AMC 10 · 2017 · #13
쉬운 모드 학년 4쉬운 버전 문제
수의 목록이 0, 그리고 1로 시작합니다. 새로운 수를 만들려면 바로 앞의 두 수를 더한 다음, 3으로 나눈 나머지만 남깁니다. 그래서 목록은 0,1,1,2,0,2,…로 시작합니다.
자리를 0번부터 셉니다. 0번 자리는 0, 1번 자리는 1, 2번 자리는 1, 이런 식입니다. 2017번, 2018번, 2019번, 2020번, 2021번, 2022번, 2023번, 2024번 자리에 있는 여덟 개의 수를 모두 더하면 얼마일까요?
(A) 6(B) 7(C) 8(D) 9(E) 10
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AMC 10 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 수열이 $F_0=0$, $F_1=1$로 시작하고, 그 다음부터 각 항 $F_n$은 $F_{n-1}+F_{n-2}$를 $3$으로 나눈 나머지여서 $0,1,1,2,0,2,\ldots$로 시작합니다. 연속한 여덟 항의 합 $F_{2017}+F_{2018}+F_{2019}+F_{2020}+F_{2021}+F_{2022}+F_{2023}+F_{2024}$의 값을 구하세요.
주어진 것: $F_0=0$이고 $F_1=1$; $n\ge 2$일 때, $F_n$은 $F_{n-1}+F_{n-2}$를 $3$으로 나눈 나머지; 수열은 $0,1,1,2,0,2,\ldots$로 시작한다; 선택지: (A) $6$, (B) $7$, (C) $8$, (D) $9$, (E) $10$
구하는 것: $F_{2017}$부터 $F_{2024}$까지 여덟 항의 합
이해
문제 재정리: 수열이 $F_0=0$, $F_1=1$로 시작하고, 그 다음부터 각 항 $F_n$은 $F_{n-1}+F_{n-2}$를 $3$으로 나눈 나머지여서 $0,1,1,2,0,2,\ldots$로 시작합니다. 연속한 여덟 항의 합 $F_{2017}+F_{2018}+F_{2019}+F_{2020}+F_{2021}+F_{2022}+F_{2023}+F_{2024}$의 값을 구하세요.
주어진 것: $F_0=0$이고 $F_1=1$; $n\ge 2$일 때, $F_n$은 $F_{n-1}+F_{n-2}$를 $3$으로 나눈 나머지; 수열은 $0,1,1,2,0,2,\ldots$로 시작한다; 선택지: (A) $6$, (B) $7$, (C) $8$, (D) $9$, (E) $10$
계획
주요 도구: #5 패턴 찾기
보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기
모든 항이 $3$으로 나눈 나머지일 뿐이라 각 항은 $0$, $1$, $2$ 중 하나 — 아주 작은 집합 — 이므로 수열은 반드시 반복됩니다. 도구 #5 (패턴 찾기)는 시작하는 쌍이 다시 나올 때까지 항을 적어 보라고 알려 주고, 그러면 반복되는 묶음과 그 길이가 드러납니다. 주기를 알고 나면 도구 #9 (더 쉬운 문제로 줄이기)로 불가능해 보이는 $F_{2017}$부터 $F_{2024}$까지의 항들을 평범한 한 주기로 바꿀 수 있습니다: 길이 $8$짜리 반복에서 연속한 여덟 항은 정확히 한 바퀴이므로, 멀리 있는 합은 반복 묶음 하나의 합과 같습니다.
실행 — 정답: D
4.NBT.B.6 단계 1 쌍이 반복될 때까지 나열하기
- 앞의 두 항을 더한 뒤 $3$으로 나눈 나머지만 적으면 모든 항이 $\{0,1,2\}$ 안에 머뭅니다.
- 주어진 시작에서: $F_0=0$, $F_1=1$, $F_2=1$, $F_3=2$, $F_4=0$($2+1=3$이 나머지 $0$이므로), $F_5=2$, $F_6=2$, $F_7=1$.
- 그러면 $F_8$은 $F_7+F_6=1+2=3$의 나머지인 $0$이고, $F_9$는 $F_8+F_7=0+1=1$의 나머지입니다.
💡 $3$으로 나눈 나머지만 남기면 모든 항이 $0,1,2$ 세 값 안에 갇혀, 수열은 결국 반복할 수밖에 없습니다.
4.OA.C.5 단계 2 8개짜리 반복 묶음 찾기
- $F_8=0$과 $F_9=1$을 보세요: 수열을 시작한 쌍 $F_0=0$, $F_1=1$과 똑같습니다.
- 각 항은 앞의 두 항에만 의존하므로, 한 쌍이 다시 나오면 그 지점부터 수열 전체가 반복됩니다.
- 따라서 묶음 $0,1,1,2,0,2,2,1$($F_0$부터 $F_7$까지)이 주기 $8$로 영원히 반복됩니다.
💡 두 항 전을 더하는 규칙은 마지막 두 값만으로 정해지므로, 처음 반복된 쌍이 끝없는 순환을 고정합니다.
4.NBT.B.6 단계 3 연속한 여덟 항은 한 주기를 이룬다
- 합은 연속한 여덟 항 $F_{2017}$부터 $F_{2024}$까지에 걸쳐 있습니다.
- 패턴이 $8$항마다 반복되므로, 연속한 어떤 $8$항이든 어디서 시작하든 한 완전한 주기 — 묶음의 각 자리를 하나씩 — 를 덮습니다.
- 정확히 어디서 시작하는지 보려면 나누어 봅니다: $2017 = 8\times 252 + 1$이므로 $F_{2017}$은 묶음의 $1$번 자리에 있고, 이어지는 여덟 항은 자리 $1,2,\ldots,7,0$을 한 번 돕니다.
💡 여덟 정거장짜리 순환에서 여덟 정거장은 어디서 타든 정확히 한 바퀴입니다.
4.OA.A.3 단계 4 한 주기를 더하기
- 따라서 합은 한 주기 전체의 합과 같습니다: $0+1+1+2+0+2+2+1=9$.
- 답은 (D)입니다.
💡 멀리 흩어진 여덟 항을 그들이 몰래 베끼는 깔끔한 묶음 하나로 바꾸고, 그냥 더하면 됩니다.
4.NBT.B.6 앞의 두 항을 더한 뒤 $3$으로 나눈 나머지만 적으면 모든 항이 $\{0,1,2\}$ 안에 머뭅니다. 주어진 시작에서: $F_0=0$, $F_ 4.OA.C.5 $F_8=0$과 $F_9=1$을 보세요: 수열을 시작한 쌍 $F_0=0$, $F_1=1$과 똑같습니다. 각 항은 앞의 두 항에만 의존하므로, 한 4.NBT.B.6 합은 연속한 여덟 항 $F_{2017}$부터 $F_{2024}$까지에 걸쳐 있습니다. 패턴이 $8$항마다 반복되므로, 연속한 어떤 $8$항이든 4.OA.A.3 따라서 합은 한 주기 전체의 합과 같습니다: $0+1+1+2+0+2+2+1=9$. 답은 (D)입니다. 검토
합리성 확인: 모든 항이 $0$, $1$, $2$이므로 여덟 항의 합은 많아야 $8\times 2=16$, 적어야 $0$입니다; 결과 $9$는 선택지 범위 $6$부터 $10$ 안에 편안히 들어갑니다. 주기 합 $0+1+1+2+0+2+2+1=9$가 (D)와 일치합니다. 번호 $2017$–$2024$가 연속한 여덟이므로 시작점이 어디든 상관없으며, $F_0$–$F_7$까지 내려도 똑같이 $9$입니다.
대안 접근: 왼쪽부터 더하는 대신 묶음을 세어 봅니다: $0$이 두 개, $1$이 세 개, $2$가 세 개이므로 합은 $1\times 3 + 2\times 3 = 3+6 = 9$로 역시 (D)입니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)
4.NBT.B.6Find whole-number quotients and remainders with up to four-digit dividends (각 항을 합을 $3$으로 나눈 나머지로 계산하고, $2017$을 $8$로 나누어 순환에서의 자리를 찾는 데 사용.)4.OA.C.5Generate a number or shape pattern following a given rule (시작하는 쌍이 다시 나오면 수열이 주기 $8$로 반복됨을 알아내는 데 사용.)4.OA.A.3Solve multi-step word problems using four operations with whole numbers (한 완전한 주기의 여덟 항을 더해 $9$에 도달하는 데 사용.)
⭐ 수열이 반복될 때는 한 주기만큼의 항이 항상 같은 합을 이루므로, 주기 길이를 찾고 한 주기만 더하면 됩니다.
⭐ 수열이 반복될 때는 한 주기만큼의 항이 항상 같은 합을 이루므로, 주기 길이를 찾고 한 주기만 더하면 됩니다.
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