AMC 10 · 2017 · #4

쉬운 모드 학년 5

문제

쉬운 버전 문제

바닥에 장난감 $30$ 개가 있습니다. $30$ 초마다 미아의 엄마가 장난감 $3$ 개를 장난감 상자에 넣습니다. 하지만 그 $30$ 초가 지날 때마다 바로 미아가 장난감 $2$ 개를 다시 꺼냅니다. 장난감 $30$ 개가 처음으로 모두 상자에 들어가려면 몇 분이 걸릴까요?

$\textbf{(A)}\ 13.5\qquad\textbf{(B)}\ 14\qquad\textbf{(C)}\ 14.5\qquad\textbf{(D)}\ 15\qquad\textbf{(E)}\ 15.5$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

13.5

(B)

(C)

14.5

(D)

(E)

15.5

AMC 10 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 바닥에 장난감 $30$개가 흩어져 있다. $30$초마다 엄마가 장난감 $3$개를 상자에 넣고, 그 $30$초가 끝나자마자 미아가 장난감 $2$개를 도로 꺼낸다. 상자에 처음으로 $30$개가 모두 들어가기까지 몇 분이 걸리는지 구하라.

주어진 것: 정리할 장난감은 $30$개이다; 엄마는 $30$초마다 장난감 $3$개를 상자에 넣는다; 각 $30$초가 끝난 직후 미아가 장난감 $2$개를 꺼낸다; 선택지: (A) $13.5$, (B) $14$, (C) $14.5$, (D) $15$, (E) $15.5$

구하는 것: 상자에 처음으로 $30$개가 모두 들어가기까지 걸리는 시간(분)

이해

계획

주요 도구: #8 단위 살펴보기

보조 도구: #5 패턴 찾기, #14 극단의 원리

이 문제는 진행 속도($30$초당 장난감 수)를 묻는 문제이므로 도구 #8(단위 살펴보기)이 중심이 된다. 즉 한 번의 $30$초마다 순수하게 늘어나는 장난감 수를 추적한다. 도구 #5(패턴 찾기)는 그 순증가를 $+1$이 반복되는 단계로 바꿔 곱셈으로 처리하게 해준다. 함정은 맨 마지막 구간인데, 미아가 꺼내기 전에 일이 끝나버린다. 그래서 도구 #14(극단의 원리)로 그 경계 구간을 패턴에 무작정 끼워 넣지 말고 따로 살펴봐야 한다.

실행 — 정답: B

#8 단위 살펴보기 4.OA.A.3 단계 1

30초당 순증가량

한 번의 완전한 주기를 보자.
$30$초 동안 엄마가 $3$개를 넣고, 그다음 미아가 $2$개를 꺼낸다.
따라서 상자는 $30$초마다 $3 - 2 = 1$개씩 늘어난다.

$$+3 - 2 = +1 \text{개 / } 30\text{초}$$

💡 같은 구간에서 넣고 다시 꺼내는 것은 하나의 합쳐진 단계이므로, 남는 $+1$만 실제로 셈에 들어간다.

#14 극단의 원리 4.OA.A.3 단계 2

마지막 넣기는 다르다

미아는 한 구간이 끝난 뒤에만 꺼낸다.
엄마의 $+3$이 상자를 처음으로 $30$개에 도달시키는 순간 장난감은 모두 들어갔고 일이 끝나므로, 미아는 $2$개를 꺼낼 기회가 없다.
그래서 마지막 구간은 순증가 $+1$이 아니라 온전히 $+3$을 더한다.
즉 $+1$ 패턴은 상자를 $27$까지만 올리면 되고, 엄마의 마지막 $3$개가 일을 끝낸다.

$$27 + 3 = 30$$

💡 상자가 가득 차는 순간 시계가 멈추므로, 마지막에 들어간 장난감은 다시 나올 기회가 없다.

#5 패턴 찾기 4.OA.A.3 단계 3

시간 구간 세기

$30$초당 $+1$로 $27$개에 도달하려면 $30$초 구간이 $27$번 필요하고, 이는 $27 \times 30 = 810$초이다.
그다음 엄마의 마지막 $+3$이 상자를 $27$에서 $30$으로 올리는 $30$초 구간이 한 번 더 있다.
총 시간은 $810 + 30 = 840$초이다.

$$27 \times 30 + 30 = 810 + 30 = 840 \text{초}$$

💡 순증가 장난감 하나당 정확히 $30$초 구간 하나가 들고, 마지막 넣기를 위한 구간이 하나 더 든다.

#8 단위 살펴보기 5.MD.A.1 단계 4

초를 분으로 바꾸기

$1$분은 $60$초이므로 $840$초를 $60$으로 나누어 분으로 바꾼다.
$840 \div 60 = 14$분이 되고, 이는 선택지 (B)이다.

$$840 \div 60 = 14 \text{분} \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 초와 분은 같은 시간을 재는 단위이므로, $60$으로 나누는 것은 같은 양을 다른 이름으로 부르는 것일 뿐이다.

[1] #8 4.OA.A.3 한 번의 완전한 주기를 보자. $30$초 동안 엄마가 $3$개를 넣고, 그다음 미아가 $2$개를 꺼낸다. 따라서 상자는 $30$초마다 $3 -

[2] #14 4.OA.A.3 미아는 한 구간이 끝난 뒤에만 꺼낸다. 엄마의 $+3$이 상자를 처음으로 $30$개에 도달시키는 순간 장난감은 모두 들어갔고 일이 끝나므로, 미

[3] #5 4.OA.A.3 $30$초당 $+1$로 $27$개에 도달하려면 $30$초 구간이 $27$번 필요하고, 이는 $27 \times 30 = 810$초이다. 그다음

[4] #8 5.MD.A.1 $1$분은 $60$초이므로 $840$초를 $60$으로 나누어 분으로 바꾼다. $840 \div 60 = 14$분이 되고, 이는 선택지 (B)이다

검토

합리성 확인: 경계 구간을 잊고 $30$까지 줄곧 순증가 $+1$을 쓰면 $30 \times 30 = 900$초 $= 15$분, 즉 선택지 (D)라는 전형적인 함정에 빠진다. 패턴을 $27$에서 멈추고 엄마의 마지막 온전한 넣기를 더하면 꺼내기 한 번이 정확히 빠져 $14$분이 되며, 이는 (B)와 일치하고 예상대로 $15$분보다 약간 작다.

대안 접근: 상자를 분 단위로 따라가 보자. 각 $30$초 주기 뒤 개수는 $1, 2, 3, \dots$로 늘어난다. $13$분($26$주기)에 상자는 $26$개, $13.5$분($27$주기)에 $27$개이다. 그다음 $30$초가 엄마의 $30$개로의 넣기여서 $14$분에 끝나므로 (B)가 확인된다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

4.OA.A.3 Solve multi-step word problems using four operations with whole numbers (한 주기당 순증가 $+1$ 구하기, 마지막 온전한 넣기를 따로 처리하기, $27$주기 $\times 30$초에 구간 하나 더 더하기.)
5.MD.A.1 Convert among different-sized standard measurement units within a given system ($60$으로 나누어 총 $840$초를 $14$분으로 변환하기.)

⭐ 매 회마다 넣었다가 다시 꺼낸다면 순변화량을 추적하라. 단, 마지막 회는 꼭 확인하라 — 꺼내기 전에 일이 끝날 수 있으니까.