AMC 10 · 2017 · #19

쉬운 모드 학년 4

문제

쉬운 버전 문제

다섯 친구 앨리스, 밥, 칼라, 데렉, 에릭이 의자 $5$ 개가 놓인 한 줄에 앉습니다. 앨리스는 밥의 바로 옆에도, 칼라의 바로 옆에도 앉지 않으려고 합니다. 데렉은 에릭의 바로 옆에 앉지 않으려고 합니다. 이 규칙을 모두 지키면서 다섯 명이 한 줄로 앉는 방법은 몇 가지일까요?

$\textbf{(A)}\ 12\qquad\textbf{(B)}\ 16\qquad\textbf{(C)}\ 28\qquad\textbf{(D)}\ 32\qquad\textbf{(E)}\ 40$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 다섯 사람 — Alice, Bob, Carla, Derek, Eric — 가 의자 $5$개가 일렬로 놓인 줄에 앉는다. Alice는 Bob이나 Carla 바로 옆에 앉지 않으려 하고, Derek은 Eric 바로 옆에 앉지 않으려 한다. 두 조건을 모두 만족하는 앉는 방법의 수를 구하라.

주어진 것: 사람 $5$명과 한 줄로 놓인 의자 $5$개가 있다; Alice는 Bob 바로 옆에 앉지 않는다; Alice는 Carla 바로 옆에 앉지 않는다; Derek은 Eric 바로 옆에 앉지 않는다; 선택지: (A) $12$, (B) $16$, (C) $28$, (D) $32$, (E) $40$

구하는 것: 조건을 만족하는 줄 세우기(순서)의 수

이해

계획

주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #1 그림 그리기

"몇 가지 방법"을 묻고 있으므로 도구 #2(빠짐없이 나열하기)가 맞다: 막연히 추측하지 말고 정해진 순서대로 경우를 만든다. 이 문제의 핵심은 Alice인데, 다섯 명 중 세 명이 그녀의 옆자리에서 금지되기 때문이다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 Alice의 위치 — 끝자리(이웃 하나)냐 가운데(이웃 둘)냐 — 로 경우를 나눈다. 두 상황은 매우 다르게 움직이기 때문이다. 도구 #1(그림 그리기) — 의자 $5$개를 한 줄로 — 은 "이웃"을 눈에 보이게 만들어 각 배치를 확인하기 쉽게 한다.

실행 — 정답: C

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.A.3 단계 1

Alice 옆에 앉을 수 있는 사람

Alice는 Bob이나 Carla 옆에 앉을 수 없다.
그녀 바로 옆에 앉을 수 있는 사람은 Derek과 Eric뿐이다.
따라서 Alice와 닿는 모든 의자에는 Derek이나 Eric이 와야 한다.
이 한 가지 사실이 전체 계산을 좌우하므로, Alice의 이웃이 몇 명인지로 경우를 정리한다.

$$\text{Alice의 이웃} \in \{\text{Derek}, \text{Eric}\}$$

💡 세 사람이 Alice 옆에서 금지되므로 남는 사람은 둘뿐이다.

#1 그림 그리기 4.OA.A.3 단계 2

Alice의 자리로 나누기

끝자리(의자 $1$ 또는 의자 $5$)는 이웃이 하나뿐이다.
가운데 세 의자($2$, $3$, $4$)는 각각 이웃이 둘이다.
허용된 이웃 규칙이 Alice의 이웃 수에 달려 있으므로, 끝자리 배치와 가운데 배치를 따로 센 뒤 더한다.

$$\text{끝: 의자 } 1,5 \qquad \text{가운데: 의자 } 2,3,4$$

💡 끝자리는 Alice를 한 이웃에, 가운데 자리는 두 이웃에 노출시킨다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.NBT.B.5 단계 3

Alice가 끝자리에 앉는 경우

Alice를 의자 $1$에 둔다.
그녀의 유일한 이웃(의자 $2$)은 Derek이나 Eric이어야 한다: $2$가지.
남은 세 사람 — Bob, Carla, 그리고 Derek/Eric 중 남은 한 명 — 이 의자 $3,4,5$를 $3\times2\times1=6$가지 순서로 채운다.
그러나 Derek과 Eric은 닿으면 안 된다: 이는 남은 Derek/Eric이 의자 $3$(의자 $2$ 옆)에 올 때만 일어나며 $1\times2=2$가지가 나쁜 경우다.
따라서 $6-2=4$가지 좋은 순서.
의자 $1$에서 $2\times4=8$가지, 의자 $5$는 거울상이므로 두 끝자리는 $8\times2=16$.

$$2 \times (6-2) = 8 \;\text{(끝자리당)}, \quad 8 \times 2 = 16$$

💡 Alice의 이웃 하나를 정하고 나머지를 배열한 뒤, Derek과 Eric이 부딪히는 경우만 뺀다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.NBT.B.5 단계 4

Alice가 가운데 자리에 앉는 경우

이제 Alice를 가운데 의자($2$, $3$, $4$)에 둔다.
그녀는 이웃이 둘이고, 둘 다 {Derek, Eric}에서 와야 한다.
그래서 Derek과 Eric이 그녀의 양옆에 $2$가지 순서로 앉는다.
Alice가 그 사이에 앉으므로 Derek과 Eric은 자동으로 서로 옆이 아니다 — 그 규칙은 저절로 해결된다.
Bob과 Carla가 남은 두 의자를 $2$가지 순서로 채운다.
가운데 의자 하나당 $2\times2=4$가지, 가운데 의자가 셋이므로 $4\times3=12$.

$$2 \times 2 = 4 \;\text{(가운데 의자당)}, \quad 4 \times 3 = 12$$

💡 Alice를 Derek과 Eric 사이에 앉히면 한 번에 모든 규칙이 만족된다.

#2 빠짐없이 나열하기 3.NBT.A.2 단계 5

두 경우를 더하기

끝자리 배치와 가운데 배치는 겹치지 않으므로 더한다: $16+12=28$.
이것이 선택지 (C)이다.

$$16 + 12 = 28 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 겹치지 않는 별개의 경우는 그냥 더하면 된다.

[1] #7 4.OA.A.3 Alice는 Bob이나 Carla 옆에 앉을 수 없다. 그녀 바로 옆에 앉을 수 있는 사람은 Derek과 Eric뿐이다. 따라서 Alice와 닿

[2] #1 4.OA.A.3 끝자리(의자 $1$ 또는 의자 $5$)는 이웃이 하나뿐이다. 가운데 세 의자($2$, $3$, $4$)는 각각 이웃이 둘이다. 허용된 이웃 규칙

[3] #2 4.NBT.B.5 Alice를 의자 $1$에 둔다. 그녀의 유일한 이웃(의자 $2$)은 Derek이나 Eric이어야 한다: $2$가지. 남은 세 사람 — Bob,

[4] #2 4.NBT.B.5 이제 Alice를 가운데 의자($2$, $3$, $4$)에 둔다. 그녀는 이웃이 둘이고, 둘 다 {Derek, Eric}에서 와야 한다. 그래서

[5] #2 3.NBT.A.2 끝자리 배치와 가운데 배치는 겹치지 않으므로 더한다: $16+12=28$. 이것이 선택지 (C)이다.

검토

합리성 확인: 아무 규칙이 없으면 다섯 사람은 $5!=120$가지로 앉으므로, $28$이라는 답은 그 중 합리적인 비율이다 — 작지만 너무 작지는 않아 제약이 강한 정도와 맞는다. 두 경우는 Alice의 모든 위치(끝 둘과 가운데 셋)를 겹침 없이 덮으므로 빠지거나 두 번 세는 일이 없다. 합계 $28$은 정확히 선택지 (C)이다.

대안 접근: 여사건 세기와 포함-배제를 쓴다. 전체 $120$에서 규칙을 어기는 배치를 뺀다: Alice-Bob 인접, Alice-Carla 인접, Derek-Eric 인접은 각각 $2\cdot4!=48$이다. 겹치는 경우(Alice가 Bob과 Carla 둘 다 옆; Alice-Bob과 Derek-Eric; Alice-Carla와 Derek-Eric)를 다시 더하고, 삼중 겹침을 다시 뺀다. 금지된 배치의 포함-배제 합은 $92$가 되고, $120-92=28$로 (C)를 확인한다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.OA.A.3 Solve multi-step word problems using four operations with whole numbers (앉는 규칙을 계획으로 바꾸기: Alice 옆에 누가 올 수 있는지 추론하고 Alice의 위치로 경우를 나눈다.)
4.NBT.B.5 Multiply a whole number of up to four digits by a one-digit whole number (각 경우의 선택 수 — 이웃 선택 곱하기 배열 수 — 를 곱해 배치를 센다.)
3.NBT.A.2 Fluently add and subtract within 1000 (끝자리 개수와 가운데 개수를 더해 $16+12=28$에 이른다.)

⭐ 한 사람이 대부분의 이웃을 막을 때는 그 사람이 어디 앉는지로 세면, 나머지는 몇 개의 쉬운 경우로 정리된다.