AMC 10 · 2002 · #17
쉬운 모드 학년 5소수는 1보다 큰 자연수 중에서 약수가 1과 자기 자신뿐인 수이다.
숫자 1부터 9까지 아홉 개를 각각 정확히 한 번씩 써서 여러 개의 수를 만든다. 만든 수는 모두 소수여야 한다. 수를 몇 개 만들지, 각 수가 몇 자리인지는 마음대로 정해도 된다. 예를 들어 {7,83,421,659}는 아홉 개의 숫자를 한 번씩 모두 쓴 것이다.
이렇게 만든 수를 모두 더할 때, 나올 수 있는 가장 작은 합은 얼마인가?
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: $0$이 아닌 아홉 개의 숫자 $1,2,\ldots,9$를 각각 정확히 한 번씩만 써서 소수들의 집합으로 나눈다 — 예시 $\{7,83,421,659\}$가 그런 방법 하나를 보여 준다. 이런 집합이 가질 수 있는 가장 작은 합을 구하여라.
주어진 것: 집합의 모든 원소는 소수이다; 그 소수들이 숫자 $1,2,3,4,5,6,7,8,9$를 각각 정확히 한 번씩 사용한다; $\{7,83,421,659\}$는 조건을 만족하는 집합 하나이다; 선택지: (A) $193$, (B) $207$, (C) $225$, (D) $252$, (E) $447$
구하는 것: 이런 소수 집합이 가질 수 있는 가장 작은 합
이해
문제 재정리: $0$이 아닌 아홉 개의 숫자 $1,2,\ldots,9$를 각각 정확히 한 번씩만 써서 소수들의 집합으로 나눈다 — 예시 $\{7,83,421,659\}$가 그런 방법 하나를 보여 준다. 이런 집합이 가질 수 있는 가장 작은 합을 구하여라.
주어진 것: 집합의 모든 원소는 소수이다; 그 소수들이 숫자 $1,2,3,4,5,6,7,8,9$를 각각 정확히 한 번씩 사용한다; $\{7,83,421,659\}$는 조건을 만족하는 집합 하나이다; 선택지: (A) $193$, (B) $207$, (C) $225$, (D) $252$, (E) $447$
계획
주요 도구: #14 극단의 원리
보조 도구: #15 다르게 정리하기, #7 작은 문제로 쪼개기, #6 추측하고 확인하기
"가장 작은"이라는 말은 도구 #14(극단의 원리)를 부르는 신호이고, 최솟값 문제는 언제나 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 두 부분으로 갈린다. 어떤 집합도 내려갈 수 없는 바닥을 증명하고, 그 바닥에 정확히 앉는 집합을 하나 제시하는 것이다. 바닥은 도구 #15(다르게 정리하기)가 만들어 준다. 집합을 수의 목록으로 보는 대신 아홉 개의 숫자로 보고 각 숫자에 자리값만큼의 값을 매기면, 문제는 "어떤 숫자가 소수의 끝자리가 될 수 없는가"로 바뀐다. 마무리는 도구 #6(추측하고 확인하기)이다. 그 값을 정확히 치르는 실제 소수 집합을 만들어야 하며, 그것이 없으면 바닥은 한계일 뿐 답이 아니다.
실행 — 정답: B
5.NBT.A.1 단계 1 합을 자리값으로 다시 쓰기
- 숫자들을 어떻게 묶어 수를 만들든, 총합은 아홉 개의 숫자에 각자가 놓인 자리의 무게를 곱해 더한 값이다.
- 일의 자리 숫자는 제 값을, 십의 자리 숫자는 열 배를, 백의 자리 숫자는 백 배를 더한다.
- 그러므로 합을 작게 하려면 모든 숫자를 가능한 한 오른쪽으로 밀어야 한다.
- 이상적으로는 아홉 개 모두 한 자리 수로 일의 자리에 남기는 것이다.
💡 숫자를 왼쪽으로 한 자리 옮기면 그 숫자가 더하는 양이 열 배가 되므로, 값이 싼 합은 숫자를 규칙이 허락하는 한 오른쪽에 둔다.
4.OA.B.4 단계 2 세 숫자는 소수의 끝이 될 수 없다
- 끝자리가 $4$, $6$, $8$인 수는 짝수이다.
- 짝수인 소수는 $2$뿐이고 $4$, $6$, $8$ 중 어느 것도 $2$가 아니므로, 어떤 소수도 이 세 숫자로 끝나지 않는다.
- 한 자리 수 $4$, $6$, $8$ 자체도 소수가 아니므로 이 세 숫자는 혼자 설 수도 없고 일의 자리에 놓일 수도 없다.
- 따라서 조건을 만족하는 어떤 집합에서도 이들은 십의 자리 이상에 있어야 하고, 적어도 $40$, $60$, $80$의 값을 치른다.
💡 끝자리가 짝수면 수 전체가 짝수가 되고 짝수인 소수는 $2$뿐이므로, 이 세 숫자는 무슨 수를 써도 왼쪽으로 밀려난다.
4.NBT.B.4 단계 3 바닥 더하기: 207
- 남은 여섯 숫자 $1,2,3,5,7,9$는 자리값이 $1$보다 작을 수 없으므로 각각 적어도 제 값만큼 기여한다.
- $4$, $6$, $8$에는 십의 자리 최솟값을, 나머지에는 일의 자리 최솟값을 매기면 $(40+60+80) + (1+2+3+5+7+9) = 180 + 27 = 207$이다.
- 조건을 만족하는 어떤 집합도 $207$보다 작을 수 없으며, 이것만으로 선택지 (A) $193$은 이미 탈락한다.
💡 모든 숫자에 법이 허락하는 가장 싼 자리를 매겨 더하면, 아무것도 그 아래로 빠져나갈 수 없는 총합이 나온다.
4.OA.B.4 단계 4 예시로 바닥에 내려앉기
- 바닥은 어떤 집합이 실제로 도달해야 답이 된다.
- $\{41, 67, 89, 2, 3, 5\}$를 보자.
- 모든 원소가 소수이고, 숫자 $4,1,6,7,8,9,2,3,5$는 $0$이 아닌 아홉 숫자를 한 번씩 쓴 것이며, 합은 $41+67+89+2+3+5 = 207$이다.
- 모든 숫자가 바닥이 가정한 그 자리에 정확히 놓여 있다 — $4$, $6$, $8$은 십의 자리, 나머지 여섯은 일의 자리이다.
- 예시는 혼자서는 소수가 아닌 $1$과 $9$도 처리해야 하는데, 여기서는 $41$과 $89$의 일의 자리로 들어가 함께 실려 간다.
- $207$에 도달할 수 있고 그보다 작은 값은 불가능하므로 답은 (B)이다.
💡 하한은 그것과 정확히 일치하는 집합을 하나 보이는 순간 진짜 최솟값이 된다.
5.NBT.A.1 숫자들을 어떻게 묶어 수를 만들든, 총합은 아홉 개의 숫자에 각자가 놓인 자리의 무게를 곱해 더한 값이다. 일의 자리 숫자는 제 값을, 십의 자 4.OA.B.4 끝자리가 $4$, $6$, $8$인 수는 짝수이다. 짝수인 소수는 $2$뿐이고 $4$, $6$, $8$ 중 어느 것도 $2$가 아니므로, 어떤 4.NBT.B.4 남은 여섯 숫자 $1,2,3,5,7,9$는 자리값이 $1$보다 작을 수 없으므로 각각 적어도 제 값만큼 기여한다. $4$, $6$, $8$에는 4.OA.B.4 바닥은 어떤 집합이 실제로 도달해야 답이 된다. $\{41, 67, 89, 2, 3, 5\}$를 보자. 모든 원소가 소수이고, 숫자 $4,1,6 검토
합리성 확인: 바닥 논증은 확인할 수 있을 만큼 강하게 작동한다. 선택지 (A) $193$은 $207$보다 작으므로 숫자를 어떻게 배열해도 도달할 수 없다 — 아깝게 빗나가는 것이 아니라 아예 불가능하다. 반대편에서 $207$은 운 좋은 배열 하나의 우연이 아니다. $\{43, 61, 89, 2, 5, 7\}$과 $\{47, 61, 89, 2, 3, 5\}$도 모두 소수로 이루어지고 $0$이 아닌 숫자를 한 번씩 쓰며, 합 역시 $207$이다. 문제의 예시 $\{7,83,421,659\}$는 합이 $1170$으로 바닥보다 훨씬 큰데, 숫자 하나가 백의 자리로 밀려 올라간 순간 당연한 결과이다.
대안 접근: 추측 대신 최소 형태를 남김없이 훑을 수도 있다. 바닥에 실제로 닿는 집합이라면 반드시 $4$, $6$, $8$이 십의 자리에 있고 나머지 여섯 숫자가 일의 자리에 혼자 있어야 한다. 그 밖의 어떤 배치도 값이 더 든다. 그래서 문제는 "$4$, $6$, $8$ 각각의 짝이 되는 일의 자리 숫자는 무엇인가"로 좁혀진다. 남아서 혼자 서는 숫자는 모두 소수여야 하는데 $1$과 $9$는 소수가 아니므로, $1$과 $9$는 반드시 일의 자리 숫자로 소모되어야 한다. $49$와 $69$는 합성수이므로 $9$는 $8$과 짝이 되어 $89$가 된다. 그러면 $1$은 $4$ 또는 $6$과 짝이 되고 남은 십의 자리는 $3$이나 $7$을 데려간다. 살아남는 집합은 $\{41,67,89,2,3,5\}$, $\{61,43,89,2,5,7\}$, $\{61,47,89,2,3,5\}$ 세 가지이고 모두 합이 $207$이다. 바닥이 실제로 도달 가능하다는 것과 답이 (B)라는 것이 동시에 확인된다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)
5.NBT.A.1Recognize that a digit in one place represents ten times as much as to its right (집합의 합을 자리값으로 가중된 숫자들의 합으로 쓰고, 그래서 "숫자를 오른쪽에 두기"가 값을 최소로 만드는 선택임을 밝히는 데 사용.)4.OA.B.4Find all factor pairs and recognize multiples; determine prime or composite ($4$, $6$, $8$이 소수의 끝자리가 될 수 없음을 보이고, $41$, $67$, $89$, $2$, $3$, $5$가 모두 소수임을 확인하는 데 사용.)4.NBT.B.4Fluently add and subtract multi-digit whole numbers (최소 기여분을 더해 $180 + 27 = 207$을 얻고 $41+67+89+2+3+5 = 207$을 확인하는 데 사용.)
⭐ 가장 작은 값을 찾으려면 먼저 아무것도 내려갈 수 없는 바닥을 증명하고, 그다음 그 바닥에 정확히 내려앉는 예시를 하나 만들어라.
⭐ 가장 작은 값을 찾으려면 먼저 아무것도 내려갈 수 없는 바닥을 증명하고, 그다음 그 바닥에 정확히 내려앉는 예시를 하나 만들어라.
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