AMC 10 · 2018 · #20

쉬운 모드 학년 4

문제

숫자를 하나씩 만들어 긴 목록을 만듭니다. 첫 번째 숫자는 $1$ 이고 두 번째 숫자는 $1$ 입니다. 세 번째 숫자부터는 다음 규칙으로 각 숫자를 구합니다. 바로 앞 숫자를 가져와서, 두 칸 앞 숫자를 빼고, 그 자리 번호를 더합니다.

그래서 $n$ 번째 자리의 숫자는 $f(n) = f(n-1) - f(n-2) + n$ 입니다.

$2018$ 번째 자리의 숫자는 무엇일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

2016

(B)

2017

(C)

2018

(D)

2019

(E)

2020

AMC 10 2018 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 어떤 수의 목록을 규칙으로 만든다. 처음 두 수는 모두 $1$이고, 셋째부터는 각 수가 바로 앞 수에서 그 앞 수를 빼고, 자기 자리 번호를 더한 값이다. 이 목록의 $2018$번째 수를 구한다.

주어진 것: $f(1) = 1$이고 $f(2) = 1$이다; 모든 $n \ge 3$에 대해 $f(n) = f(n-1) - f(n-2) + n$이다; 보기: (A) $2016$, (B) $2017$, (C) $2018$, (D) $2019$, (E) $2020$

구하는 것: $f(2018)$의 값

이해

주어진 것: $f(1) = 1$이고 $f(2) = 1$이다; 모든 $n \ge 3$에 대해 $f(n) = f(n-1) - f(n-2) + n$이다; 보기: (A) $2016$, (B) $2017$, (C) $2018$, (D) $2019$, (E) $2020$

계획

주요 도구: #5 패턴 찾기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기, #9 더 쉬운 문제로 줄이기

도구 #2 (빠짐없이 나열하기): 규칙을 적용하기 쉬우므로 처음 열몇 개 항을 써 보는 데 거의 비용이 들지 않고, 들여다볼 실제 수가 생긴다. 도구 #5 (패턴 찾기): 앞쪽 항들을 나열하고 나면, 핵심은 여섯 자리 떨어진 항들을 비교해 일정한 양만큼 올라간다는 것을 알아채는 것이다 — 이 관찰 하나가 $2018$번의 계산을 대신한다. 도구 #9 (더 쉬운 문제로 줄이기): 여섯 걸음 도약을 손에 쥐면, $f(2018)$ 구하기는 시작 부근의 작은 항 하나와 $2018$ 안에 도약이 몇 번 들어가는지 세는 것으로 줄어든다.

실행 — 정답: B

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.C.5 단계 1

처음 몇 항 나열하기

주어진 두 항에서 시작해 규칙을 한 걸음씩 적용한다.
$f(3) = f(2) - f(1) + 3 = 1 - 1 + 3 = 3$.
$f(4) = 3 - 1 + 4 = 6$.
$f(5) = 6 - 3 + 5 = 8$.
$f(6) = 8 - 6 + 6 = 8$.
$f(7) = 8 - 8 + 7 = 7$.
$f(8) = 7 - 8 + 8 = 7$.
계속하면 $f(9) = 9$, $f(10) = 12$, $f(11) = 14$, $f(12) = 14$, $f(13) = 13$.

$$f(1{\dots}13) = 1,\,1,\,3,\,6,\,8,\,8,\,7,\,7,\,9,\,12,\,14,\,14,\,13$$

💡 규칙은 바로 앞 두 수만 필요하므로, 각 새 항은 한 번의 빠른 덧셈과 뺄셈이다.

#5 패턴 찾기 3.OA.D.9 단계 2

여섯 자리 떨어진 항 비교하기

각 항을 여섯 자리 뒤의 항과 짝지어 본다.
$f(1) = 1$과 $f(7) = 7$.
$f(2) = 1$과 $f(8) = 7$.
$f(3) = 3$과 $f(9) = 9$.
$f(4) = 6$과 $f(10) = 12$.
$f(5) = 8$과 $f(11) = 14$.
$f(6) = 8$과 $f(12) = 14$.
모든 짝이 정확히 $6$만큼 차이 난다.
그래서 여섯 자리 앞으로 도약하면 값은 항상 $6$이 더해진다.

$$f(n+6) = f(n) + 6$$

💡 여섯 걸음 동안 자리 번호 $n$이 $6$ 늘고 규칙의 나머지는 반복되므로, 값은 그대로 $6$만큼 올라간다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 4.NBT.B.6 단계 3

2018에 닿는 여섯-도약 횟수 구하기

작은 시작 자리에서 자리 $2018$에 닿으려면 $6$을 계속 더한다.
$2018$을 $6$으로 나누면 $2018 = 6 \times 336 + 2$이다.
나머지 $2$는 $2018$이 주기 안에서 자리 $2$와 같은 지점에, $336$번의 여섯-도약 뒤에 놓인다는 뜻이다.
그래서 $f(2018) = f(2) + 6 \times 336$이다.

$$2018 = 6 \times 336 + 2 \;\Rightarrow\; f(2018) = f(2) + 6 \times 336$$

💡 여섯 도약마다 자리와 값에 똑같이 $6$이 더해지므로, 도약 횟수를 세면 더해진 총량이 세어진다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 4.OA.A.3 단계 4

더하기

작은 시작 값 $f(2) = 1$과 $336$번의 도약을 넣는다.
각 도약은 $6$을 더하므로 $6 \times 336 = 2016$을 기여한다.
그러면 $f(2018) = 1 + 2016 = 2017$이다.
이는 보기 (B)와 일치한다.

$$f(2018) = 1 + 6 \times 336 = 1 + 2016 = 2017 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 알려진 작은 항에서 시작해 목표 자리까지 도약마다 $6$씩 더한다.

[1] #2 4.OA.C.5 주어진 두 항에서 시작해 규칙을 한 걸음씩 적용한다. $f(3) = f(2) - f(1) + 3 = 1 - 1 + 3 = 3$. $f(4) =

[2] #5 3.OA.D.9 각 항을 여섯 자리 뒤의 항과 짝지어 본다. $f(1) = 1$과 $f(7) = 7$. $f(2) = 1$과 $f(8) = 7$. $f(3) =

[3] #9 4.NBT.B.6 작은 시작 자리에서 자리 $2018$에 닿으려면 $6$을 계속 더한다. $2018$을 $6$으로 나누면 $2018 = 6 \times 336 +

[4] #9 4.OA.A.3 작은 시작 값 $f(2) = 1$과 $336$번의 도약을 넣는다. 각 도약은 $6$을 더하므로 $6 \times 336 = 2016$을 기여한다

검토

합리성 확인: 답 $2017$은 자리 번호 $2018$ 바로 아래에 놓이는데, 이는 자연스럽다: 나열한 항들이 자기 자리 번호에 가깝게 머무르므로(예: $f(7) = 7$, $f(13) = 13$), $f(2018)$도 $2018$ 부근이어야 한다. 함정 보기 $2016, 2018, 2019, 2020$은 모두 하나나 둘 차이로, 도약을 잘못 세거나 엉뚱한 작은 항에서 시작할 때 나오는 실수다. 빠른 확인이 못을 박는다: $2016 = 6 \times 336$은 $336$번의 도약에서 오고, 남는 $+1$은 $f(2) = 1$에서 와서 반올림 여지 없이 $2017$이 된다.

대안 접근: 자리 번호를 빼서 단순화한다. $g(n) = f(n) - n$이라 두면 규칙이 $g(n) = g(n-1) - g(n-2)$가 되어 $n$이 사라지고, 이런 패턴은 여섯 항마다 반복된다. $g(2) = f(2) - 2 = -1$이고 $2018$이 여섯-주기에서 자리 $2$의 지점을 공유하므로 $g(2018) = g(2) = -1$, 따라서 $f(2018) = 2018 + g(2018) = 2018 - 1 = 2017$이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.OA.C.5 Generate a number or shape pattern following a given rule (재귀 규칙을 한 걸음씩 적용해 처음 열세 항을 만들기.)
3.OA.D.9 Identify arithmetic patterns and explain using properties of operations (여섯 자리 떨어진 항들이 항상 $6$만큼 차이 남, 즉 $f(n+6) = f(n) + 6$을 알아채기.)
4.NBT.B.6 Find whole-number quotients and remainders with up to four-digit dividends ($2018$을 $6$으로 나눠 도약 $336$번과 나머지 $2$를 얻어 $2018$을 주기 안에 위치시키기.)
4.OA.A.3 Solve multi-step word problems using four operations with whole numbers (시작 값 $f(2)=1$과 여섯-도약 $336$번을 합쳐 $1 + 2016 = 2017$ 얻기.)

⭐ 수열이 여섯 걸음마다 같은 모양을 반복하면 여섯씩 도약하라: 도약 횟수를 세고, 도약마다 여섯을 더하고, 작은 알려진 항에서 시작하라.