있으면 되므로, 탑 전체를 한꺼번에 다룰 필요가 없습니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NBT.B.5 단계 3

남은 층 마무리하기

같은 규칙을 마지막 세 겹에 계속 적용합니다: $2 \times 15 + 1 = 31$, 그다음 $2 \times 31 + 1 = 63$, 그다음 $2 \times 63 + 1 = 127$.
가장 바깥 겹이 곧 식 전체이므로, 식의 값은 $127$입니다.

$$2(15)+1=31,\quad 2(31)+1=63,\quad 2(63)+1=127$$

💡 $2$배 하기는 가장 쉬운 곱셈입니다 — 그 수를 자기 자신에 더하면 되니까 — 수가 커져도 바깥으로 가는 한 걸음 한 걸음이 빠릅니다.

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 4

패턴으로 답 고르기

누적값들을 봅시다: $3, 7, 15, 31, 63, 127$.
각각은 정확히 $2$의 거듭제곱보다 $1$ 작습니다: $4{-}1, 8{-}1, 16{-}1, 32{-}1, 64{-}1, 128{-}1$.
그래서 마지막 값은 $2^7 - 1 = 127$입니다.
선택지 중에서 $2$의 거듭제곱보다 $1$ 작은 것은 $127$뿐이므로 $70, 97, 159, 729$는 지워집니다.
답은 (C)입니다.

$$3,7,15,31,63,127 = 2^2{-}1,\,2^3{-}1,\ldots,2^7{-}1 \Rightarrow 127 = \textbf{(C)}$$

💡 매번 $2$배 하고 $1$을 더하면 모든 누적값이 다음 거듭제곱에 딱 하나 못 미치게 되어, 패턴이 곧바로 답을 알려 줍니다.

[1] #7 5.OA.A.1 괄호가 서로 안쪽에 겹겹이 쌓여 있으므로, 연산 순서에 따라 정중앙 $(2+1)$에서 시작해 한 겹씩 바깥으로 나아갑니다. 각 겹은 안에 있는

[2] #7 3.NBT.A.2 중앙에서 시작해 "$2$배 하고 $1$ 더하기"를 세 번 적용합니다. 가장 안쪽 값은 $2+1=3$입니다. 이를 바깥으로 넘깁니다: $2 \ti

[3] #7 4.NBT.B.5 같은 규칙을 마지막 세 겹에 계속 적용합니다: $2 \times 15 + 1 = 31$, 그다음 $2 \times 31 + 1 = 63$, 그다

[4] #5 4.OA.C.5 누적값들을 봅시다: $3, 7, 15, 31, 63, 127$. 각각은 정확히 $2$의 거듭제곱보다 $1$ 작습니다: $4{-}1, 8{-}1,

검토

합리성 확인: 서로 독립적인 두 가지 방법이 $127$로 일치합니다: 안에서 바깥으로 직접 계산하기 ($3 \to 7 \to 15 \to 31 \to 63 \to 127$)와 패턴 $2^7 - 1$. 결과는 선택지 $97$과 $159$ 사이에 있는데, 가장 큰 단계가 $2 \times 63 + 1$인 식치고는 타당하며, (C)와 일치합니다.

대안 접근: 단계별 계산 대신 전부 전개해 봅니다. 곱셈을 풀면 식은 $2^6 + 2^5 + 2^4 + 2^3 + 2^2 + 2^1 + 2^0 = 64+32+16+8+4+2+1 = 127$, 즉 $2^6$까지 모든 $2$의 거듭제곱의 합이 됩니다 — 역시 (C)입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

5.OA.A.1 Use parentheses, brackets, or braces in numerical expressions, and evaluate expressions with these symbols (중첩된 괄호를 올바르게 읽는 데 사용 — 가장 안쪽 묶음을 먼저 계산하고 바깥으로 나아가기.)
3.NBT.A.2 Fluently add and subtract within 1000 (안에서 바깥으로 계산하는 각 층에서 $1$을 더하는 데 사용.)
4.NBT.B.5 Multiply a whole number of up to four digits by a one-digit whole number (각 층에서 누적값을 $2$배 하는($2$를 곱하는) 데 사용, $2 \times 63 = 126$ 포함.)
4.OA.C.5 Generate a number or shape pattern that follows a given rule (각 누적값이 $2$의 거듭제곱보다 $1$ 작다는 것을 알아채고, 이를 이용해 답을 확인하고 고르는 데 사용.)

⭐ 괄호가 서로 안쪽에 겹겹이 쌓여 있으면 안에서 바깥으로 하나씩 열어 가세요 — 한 번에 한 번씩 쉬운 "두 배 하고 하나 더하기"로요.