AMC 10 · 2017 · #8

쉬운 모드 학년 4

문제

쉬운 버전 문제

$30$ 명이 모인 자리에서 $20$ 명은 서로 모두 아는 사이이고, 나머지 $10$ 명은 아무도 모릅니다. 서로 아는 두 사람은 포옹으로 인사하고, 서로 모르는 두 사람은 악수로 인사합니다. 악수는 모두 합해서 몇 번 일어날까요?

$\textbf{(A)}\ 240\qquad\textbf{(B)}\ 245\qquad\textbf{(C)}\ 290\qquad\textbf{(D)}\ 480\qquad\textbf{(E)}\ 490$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

240

(B)

245

(C)

290

(D)

480

(E)

490

AMC 10 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $30$명이 모인 자리에서 $20$명은 서로 모두 아는 사이이고, 나머지 $10$명은 아무도 모르는 사이다. 서로 아는 두 사람은 포옹을 하고, 서로 모르는 두 사람은 악수를 한다. 이 모임에서 일어나는 악수의 횟수를 구하여라.

주어진 것: 전체 인원은 $30$명이다; $20$명은 서로 모두 아는 사이다 (이 $20$명 중 어느 두 사람도 서로 안다); 나머지 $10$명은 아무도 모른다 (서로도 모르고 $20$명도 모른다); 아는 사이의 쌍은 포옹하고, 모르는 사이의 쌍은 악수한다; 선택지: (A) $240$, (B) $245$, (C) $290$, (D) $480$, (E) $490$

구하는 것: 이 모임에서 일어나는 악수의 횟수

이해

계획

주요 도구: #16 관점 바꾸기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기, #7 작은 문제로 쪼개기

악수를 직접 세면 모르는 사이가 두 그룹에 걸쳐 있어 번거롭다. 하지만 어느 두 사람이든 정확히 한 가지만 한다: 포옹 아니면 악수. 그래서 Tool #16 (관점 바꾸기)으로 악수 = 전체 쌍 − 포옹 쌍으로 바꾼다. Tool #2 (빠짐없이 나열하기)는 쌍을 깔끔하게 세는 방법을 준다: 각 사람이 다른 모든 사람과 만나는 횟수를 센 뒤, 한 쌍을 두 번 센 것을 반으로 나눈다. Tool #7 (작은 문제로 쪼개기)은 일을 두 개의 쉬운 셈 — 전체 쌍과 포옹 쌍 — 으로 나누고, 마지막 한 번의 뺄셈으로 마무리한다.

실행 — 정답: B

#16 관점 바꾸기 4.OA.A.3 단계 1

포옹 아니면 악수, 둘 중 하나

방 안의 두 사람을 아무나 고르면, 둘은 아는 사이(포옹)이거나 모르는 사이(악수)이며 정확히 둘 중 하나다.
따라서 악수는 포옹을 뺀 나머지 모든 쌍이다.
즉, 악수 = (전체 사람 쌍) − (포옹 쌍).

$$\text{악수} = (\text{전체 쌍}) - (\text{포옹})$$

💡 각 쌍이 두 가지 중 정확히 하나만 한다면, 한 종류를 세는 일은 전체에서 빼는 것과 같다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.NBT.B.5 단계 2

방 안의 모든 쌍 세기

$30$명 중 모든 쌍을 센다.
각 사람은 나머지 $29$명과 짝지을 수 있으므로 $30 \times 29$다.
그런데 이는 각 쌍을 두 사람 양쪽에서 한 번씩, 즉 두 번 센 것이므로 $2$로 나눈다.

$$\dfrac{30 \times 29}{2} = \dfrac{870}{2} = 435$$

💡 모든 사람이 $29$명과 만나지만 너와 나는 같은 한 쌍이므로 전체를 반으로 나눈다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NBT.B.6 단계 3

포옹 세기

포옹은 아는 사이끼리만 일어나고, 그것은 $20$명 그룹뿐이다.
같은 방법으로 그 그룹 안의 쌍을 센다: $20$명 각자가 나머지 $19$명과 짝짓고, 두 번 센 것을 반으로 나눈다.

$$\dfrac{20 \times 19}{2} = \dfrac{380}{2} = 190$$

💡 같은 쌍 세기 방법은 어느 그룹에나 통하므로 포옹은 $20$명 안의 쌍일 뿐이다.

#16 관점 바꾸기 3.NBT.A.2 단계 4

빼서 악수 구하기

이제 전체 쌍에서 포옹을 뺀다.
남은 쌍이 바로 악수다: $435 - 190 = 245$.
이것이 선택지 (B)다.

$$435 - 190 = 245 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 포옹이 아닌 쌍은 모두 악수이므로 한 번의 뺄셈으로 셈이 끝난다.

[1] #16 4.OA.A.3 방 안의 두 사람을 아무나 고르면, 둘은 아는 사이(포옹)이거나 모르는 사이(악수)이며 정확히 둘 중 하나다. 따라서 악수는 포옹을 뺀 나머지

[2] #2 4.NBT.B.5 $30$명 중 모든 쌍을 센다. 각 사람은 나머지 $29$명과 짝지을 수 있으므로 $30 \times 29$다. 그런데 이는 각 쌍을 두 사람

[3] #7 4.NBT.B.6 포옹은 아는 사이끼리만 일어나고, 그것은 $20$명 그룹뿐이다. 같은 방법으로 그 그룹 안의 쌍을 센다: $20$명 각자가 나머지 $19$명과

[4] #16 3.NBT.A.2 이제 전체 쌍에서 포옹을 뺀다. 남은 쌍이 바로 악수다: $435 - 190 = 245$. 이것이 선택지 (B)다.

검토

합리성 확인: 두 셈이 방 전체를 다시 만든다: 포옹 $190 +$ 악수 $245 = 435$로, 이는 정확히 전체 쌍의 수이므로 빠뜨리거나 중복으로 센 것이 없다. 악수 $245$는 전체 쌍 $435$보다 작고 포옹 $190$보다 커서, 있어야 할 자리에 정확히 놓인다.

대안 접근: 악수를 직접 센다. 악수에는 모르는 사람이 적어도 한 명 필요하다. 모르는 사람–아는 사람: $10$명 각자가 아는 사람 $20$명과 악수하므로 $10 \times 20 = 200$. 모르는 사람–모르는 사람: $10$명 안의 쌍, 즉 $\frac{10 \times 9}{2} = 45$. 합 $200 + 45 = 245$로 (B)와 일치한다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.OA.A.3 네 가지 연산을 이용해 여러 단계 문장제 해결하기 (관점을 바꾼 계획 세우기: 악수는 전체 쌍에서 포옹 쌍을 뺀 것과 같다.)
4.NBT.B.5 최대 네 자리 수와 한 자리 수의 곱셈하기 (쌍을 세기 위해 $30 \times 29$와 $20 \times 19$를 곱한 뒤 반으로 나눈다.)
4.NBT.B.6 최대 네 자리 나뉘는 수의 몫과 나머지 구하기 ($870$과 $380$을 $2$로 나누어 중복을 없애고 쌍의 수 $435$와 $190$을 구한다.)
3.NBT.A.2 $1000$ 이내에서 능숙하게 덧셈과 뺄셈하기 (전체 쌍 $435$에서 포옹 $190$을 빼서 악수 $245$를 구한다.)

⭐ 모든 쌍이 두 가지 중 정확히 하나만 한다면, 전체 쌍을 센 다음 원하지 않는 종류를 빼면 된다.