AMC 10 · 2005 · #6

학년 7 rate-ratio

유형 Meeting Time with Piecewise Rates └ 세부 유형 Constant-Rate Closing Speed

ratelinear-equations-one-varratio-proportion convert-to-algebradimensional-analysis ↑ 선수 지식: rateratio-proportionfraction-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

두 집이 13킬로미터 떨어져 있고 두 사람이 서로를 향해 출발한다. 만났을 때 한 사람은 다른 사람보다 두 배 오래 탔고 속력은 상대의 오분의 사였다. 빠른 쪽이 얼마나 달렸는지 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 변수 도입하기

이 문제는 Mike의 속력, Mike의 시간, 그리고 두 거리라는 세 가지 미지수를 숨긴 것처럼 보이지만, 잘 고른 하나의 변수가 모든 것을 무너뜨립니다. 도구 #4(변수 도입하기)로 Mike가 탄 거리를 m이라 부르면, '두 배의 시간'과 '4/5의 속력'이라는 두 조건이 속력이나 시간을 따로 알 필요 없이 Josh의 거리를 m에 묶어 줍니다. 그 묶음을 정당하게 만들어 주는 것이 도구 #8(단위 살펴보기)입니다. 거리 = 속력 × 시간이므로, 시간 배수 2와 속력 배수 4/5가 거리 배수 8/5로 곱해집니다. 그러면 도구 #13(대수로 바꾸기)이 '두 거리의 합은 13'이라는 말을 m에 관한 한 줄 방정식으로 바꿔 줍니다.

1STEP 1

Mike의 거리를 이름 붙이고 거리 = 속력 × 시간 떠올리기

속력과 시간에 이름을 붙이면 한 거리가 그 곱이 된다.

m = r t (Mike: 속력 r, 시간 t)

2STEP 2

Josh의 거리를 Mike 거리의 배수로 쓰기

다른 사람의 거리는 그것의 단순한 배수라 문자가 상쇄된다.

Josh = (4/5r)(2t) = 8/5 r t = 8/5m

3STEP 3

두 거리를 더해 13마일 간격 메우기

서로를 향해 달리므로 두 거리가 전체 간격을 채운다.

m + 8/5m = 5/5m + 8/5m = 13/5m = 13

4STEP 4

Mike의 거리 풀기

풀면 5이고 두 거리를 더하면 13으로 돌아온다, 보기 (B).

m = 13 · 5/13 = 5 → (B)

정답

Mike는 더 빠르고 더 짧게 타며, Josh는 더 느리지만 훨씬 오래 탑니다. 그래서 Josh가 13마일 중 더 큰 몫을 차지해야 합니다. 우리 답은 Mike 5마일, Josh 8마일로, 실제로 Josh의 몫이 더 크고 합이 정확히 13입니다. Mike의 5마일은 13의 절반보다 작은데, 이는 '두 배 시간에 4/5 속력'이라는 불리함 때문에 Josh가 더 멀리 간다는 사실과 맞습니다. 헷갈리기 쉬운 오답은 8인데, 이는 Mike가 아니라 Josh의 거리입니다.

💡핵심 정리

구하려는 거리에 이름을 붙이고, 거리 = 속력 × 시간으로 '두 배 시간에 4/5 속력'을 하나의 수(8/5)로 바꾸면, 정면으로 만나 합이 13마일이라는 조건이 단 한 단계로 풀립니다.

Mike의 거리를 이름 붙이고 거리 = 속력 × 시간 떠올리기
Josh의 거리를 Mike 거리의 배수로 쓰기
두 거리를 더해 13마일 간격 메우기
Mike의 거리 풀기

Mike의 거리를 이름 붙이고 거리 = 속력 × 시간 떠올리기

Josh의 거리를 Mike 거리의 배수로 쓰기

두 거리를 더해 13마일 간격 메우기

Mike의 거리 풀기

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