AMC 10 · 2017 · #16
쉬운 모드 학년 4쉬운 버전 문제
1부터 2017까지의 모든 정수를 살펴봅니다. 이 수들 중에서 숫자에 0이 하나라도 들어 있는 수는 몇 개일까요?
(A) 469(B) 471(C) 475(D) 478(E) 481
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AMC 10 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 1부터 2017까지의 양의 정수 중에서, 10진법으로 그대로 적었을 때 숫자 0이 한 자리라도 들어가는 수가 몇 개인지 센다.
주어진 것: 1부터 2017까지의 모든 양의 정수를 살펴본다; 그 수를 보통의 10진법으로 적었을 때 어딘가에 숫자 0이 보이면 센다
구하는 것: 이 2017개의 수 중 숫자 0을 포함하는 수의 개수
이해
문제 재정리: 1부터 2017까지의 양의 정수 중에서, 10진법으로 그대로 적었을 때 숫자 0이 한 자리라도 들어가는 수가 몇 개인지 센다.
주어진 것: 1부터 2017까지의 모든 양의 정수를 살펴본다; 그 수를 보통의 10진법으로 적었을 때 어딘가에 숫자 0이 보이면 센다
계획
주요 도구: #16 관점 바꾸기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #2 빠짐없이 나열하기
0을 포함하는 수를 곧바로 세면 '적어도 하나'라는 지저분한 경우 나누기가 생긴다. 뒤집어서 0이 전혀 없는 수를 세자. 각 자리가 0만 피하면 되니 깔끔하다. 그 개수를 자릿수별로 나눠 간단한 곱셈으로 세고, 전체 2017에서 빼면 된다.
실행 — 정답: A
4.OA.A.3 단계 1 전체 개수와 뒤집기
- 확인할 수는 정확히 2017개다.
- 0을 포함하는 수를 세는 대신, 0이 전혀 없는 수를 센다.
- 모든 수는 이 두 무리 중 정확히 한쪽에 속하므로 (0을 포함) = 2017 - (0이 없음)이다.
- 0이 없는 개수를 자릿수별로 나눈다: 한 자리, 두 자리, 세 자리, 그리고 2017까지의 네 자리 수.
💡 여기서는 반대 무리를 세는 게 더 쉽고, 전체에서 반대를 빼면 원하는 것이 나온다.
4.NBT.A.2 단계 2 한 자리 수
- 한 자리 수는 1부터 9까지다.
- 그 중 0은 없고 0을 포함하는 것도 없으므로, 9개 모두 0이 없는 수다.
💡 1부터 9까지의 한 자리 수에는 0이 숨을 자리 자체가 없다.
3.OA.A.1 단계 3 0이 없는 두 자리와 세 자리 수
- 두 자리 수에서 십의 자리는 1-9 (9가지), 일의 자리도 0을 피해야 하므로 1-9 (9가지): 9 x 9 = 81개가 0이 없다.
- 세 자리 수는 세 자리가 각각 따로 1-9에서 고르므로 9 x 9 x 9 = 729개가 0이 없다.
💡 독립된 선택은 곱하므로, 자리마다 9가지면 9의 (자릿수) 제곱이 된다.
4.NBT.A.2 단계 4 0이 없는 2017까지의 네 자리 수
- 네 자리 수는 1000부터 2017까지다.
- 1로 시작하는 수(1000-1999)는 뒤 세 자리가 각각 0을 피하면 0이 없다: 9 x 9 x 9 = 729개이고, 이들은 모두 2000보다 작다.
- 2로 시작하는 수(2000-2017)는 모두 백의 자리에 0이 있으므로 0이 없는 것은 하나도 없다.
- 따라서 네 자리 구간은 0이 없는 수를 729개 보탠다.
💡 2000부터 2017까지는 2 바로 뒤에 이미 0이 보이므로 결코 0이 없을 수 없다.
4.NBT.B.4 단계 5 0이 없는 개수를 더하고 빼기
- 1부터 2017까지 0이 없는 수의 합계: 9 + 81 + 729 + 729 = 1548.
- 0을 포함하는 수는 나머지 전부다: 2017 - 1548 = 469.
- 이는 보기 (A)와 일치한다.
💡 전체 더미에서 0이 없는 것을 덜어내면, 남는 것이 바로 0을 숨긴 수들이다.
4.OA.A.3 확인할 수는 정확히 2017개다. 0을 포함하는 수를 세는 대신, 0이 전혀 없는 수를 센다. 모든 수는 이 두 무리 중 정확히 한쪽에 속하므로 4.NBT.A.2 한 자리 수는 1부터 9까지다. 그 중 0은 없고 0을 포함하는 것도 없으므로, 9개 모두 0이 없는 수다. 3.OA.A.1 두 자리 수에서 십의 자리는 1-9 (9가지), 일의 자리도 0을 피해야 하므로 1-9 (9가지): 9 x 9 = 81개가 0이 없다. 세 자리 4.NBT.A.2 네 자리 수는 1000부터 2017까지다. 1로 시작하는 수(1000-1999)는 뒤 세 자리가 각각 0을 피하면 0이 없다: 9 x 9 x 9 4.NBT.B.4 1부터 2017까지 0이 없는 수의 합계: 9 + 81 + 729 + 729 = 1548. 0을 포함하는 수는 나머지 전부다: 2017 - 15 검토
합리성 확인: 2017까지의 수 중 약 4분의 1이 0을 가진다는 것은 그럴듯하다: 469는 2017의 약 23%다. 대략적인 어림도 들어맞는데, 세 자리 수에서 뒤 두 자리가 0이 없을 확률은 (9/10)(9/10) = 81%라 약 19%가 0을 가지며, 2000-2017 구간은 전부 0을 포함하므로 비율을 조금 올린다. 다섯 보기는 470 부근에 몰려 있고, 0이 없는 정확한 개수 1548에서 나오는 값은 오직 469뿐이다.
대안 접근: 0을 포함하는 수를 자리별로 직접 셀 수도 있다. 두 자리 수 중 9개가 0으로 끝난다(10,20,...,90). 세 자리 수 중에는 어느 한 자리에 0이 있는 9x9=81개에 두 개의 0이 있는 경우까지 더해야 하는데, 이 포함-배제는 가능하지만 실수가 잦다. 바로 그 때문에 여집합(0이 없는 수를 세고 빼기)이 469로 가는 더 깔끔한 길이다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)
4.OA.A.3Solve multi-step word problems using four operations with whole numbers (세는 문제를 전체에서 0 없는 개수를 빼는 것으로 다시 짜기)4.NBT.A.2Read and write multi-digit whole numbers and compare using symbols (각 자릿수와 2000-2017 구간에 대한 추론)3.OA.A.1Interpret products of whole numbers as total number of objects in groups (자리마다 9가지를 곱해 0 없는 수 세기)4.NBT.B.4Fluently add and subtract multi-digit whole numbers (무리별 개수를 더하고 2017에서 빼기)
⭐ '적어도 하나'를 세기 어려우면, 반대(하나도 없음)를 세서 전체에서 빼라.
⭐ '적어도 하나'를 세기 어려우면, 반대(하나도 없음)를 세서 전체에서 빼라.
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