AMC 10 · 2018 · #8

쉬운 모드 학년 4

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문제

Sara가 그림처럼 이쑤시개로 계단 모양을 만듭니다.

그림 속 계단은 3칸이고 이쑤시개 18개를 씁니다. 같은 방법으로 만든 더 큰 계단은 이쑤시개 180개를 씁니다. 이 계단은 몇 칸일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2018 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 이쑤시개로 계단을 만든다. $3$칸짜리 계단은 이쑤시개 $18$개를 쓴다. 이쑤시개 $180$개를 쓰는 계단은 몇 칸인지 구하라.

주어진 것: $3$칸짜리 계단은 정확히 이쑤시개 $18$개를 쓴다; 한 칸이 늘 때마다 이쑤시개로 만든 단위 정사각형 줄이 하나 더 붙는다; 더 큰 계단은 이쑤시개 $180$개를 쓴다; 보기: (A) $10$, (B) $11$, (C) $12$, (D) $24$, (E) $30$

구하는 것: 이쑤시개 $180$개를 쓰는 계단의 칸 수

이해

문제 재정리: 이쑤시개로 계단을 만든다. $3$칸짜리 계단은 이쑤시개 $18$개를 쓴다. 이쑤시개 $180$개를 쓰는 계단은 몇 칸인지 구하라.

계획

주요 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기

보조 도구: #5 패턴 찾기, #3 가능성 지우기

곧바로 $180$개를 다루기는 어려우므로 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)가 앞장선다. 세기 쉬운 $1$칸, $2$칸, $3$칸 계단의 이쑤시개를 먼저 센다. 그다음 도구 #5(패턴 찾기)로 그 작은 수들에서 규칙을 읽어낸다. 전체 개수는 한 번에 더해지는 양이 매번 $2$씩 늘면서 커진다. 마지막으로 도구 #3(가능성 지우기)가 객관식 문제를 끝낸다. 패턴을 이어가며 어느 칸 수가 정확히 $180$이 되는지 확인한다.

실행 — 정답: C

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 4.OA.C.5 단계 1

가장 작은 계단부터 세기

아주 작은 것부터 시작한다.
$1$칸 계단은 정사각형 하나로 이쑤시개 $4$개다.
$2$칸 계단은 아래에 정사각형 두 개, 왼쪽 위에 하나가 얹힌 모양이고, 맞닿은 변을 한 번만 세면 $10$개다.
주어진 $3$칸 계단은 $18$개다.
그래서 개수는 $4,\ 10,\ 18$로 시작한다.

$$T(1)=4,\quad T(2)=10,\quad T(3)=18$$

💡 큰 도형도 같은 종류의 작은 도형으로 이루어지므로, 손으로 셀 수 있는 크기에서 규칙이 또렷이 드러난다.

#5 패턴 찾기 3.OA.D.9 단계 2

커지는 규칙 읽기

매번 얼마나 늘어나는지 보자.
$4$에서 $10$은 $+6$, $10$에서 $18$은 $+8$이다.
더해지는 양 자체가 매 단계 $2$씩 커지므로, 다음 증가량은 $+10$, $+12$, $+14$ 식으로 이어진다.

$$4 \xrightarrow{+6} 10 \xrightarrow{+8} 18 \xrightarrow{+10} 28 \xrightarrow{+12} 40 \;\cdots$$

💡 새 칸마다 직전보다 한 줄 더 긴 정사각형 줄이 붙으므로, 새로 드는 이쑤시개 수가 꾸준히 $2$씩 늘어난다.

#5 패턴 찾기 4.NBT.B.4 단계 3

$180$까지 패턴 잇기

커지는 증가량을 계속 더해 합이 $180$에 닿을 때까지 간다: $4,\ 10,\ 18,\ 28,\ 40,\ 54,\ 70,\ 88,\ 108,\ 130,\ 154,\ 180$.
자리를 세어 보면 $180$은 목록의 $12$번째 수다.

$$\underbrace{4}_{1},\,\underbrace{10}_{2},\,\underbrace{18}_{3},\,28,\,40,\,54,\,70,\,88,\,108,\,\underbrace{130}_{10},\,\underbrace{154}_{11},\,\underbrace{180}_{12}$$

💡 규칙을 믿는다면 다음 증가량을 계속 쌓아 가며 목표 합이 나타나는지 지켜보기만 하면 된다.

#3 가능성 지우기 4.NBT.B.4 단계 4

보기와 맞춰 보기

$10$칸 계단은 이쑤시개 $130$개, $11$칸은 $154$개로 둘 다 $180$에 못 미치고, $12$칸이 정확히 $180$에 닿는다.
그래서 (A)와 (B)는 너무 작고, 더 큰 보기인 $24$와 $30$은 $180$을 크게 넘는다.
칸 수는 $12$, 곧 보기 (C)다.

$$T(10)=130,\ T(11)=154,\ T(12)=180 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 $180$에 정확히 닿는 칸 수는 하나뿐이므로, 합을 목록과 맞추면 답이 콕 정해진다.

[1] #9 4.OA.C.5 아주 작은 것부터 시작한다. $1$칸 계단은 정사각형 하나로 이쑤시개 $4$개다. $2$칸 계단은 아래에 정사각형 두 개, 왼쪽 위에 하나가 얹

[2] #5 3.OA.D.9 매번 얼마나 늘어나는지 보자. $4$에서 $10$은 $+6$, $10$에서 $18$은 $+8$이다. 더해지는 양 자체가 매 단계 $2$씩 커지므

[3] #5 4.NBT.B.4 커지는 증가량을 계속 더해 합이 $180$에 닿을 때까지 간다: $4,\ 10,\ 18,\ 28,\ 40,\ 54,\ 70,\ 88,\ 108,

[4] #3 4.NBT.B.4 $10$칸 계단은 이쑤시개 $130$개, $11$칸은 $154$개로 둘 다 $180$에 못 미치고, $12$칸이 정확히 $180$에 닿는다. 그

검토

합리성 확인: 합 $180$은 $3$칸의 합 $18$의 정확히 $10$배이지만, 답은 $30$칸이 아니라 $12$칸이다. 이쑤시개가 칸 수보다 빠르게 늘어나므로 단순한 $\times 10$보다 훨씬 적은 칸으로 충분하기 때문이다. 이로써 함정 보기 (D) $24$와 (E) $30$이 걸러진다. 구한 합 $T(12)=180$은 목표와 정확히 일치한다.

대안 접근: 도구 #13(대수로 바꾸기): 작은 개수들은 $T(n)=n(n+3)$에 들어맞는다. $1\cdot4=4$, $2\cdot5=10$, $3\cdot6=18$이기 때문이다. $n(n+3)=180$으로 두면 $n^2+3n-180=0$, 곧 $(n-12)(n+15)=0$으로 인수분해된다. 양의 근은 $n=12$로, 같은 답 (C)다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.OA.C.5 Generate a number or shape pattern following a given rule ($1$, $2$, $3$칸 계단을 세어 시작 수 $4$, $10$, $18$을 얻는 데 사용.)
3.OA.D.9 Identify arithmetic patterns and explain using properties of operations (매 단계 더해지는 양($+6,+8,+10,\dots$)이 일정하게 $2$씩 커진다는 점을 알아내는 데 사용.)
4.NBT.B.4 Fluently add and subtract multi-digit whole numbers (커지는 증가량을 더해 목록을 $180$까지 이어가고, 보기와 맞춰 $T(12)=180$을 확인하는 데 사용.)

⭐ 도형이 너무 커서 셀 수 없을 때는 작은 것부터 세고, 합이 어떻게 커지는지 규칙을 찾아, 필요한 수까지 패턴을 따라 올라가면 된다.