AMC 10 · 2009 · #3
쉬운 모드 학년 4수직선 위에서 41에서 출발해 43까지 걸어간다. 그 거리의 3분의 1만큼 걸은 뒤에 멈춘다. 지금 서 있는 곳의 수는 무엇인가?
답을 골라 클릭하세요.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 수직선 위에서 $\frac{1}{4}$ 에서 출발해 $\frac{3}{4}$ 쪽으로 이동합니다. 그 여정의 $\frac{1}{3}$ 만큼 갔을 때 도착하는 수를 구하세요.
주어진 것: 여정은 $\frac{1}{4}$ 에서 시작해 $\frac{3}{4}$ 에서 끝난다; 가야 할 몫은 여정 전체의 $\frac{1}{3}$이고, 출발점 쪽에서부터 센다; 보기: (A) $\frac{1}{3}$, (B) $\frac{5}{12}$, (C) $\frac{1}{2}$, (D) $\frac{7}{12}$, (E) $\frac{2}{3}$
구하는 것: 여정의 $\frac{1}{3}$ 지점에 있는 수 하나
이해
문제 재정리: 수직선 위에서 $\frac{1}{4}$ 에서 출발해 $\frac{3}{4}$ 쪽으로 이동합니다. 그 여정의 $\frac{1}{3}$ 만큼 갔을 때 도착하는 수를 구하세요.
주어진 것: 여정은 $\frac{1}{4}$ 에서 시작해 $\frac{3}{4}$ 에서 끝난다; 가야 할 몫은 여정 전체의 $\frac{1}{3}$이고, 출발점 쪽에서부터 센다; 보기: (A) $\frac{1}{3}$, (B) $\frac{5}{12}$, (C) $\frac{1}{2}$, (D) $\frac{7}{12}$, (E) $\frac{2}{3}$
계획
주요 도구: #1 그림 그리기
보조 도구: #15 다르게 정리하기, #7 작은 문제로 쪼개기, #11 거꾸로 풀기
이 문제에서 어려운 부분은 계산이 아니라 문장을 읽는 데 있습니다. 그래서 도구 #1(그림 그리기)이 먼저입니다. 수직선을 그리면 출발점, 도착점, 방향이 한눈에 보이고, 다섯 개의 보기 중 넷이 노리는 것이 바로 이 방향이니까요. 그다음 실제 일을 하는 것은 도구 #15(다르게 정리하기)입니다. 두 끝을 사분수 대신 십이분수로 다시 쓰면, 세 등분해야 하는 여정이 눈금 위에 딱 떨어집니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 일을 '여정 길이 재기'와 '세 등분하기'로 나누고, 삼등분을 눈대중이 아니라 실제로 보이게 만듭니다 — 눈금 사이 간격이 같게 나와야만 그 점들이 삼등분점입니다. 마지막으로 도구 #11(거꾸로 풀기)로 후보를 반대편에서 검증합니다. 그 점이 만드는 두 조각을 재서 $1:2$가 되는지 확인하는 것이죠.
실행 — 정답: B
3.NF.A.2 단계 1 여정과 방향 그리기
- 수직선에 $\frac{1}{4}$과 $\frac{3}{4}$을 표시합니다.
- "$\frac{1}{4}$ 에서 $\frac{3}{4}$까지" 라는 말이 어느 쪽이 출발점인지 알려 줍니다.
- $\frac{1}{4}$을 떠나 오른쪽으로 $\frac{3}{4}$을 향해 갑니다.
- 따라서 구하는 수는 두 끝 사이에 있으면서 $\frac{1}{4}$에 더 가깝고, 거리의 $\frac{1}{3}$ 만큼 간 뒤 도달하는 점입니다.
- 수 $\frac{1}{3}$ 자체가 아닙니다 — 그것은 거리의 몫이 아니라 값이니까요.
💡 여정의 분수는 거리의 몫이라서, 출발점을 알아야 그 몫이 의미를 가져요.
4.NF.A.1 단계 2 자를 십이분수로 바꾸기
- 여정을 똑같은 세 조각으로 잘라야 하므로, 삼등분에 견디는 단위를 고릅니다.
- 사분수는 너무 굵습니다.
- 여정의 길이가 $\frac{1}{2}$ 인데 $\frac{1}{2}$의 $\frac{1}{3}$은 사분수의 정수 개가 아니기 때문입니다.
- 두 끝의 분자와 분모에 각각 $3$을 곱하면 사분수가 십이분수로 바뀌고, 이제 개수에 $3$ 이라는 인수가 들어 있어 삼등분이 정확히 떨어집니다.
💡 셋으로 나눠야 하는 길이가 눈금에 딱 떨어지도록 자를 골라요.
4.NF.B.3 단계 3 여정을 똑같은 세 조각으로 자르기
- $\frac{3}{12}$ 에서 $\frac{9}{12}$ 까지는 거리로 십이분의 $6$입니다.
- 이 $6$ 개는 각각 $2$ 개씩 똑같은 세 조각으로 갈라지고, 십이분수 단위에서 $6 = 2 + 2 + 2$ 이므로 이 분할은 정확합니다.
- 출발점부터 조각을 따라 걸으면 눈금이 $\frac{3}{12}$, $\frac{5}{12}$, $\frac{7}{12}$, $\frac{9}{12}$에 찍히고, 이웃한 눈금 사이 간격은 모두 $\frac{2}{12}$입니다.
- 이 간격이 같다는 사실이 바로 그 점들을 "삼등분점" 이라 부를 수 있게 해 줍니다.
- 두 수가 구간 안 어딘가에 놓여 있다는 것만으로는 부족합니다.
💡 "삼등분" 은 같은 크기로 세 번 뛴다는 뜻이니, 그림을 믿지 말고 뛰는 크기가 같음을 보여 주세요.
4.NF.B.3 단계 4 출발점에서 한 번 뛰기
- $\frac{1}{3}$ 지점이란 그 똑같은 세 번의 도약 중 한 번을, 문제가 시작점으로 지정한 끝에서부터 뛴 자리입니다.
- 출발점에 한 조각을 더하면 $\frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{5}{12}$입니다.
- 두 번 뛰면 $\frac{7}{12}$이 되는데 이는 $\frac{2}{3}$ 지점이며, 실수로 여정을 거꾸로 잡아 $\frac{3}{4}$ 에서 출발해 $\frac{1}{4}$ 쪽으로 한 번 뛰었을 때 나오는 값과 정확히 같습니다.
💡 $\frac{1}{3}$ 지점은 두 번이 아니라 한 번 뛴 자리이고, 도약은 문제가 먼저 말한 끝에서부터 셉니다.
4.NF.A.2 단계 5 1 대 2 분할로 검산하기
- 이번에는 만드는 대신 재는 방식으로 후보를 정의에 비춰 봅니다.
- 뒤쪽 조각은 $\frac{5}{12} - \frac{3}{12} = \frac{2}{12}$, 앞쪽 조각은 $\frac{9}{12} - \frac{5}{12} = \frac{4}{12}$ 이므로 뒤 대 앞은 $2 : 4 = 1 : 2$입니다.
- 이는 "똑같은 세 부분 중 하나를 걸었고 둘이 남았다" 는 뜻이고, 그것이 바로 $\frac{1}{3}$ 지점의 정의입니다.
- 두 끝을 가중치 $2$와 $1$로 평균 내는 지름길도 여기서 설명됩니다.
- 가까운 쪽 끝이 더 큰 가중치를 갖는 이유는 외워야 할 규칙이 있어서가 아니라, 세 부분 중 둘이 아직 그 점 앞에 남아 있기 때문입니다.
- 그리고 다른 수는 통과하지 못합니다.
- 점이 오른쪽으로 미끄러지면 뒤쪽 조각은 커지고 앞쪽 조각은 작아지므로, $1:2$ 분할은 정확히 한 곳에서만 일어납니다.
- 따라서 답은 $\textbf{(B)}\ \frac{5}{12}$입니다.
💡 여정의 $\frac{1}{3}$이 뒤에 있으면 $\frac{2}{3}$이 앞에 남으니, 두 조각은 반드시 $1$ 대 $2$로 나와야 해요.
3.NF.A.2 수직선에 $\frac{1}{4}$과 $\frac{3}{4}$을 표시합니다. "$\frac{1}{4}$ 에서 $\frac{3}{4}$까지" 라는 4.NF.A.1 여정을 똑같은 세 조각으로 잘라야 하므로, 삼등분에 견디는 단위를 고릅니다. 사분수는 너무 굵습니다. 여정의 길이가 $\frac{1}{2}$ 인 4.NF.B.3 $\frac{3}{12}$ 에서 $\frac{9}{12}$ 까지는 거리로 십이분의 $6$입니다. 이 $6$ 개는 각각 $2$ 개씩 똑같은 세 조 4.NF.B.3 $\frac{1}{3}$ 지점이란 그 똑같은 세 번의 도약 중 한 번을, 문제가 시작점으로 지정한 끝에서부터 뛴 자리입니다. 출발점에 한 조각을 4.NF.A.2 이번에는 만드는 대신 재는 방식으로 후보를 정의에 비춰 봅니다. 뒤쪽 조각은 $\frac{5}{12} - \frac{3}{12} = \frac{ 검토
합리성 확인: 모든 보기를 같은 십이분수 자 위에 올려 봅니다. (A) $\frac{4}{12}$, (B) $\frac{5}{12}$, (C) $\frac{6}{12}$, (D) $\frac{7}{12}$, (E) $\frac{8}{12}$이고, 출발점은 $\frac{3}{12}$, 도착점은 $\frac{9}{12}$입니다. $\frac{1}{3} < \frac{1}{2}$ 이므로 답은 출발점과 중점 $\frac{6}{12}$ 사이에 엄격히 놓여야 하고, 이것만으로 (C), (D), (E)가 제거됩니다. 남은 둘 중 (A)는 출발점에서 $\frac{1}{12}$만 지난 자리로, 길이 $\frac{6}{12}$ 인 여정의 $\frac{1}{6}$ 지점이지 $\frac{1}{3}$ 지점이 아닙니다. (B)는 정확히 $\frac{2}{12}$를 지나 $\frac{1}{3}$ 지점입니다. 오답들은 저마다 이름 붙일 수 있는 오독입니다. (A)는 "$\frac{1}{3}$" 을 수 자체로 읽은 것, (C)는 $\frac{1}{3}$ 지점이 아니라 한가운데, (D)는 $\frac{2}{3}$ 지점(= $\frac{3}{4}$ 에서 거꾸로 여정을 잡았을 때의 $\frac{1}{3}$ 지점), (E)는 수 $\frac{2}{3}$ 자체입니다.
대안 접근: 거리가 아니라 비로부터 대수로 풀 수도 있습니다. 구하는 수를 $x$ 라 합시다. 여정의 $\frac{1}{3}$이 $x$ 뒤에, $\frac{2}{3}$이 앞에 있으므로 앞쪽 조각은 뒤쪽 조각의 두 배입니다. 즉 $2\left(x - \frac{1}{4}\right) = \frac{3}{4} - x$ 입니다. 정리하면 $2x - \frac{1}{2} = \frac{3}{4} - x$, $3x = \frac{5}{4}$, $x = \frac{5}{12}$입니다. $x$ 의 계수 $3$이 $0$이 아니므로 이 식의 해는 정확히 하나이고, 유일성이 덤으로 따라옵니다. 이 방법은 흔히 쓰는 가중평균 지름길 $x = \frac{2 \cdot \frac{1}{4} + 1 \cdot \frac{3}{4}}{3}$을 가정하지 않고 유도해 줍니다. 가중치 $2$와 $1$은 여정의 삼분의 일을 단위로 잰 두 조각의 크기일 뿐입니다. 일반적으로 $a$ 에서 $b$ 까지의 $t$ 지점은 $a + t(b - a) = (1 - t)a + tb$ 이므로 가까운 쪽 끝은 항상 가중치 $1 - t$ 를 갖습니다. $t = \frac{1}{3}$을 넣으면 $\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{6} + \frac{1}{4} = \frac{5}{12}$로 수직선에서 센 값과 일치합니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)
3.NF.A.2분수를 수직선 위의 수로 이해하기 ($\frac{1}{4}$과 $\frac{3}{4}$을 수직선에 놓고, "...에서 ...까지의 $\frac{1}{3}$ 지점" 을 정해진 방향으로 이동한 거리의 몫으로 읽는 데 사용.)4.NF.A.1어떤 분수가 다른 분수와 같은 이유 설명하기 ($\frac{1}{4} = \frac{3}{12}$, $\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$로 고쳐 써서 여정의 길이를 정확히 삼등분되는 십이분수의 정수 개로 만드는 데 사용.)4.NF.B.3분자가 1보다 큰 분수를 단위분수의 합으로 이해하기 (여정을 $\frac{9}{12} - \frac{3}{12} = \frac{6}{12}$로 재고, $\frac{2}{12} + \frac{2}{12} + \frac{2}{12}$로 분해해 똑같은 세 조각을 드러내고, 출발점에 한 조각을 더하는 데 사용.)4.NF.A.2분자와 분모가 모두 다른 두 분수 비교하기 (여정 위 눈금들의 순서를 정하고, 뒤쪽 $\frac{2}{12}$와 앞쪽 $\frac{4}{12}$를 비교하며, 다섯 보기를 모두 십이분수로 바꿔 줄 세우는 데 사용.)
⭐ 두 끝을 십이분수로 다시 쓰면 여정이 딱 세 조각으로 갈라져요. 그다음 문제가 말한 출발점에서 한 번만 뛰면 $\frac{5}{12}$에 도착합니다.
⭐ 두 끝을 십이분수로 다시 쓰면 여정이 딱 세 조각으로 갈라져요. 그다음 문제가 말한 출발점에서 한 번만 뛰면 $\frac{5}{12}$에 도착합니다.
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