AMC 10 · 2007 · #6
쉬운 모드 학년 4삼각형 ABC의 세 변의 길이는 AB=5, BC=6, AC=7이다. 벌레 두 마리가 같은 순간에 꼭짓점 A에서 출발한다. 한 마리는 B 쪽으로, 다른 한 마리는 C 쪽으로 기어간다. 두 마리 모두 삼각형의 변 위로만 같은 빠르기로 기어가므로, 서로 반대 방향으로 삼각형을 돌다가 점 D에서 만난다. D는 B에서 얼마나 떨어져 있는가?
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 세 변이 $AB = 5$, $BC = 6$, $AC = 7$인 삼각형이 있다. 벌레 두 마리가 같은 순간에 $A$에서 출발해 같은 속력으로 삼각형의 둘레를 기어가는데, 한 마리는 $B$ 쪽으로, 다른 한 마리는 $C$ 쪽으로 간다. 두 마리는 점 $D$에서 서로 만난다. $B$에서 $D$까지의 거리를 구하는 문제다.
주어진 것: 삼각형 $ABC$에서 $AB = 5$, $BC = 6$, $AC = 7$이다.; 두 벌레는 같은 시각에 $A$에서 출발한다.; 두 벌레는 삼각형의 변을 따라, 서로 반대 방향으로 돈다.; 두 벌레의 속력은 같다.
구하는 것: 두 벌레가 만나는 점을 $D$라 할 때의 길이 $BD$
이해
문제 재정리: 세 변이 $AB = 5$, $BC = 6$, $AC = 7$인 삼각형이 있다. 벌레 두 마리가 같은 순간에 $A$에서 출발해 같은 속력으로 삼각형의 둘레를 기어가는데, 한 마리는 $B$ 쪽으로, 다른 한 마리는 $C$ 쪽으로 간다. 두 마리는 점 $D$에서 서로 만난다. $B$에서 $D$까지의 거리를 구하는 문제다.
주어진 것: 삼각형 $ABC$에서 $AB = 5$, $BC = 6$, $AC = 7$이다.; 두 벌레는 같은 시각에 $A$에서 출발한다.; 두 벌레는 삼각형의 변을 따라, 서로 반대 방향으로 돈다.; 두 벌레의 속력은 같다.
계획
주요 도구: #1 그림 그리기
보조 도구: #15 다르게 정리하기, #8 단위 살펴보기, #7 작은 문제로 쪼개기
여기서 삼각형의 모양은 중요하지 않다. 각이나 넓이를 묻는 것이 아니라 변을 따라 기어간 거리만 묻기 때문이다. 그러므로 삼각형을 그린 뒤, 그 둘레를 전체 길이를 아는 하나의 닫힌 트랙으로 다시 본다. 트랙 위에서 같은 지점에서 반대 방향으로 같은 속력으로 출발한 둘은, 두 사람이 간 거리의 합이 정확히 한 바퀴가 될 때 만난다. 그러면 문제는 작은 문제 두 개로 바뀐다: 한 바퀴의 길이를 구하고, 그 절반을 걸어가 어디에 닿는지 본다. 마지막으로 둘째 벌레로 확인하면 두 벌레가 정말 같은 점에 서 있음을 알 수 있다.
실행 — 정답: D
3.MD.D.8 단계 1 그림 그리고 두 경로 따라가기
- 삼각형 $ABC$를 그리고 $AB = 5$, $BC = 6$, $CA = 7$을 표시한다.
- 한 벌레는 $A$에서 $B$ 쪽으로 가므로 경로는 $A \to B \to C$이다.
- 다른 벌레는 $A$에서 $C$ 쪽으로 가므로 경로는 $A \to C \to B$이다.
- 두 경로는 같은 닫힌 둘레를 서로 반대 방향으로 돈다.
- 그 둘레의 전체 길이는 $5 + 6 + 7 = 18$이다.
💡 삼각형은 사실 $A$, $B$, $C$를 표시해 둔 길이 18짜리 실 고리일 뿐이다.
4.MD.A.2 단계 2 둘레를 펴서 한 바퀴 트랙으로
- 고리를 $A$에서 잘라 길이 $18$짜리 트랙으로 펴 놓는다.
- $A$가 $0$, $B$가 $5$, $C$가 $5 + 6 = 11$, 끝의 $18$이 다시 $A$이다.
- 첫째 벌레는 이 트랙을 앞으로 나아가고, 둘째 벌레는 $18$에서 거꾸로 온다.
- 속력이 같고 시간도 같으므로, $t$만큼 기어간 뒤 첫째 벌레는 눈금 $t$에, 둘째 벌레는 눈금 $18 - t$에 있다.
💡 모양을 구부려도 변을 따라 걷는 거리는 변하지 않으므로, 둘레를 곧은 자처럼 다뤄도 된다.
4.MD.A.2 단계 3 간 거리의 합이 18일 때 만난다
- 첫째 벌레에서 앞쪽으로 돌아 둘째 벌레까지 재는 간격은 처음에 한 바퀴인 $18$이고, 두 벌레가 각각 $1$만큼 갈 때마다 둘이 동시에 갉아먹으므로 $2$씩 줄어든다.
- 그러므로 간격이 사라지는 때는 두 거리의 합이 정확히 한 바퀴가 되는 때다: $t + t = 18$에서 $t = 9$.
- 그보다 이른 때는 $2t < 18$이라 아직 고리가 닫히지 않았으므로 둘은 떨어져 있다.
- 따라서 각 벌레는 둘레의 절반인 $9$만큼 기어간다.
💡 양쪽에서 고리를 좁혀 오는 둘은 그 고리를 똑같이 나누므로, 각자 절반을 간다.
4.OA.A.3 단계 4 9만큼 걸어가 어디인지 보기
- 첫째 벌레를 $A \to B \to C$를 따라 $9$만큼 따라간다.
- 처음 $5$는 변 $AB$를 다 써서 정확히 $B$에 닿는다.
- 그러면 $9 - 5 = 4$만큼이 남아 변 $BC$ 위를 간다.
- $4$는 $BC = 6$보다 작으므로 벌레는 아직 선분 $BC$ 위에 있고 $C$에 닿지 않았다.
- 그러므로 만나는 점 $D$는 $BC$ 위에 있고, $B$에서 거리가 $4$이다.
💡 걸을 거리를 한 변씩 쓰고, 한 변을 다 쓰고 남은 만큼이 다음 변으로 얼마나 들어가는지다.
4.MD.A.2 단계 5 둘째 벌레도 같은 점인지 확인
- 둘째 벌레도 바로 그 자리에 서 있어야 하므로 확인한다.
- $A \to C$는 $7$을 쓰고, $9 - 7 = 2$만큼이 남아 $C$에서 $B$ 쪽으로 되돌아온다.
- 변 $BC$ 위에서 $C$로부터 $2$인 점은 $B$로부터 $6 - 2 = 4$인 점 — 첫째 벌레가 닿은 바로 그 점이다.
- 두 벌레 모두 $BC$ 위에서 $B$로부터 $4$인 곳에 있으므로 만나는 점은 실제로 존재하고 $BD = 4$, 답은 (D)이다.
💡 서로 다른 두 경로가 같은 자리에 닿는다는 것이, 그 자리가 가정이 아니라 실제임을 보여 주는 증거다.
3.MD.D.8 삼각형 $ABC$를 그리고 $AB = 5$, $BC = 6$, $CA = 7$을 표시한다. 한 벌레는 $A$에서 $B$ 쪽으로 가므로 경로는 $ 4.MD.A.2 고리를 $A$에서 잘라 길이 $18$짜리 트랙으로 펴 놓는다. $A$가 $0$, $B$가 $5$, $C$가 $5 + 6 = 11$, 끝의 $18 4.MD.A.2 첫째 벌레에서 앞쪽으로 돌아 둘째 벌레까지 재는 간격은 처음에 한 바퀴인 $18$이고, 두 벌레가 각각 $1$만큼 갈 때마다 둘이 동시에 갉아먹 4.OA.A.3 첫째 벌레를 $A \to B \to C$를 따라 $9$만큼 따라간다. 처음 $5$는 변 $AB$를 다 써서 정확히 $B$에 닿는다. 그러면 $9 4.MD.A.2 둘째 벌레도 바로 그 자리에 서 있어야 하므로 확인한다. $A \to C$는 $7$을 쓰고, $9 - 7 = 2$만큼이 남아 $C$에서 $B$ 검토
합리성 확인: 세 가지 확인이 모두 맞아떨어진다. 첫째, $BD = 4$는 $BC = 6$보다 작으므로 $D$는 정말 변 $BC$ 위에 있다. $6$보다 큰 답이었다면 불가능했을 것이다. 둘째, 두 여정의 길이가 같다: $AB + BD = 5 + 4 = 9$이고 $AC + CD = 7 + 2 = 9$로, 같은 속력이 강제하는 그 같은 거리다. 셋째, $9 + 9 = 18$은 둘레 전체이고, 겹쳐 센 것 없이 한 번씩만 쓰였다. $5$, $6$, $7$이라는 수는 그 합과 $AB$를 통해서만 쓰인다는 점을 보라. 규칙은 $BD = \frac{\text{둘레}}{2} - AB = 9 - 5 = 4$이므로, 삼각형의 정확한 모양은 상관이 없다. 짚어 둘 함정 하나: 벌레들이 $D$를 지나 계속 기어가면 각자 $18$을 간 뒤 다시 만나는데, 그곳은 $A$이고 $B$까지의 거리는 $5$, 즉 선택지 (E)이다. (E)는 엉뚱한 만남에 대한 답이므로, $D$가 첫 만남이라는 점이 중요하다.
대안 접근: 트랙 그림을 쓰지 않고 변 $BC$의 두 조각에 대한 식 두 개로 풀어도 된다. $D$가 $BC$ 위에 있다는 것($AB = 5 < 9 < 11 = AB + BC$이므로)을 알고 나면, 거리가 같다는 조건은 $AB + BD = AC + CD$, 즉 $5 + BD = 7 + CD$이고 따라서 $BD - CD = 2$이다. 또 두 조각은 변 전체를 이루므로 $BD + CD = 6$이다. 합이 $6$이고 차가 $2$이면 $BD = 4$, $CD = 2$로 정해진다. 둘레를 한 번도 언급하지 않고 같은 답에 이른다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)
3.MD.D.8Solve real-world problems involving perimeters of polygons (세 변을 더해 닫힌 경로의 길이 $5 + 6 + 7 = 18$을 구하는 데 사용.)4.MD.A.2Solve word problems involving distances, time, liquid volumes, and money (같은 속력과 같은 시간을 같은 거리로 바꾸고, 한 바퀴를 $t + t = 18$로 나누며, 만나는 점을 둘째 벌레 쪽에서 다시 재는 데 사용.)4.OA.A.3Solve multi-step word problems using four operations with whole numbers ($9$만큼의 이동을 한 변씩 써 나가며 $9 - 5 = 4$를 빼고, $4$와 $6$을 비교해 그 점이 $BC$ 위에 있음을 확인하는 데 사용.)
⭐ 같은 점에서 반대 방향으로 고리를 도는 두 마리는 둘이 합쳐 정확히 한 바퀴를 갔을 때 만나므로, 각자는 둘레의 절반을 걸은 것이다.
⭐ 같은 점에서 반대 방향으로 고리를 도는 두 마리는 둘이 합쳐 정확히 한 바퀴를 갔을 때 만나므로, 각자는 둘레의 절반을 걸은 것이다.
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