AMC 10 · 2009 · #1
쉬운 모드 학년 4킴이 탄 비행기는 오전 10시 34분에 이륙해서 같은 날 오후 1시 18분에 착륙했다. 두 도시의 시계는 똑같은 시각을 가리킨다. 비행 시간을 h시간 m분으로 나타내고, m은 0보다 크고 60보다 작다. h+m은 얼마인가?
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 비행기가 같은 날 오전 10시 34분에 출발해 오후 1시 18분에 도착했고, 시간대 변화는 없다. 비행 시간을 $h$시간 $m$분으로 적되 $m$은 $0 < m < 60$인 정수라고 할 때, $h + m$의 값을 구하라.
주어진 것: 출발 시각: 오전 10시 34분; 도착 시각: 오후 1시 18분; 뉴어크와 마이애미는 같은 시간대이므로 두 시계가 같은 순간을 같은 방식으로 가리킨다; 비행 시간을 $h$시간 $m$분으로 적고 $0 < m < 60$이다
구하는 것: $h + m$의 값
이해
문제 재정리: 비행기가 같은 날 오전 10시 34분에 출발해 오후 1시 18분에 도착했고, 시간대 변화는 없다. 비행 시간을 $h$시간 $m$분으로 적되 $m$은 $0 < m < 60$인 정수라고 할 때, $h + m$의 값을 구하라.
주어진 것: 출발 시각: 오전 10시 34분; 도착 시각: 오후 1시 18분; 뉴어크와 마이애미는 같은 시간대이므로 두 시계가 같은 순간을 같은 방식으로 가리킨다; 비행 시간을 $h$시간 $m$분으로 적고 $0 < m < 60$이다
계획
주요 도구: #8 단위 살펴보기
보조 도구: #15 다르게 정리하기, #7 작은 문제로 쪼개기, #11 거꾸로 풀기
여기서는 시간과 분이라는 두 단위가 서로 부딪히고, 게다가 시계는 12에서 되돌아가며 오전/오후로 이름표를 바꿔 단다. 실수는 늘 이 섞인 단위에서 나오므로, 먼저 단위를 하나로 낮춘다 — 자정부터 센 분. 그러면 뺄셈은 평범한 뺄셈이 되고 오전/오후 이름표도 문제를 일으키지 못한다. 그렇게 분의 개수 하나를 얻는다. 두 번째 작은 문제는 그 수를 다시 $h$시간 $m$분으로 되돌리는 일이다. 실제로 조심해야 하는 곳은 바로 이 단계다. 규칙 $0 < m < 60$을 만족하는 쌍 $(h, m)$이 정확히 하나가 아니라면 $h + m$은 애초에 뜻이 없으므로, 그 유일성을 가정하지 않고 보인다.
실행 — 정답: A
3.MD.A.1 단계 1 시계를 믿어도 되는지 확인하기
- 두 시계 읽음의 차가 곧 걸린 시간이 되려면, 두 시계가 같은 기준으로 돌아가야 하고 그 사이에 아무것도 초기화되지 않아야 한다.
- 문제는 두 도시가 같은 시간대라고 했으므로 시계가 서로 맞는다.
- 출발은 오전, 도착은 오후이고 하루 안에서 오후는 오전 뒤에 오므로 자정을 넘는 일도 없다.
- 따라서 하루 안의 뺄셈 하나로 다뤄도 된다.
- 나중 시각이 더 큰 수가 되도록 24시간제로 다시 쓰자.
- 오전 10시 34분은 그대로 10:34이고, 오후 1시 18분은 오후의 시각이 오전 이름표보다 $12$만큼 뒤에 있으므로 13:18이 된다.
💡 시계가 처음부터 끝까지 같은 시계일 때에만 걸린 시간을 정직하게 잰다.
4.MD.A.1 단계 2 두 시각을 하나의 수직선에 올리기
- 시:분으로 적힌 시각은 사실 두 개의 수를 붙여 놓은 것이고, 붙여 놓으면 뺄셈이 까다로워진다.
- 각 시각을 자정부터 센 분 하나로 바꾸자.
- 한 시간은 $60$분이므로 10시간 34분은 $10 \times 60 + 34 = 634$분이고, 13시간 18분은 $13 \times 60 + 18 = 798$분이다.
- 이제 두 시각 모두 한 직선 위의 평범한 정수다.
💡 단위는 둘보다 하나가 낫다. 모두 분으로 바꾸고 나면 시계의 규칙은 사라지고 계산만 남는다.
4.NBT.B.4 단계 3 빼서 비행 시간 구하기
- 수직선에서 두 점 사이의 간격은 큰 수에서 작은 수를 뺀 것이다.
- 비행 시간은 $798 - 634 = 164$분이다.
- 무엇이 일어나지 '않았는지'를 보자.
- 12를 넘나드는 받아내림도 없었고, $18$분이 $34$분보다 '작은지' 걱정할 일도 없었다.
- 그 골칫거리는 앞 단계에서 이미 넘겨 버렸다.
💡 걸린 시간은 두 위치 사이의 간격이고, 간격은 그저 차다.
4.OA.A.3 단계 4 164를 시간과 분으로 쪼개기 — 방법은 하나뿐
- 이제 $164$분을 $h$시간 $m$분으로 쓰자.
- 즉 $164 = 60h + m$이다.
- 온전한 시간을 하나씩 떼어낸다.
- $164 - 60 = 104$, $104 - 60 = 44$.
- $44 < 60$이므로 세 번째 시간은 떼어낼 수 없다.
- 따라서 $164 = 60 \times 2 + 44$, 곧 $h = 2$, $m = 44$이다.
- 이 쌍만이 허용된다.
- $h$가 더 작다면 남는 $m$은 $104$나 $164$인데 둘 다 $60$ 이상이고, $h$가 더 크다면 $m$이 음수가 된다.
- 즉 규칙 $0 \le m < 60$은 쌍을 정확히 하나만 남기며, 여기서 $m = 44$는 $0$이 아니므로 문제의 더 엄격한 조건 $0 < m < 60$도 만족한다.
- 이것이 중요한 이유가 있다.
- 만약 비행 시간이 정확히 몇 시간이었다면 $0 < m$을 만족하는 쌍이 없어 $h + m$이 존재하지 않았을 것이다.
- 조건 $0 < m < 60$이야말로 답을 하나의 수로 만들어 주는 장치다.
💡 60을 뺄 수 있는 만큼 빼고 나면 60보다 작은 나머지가 남고, 거기서 멈추는 방법은 하나뿐이다.
4.NBT.B.4 단계 5 두 개수를 더하기
- 문제가 묻는 것은 걸린 시간이 아니라 $h + m$, 즉 시간의 개수와 분의 개수를 더한 값이다.
- 이 합은 시간의 길이가 아니라 쌍 $(h, m)$을 나타내는 부호에 가깝고, 그래서 앞 단계에서 그 쌍을 유일하게 못 박아야 했다.
- $h = 2$, $m = 44$이므로 값은 $2 + 44 = 46$이고, 따라서 답은 $\textbf{(A)}\ 46$이다.
💡 쌍이 하나로 정해지고 나면, 두 부분을 더하는 것이 마지막이자 가장 쉬운 동작이다.
3.MD.A.1 두 시계 읽음의 차가 곧 걸린 시간이 되려면, 두 시계가 같은 기준으로 돌아가야 하고 그 사이에 아무것도 초기화되지 않아야 한다. 문제는 두 도 4.MD.A.1 시:분으로 적힌 시각은 사실 두 개의 수를 붙여 놓은 것이고, 붙여 놓으면 뺄셈이 까다로워진다. 각 시각을 자정부터 센 분 하나로 바꾸자. 한 4.NBT.B.4 수직선에서 두 점 사이의 간격은 큰 수에서 작은 수를 뺀 것이다. 비행 시간은 $798 - 634 = 164$분이다. 무엇이 일어나지 '않았는지 4.OA.A.3 이제 $164$분을 $h$시간 $m$분으로 쓰자. 즉 $164 = 60h + m$이다. 온전한 시간을 하나씩 떼어낸다. $164 - 60 = 1 4.NBT.B.4 문제가 묻는 것은 걸린 시간이 아니라 $h + m$, 즉 시간의 개수와 분의 개수를 더한 값이다. 이 합은 시간의 길이가 아니라 쌍 $(h, m 검토
합리성 확인: 거꾸로가 아니라 앞으로 굴려서 확인해 보자. 오전 10시 34분에서 $2$시간을 더하면 오후 12시 34분이고, 여기에 $44$분을 더한다. $34 + 44 = 78$분은 $60 + 18$이므로 시가 오후 1시로 넘어가고 $18$분이 남아 오후 1시 18분이 된다. 문제에 적힌 도착 시각과 같으므로, 뺄셈과는 별개의 방법으로 $(h, m) = (2, 44)$가 확인된다. 크기도 그럴듯하다 — 뉴어크에서 마이애미까지는 세 시간이 조금 안 된다. 오답 보기들은 모두 두 개수 중 하나를 잘못 다루면 나온다. 보기 $\textbf{(B)}\ 47$은 전형적인 중복 계산이다. 시침이 10에서 1로 가니 $3$시간처럼 보이는데, 거기에 $44$분을 또 더하면 채워지지 않은 한 시간을 두 번 세는 셈이다. 세 번째 시간은 $44$분만큼만 진행되었으므로 참된 시간의 개수는 $2$다. 보기 $\textbf{(C)}\ 50$, $\textbf{(D)}\ 53$, $\textbf{(E)}\ 54$는 모두 $h + m \ne 46$을 요구하는데, 4단계의 유일성 논증에 따르면 이는 시간의 개수가 $2$가 아니거나 분의 개수가 $44$가 아니라는 뜻이고, 위의 앞으로 굴린 확인이 그 둘을 모두 배제한다.
대안 접근: 자정을 기준으로 재는 대신 정오에서 여정을 둘로 자르면, 수 $164$는 아예 만들어지지 않는다. 오전 10시 34분에서 오전 11시 34분까지가 $1$시간이고, 오전 11시 34분에서 정오까지는 $60 - 34 = 26$이므로 $26$분이다. 정오에서 오후 1시 18분까지는 $1$시간 $18$분이다. 조각들을 더하면 $1 + 1 = 2$시간과 $26 + 18 = 44$분이고, $44 < 60$이므로 더 올려 줄 것이 없다. 같은 쌍, 같은 합 $46$이다. 두 경로는 종류가 다르다. 이쪽은 시간선의 조각들을 더해 나가며 기준점에서 자르는 데 의존하고, 본 풀이는 모든 순간에 절대 좌표를 붙여 빼기만 한다. 두 결과가 일치한다는 것은 정오 경계와 오전/오후 이름표를 모두 올바르게 다뤘다는 좋은 증거다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)
3.MD.A.1Tell and write time to the nearest minute and solve elapsed time problems (시간대가 같고 자정을 넘지 않으므로 비행 시간이 두 시계 읽음의 차와 같음을 정당화하는 데 사용.)4.MD.A.1Know relative sizes of measurement units and convert larger to smaller units ($1$시간 $= 60$분을 이용해 각 시각을 자정부터 센 분 하나로 바꾸는 데 사용.)4.NBT.B.4Fluently add and subtract multi-digit whole numbers ($798 - 634 = 164$와 마지막 합 $2 + 44 = 46$을 계산하는 데 사용.)4.OA.A.3Solve multi-step word problems using four operations with whole numbers ($164$분을 온전한 시간들과 나머지로 쪼개고, 그 나머지를 $0 < m < 60$을 만족하는 유일한 $m$으로 해석하는 데 사용.)
⭐ 두 시각을 자정부터 센 분으로 바꿔 뺀 다음, 60을 뺄 수 있는 만큼 빼라. 떼어낸 시간의 개수와 60보다 작은 나머지가 조건에 맞는 유일한 쌍이다.
⭐ 두 시각을 자정부터 센 분으로 바꿔 뺀 다음, 60을 뺄 수 있는 만큼 빼라. 떼어낸 시간의 개수와 60보다 작은 나머지가 조건에 맞는 유일한 쌍이다.
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