AMC 10 · 2010 · #2

쉬운 모드 학년 4

문제

여객선 한 척이 관광객을 섬으로 실어 나른다. 이 배는 오전 10시부터 한 시간에 한 번씩 출발하고, 마지막 운항은 오후 3시에 출발한다. 오전 10시 운항에는 관광객이 $100$ 명 탔다. 그 뒤의 운항에는 바로 앞 운항보다 관광객이 $1$ 명씩 적게 탔다. 이 여객선이 그날 섬으로 실어 나른 관광객은 모두 몇 명인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

585

(B)

594

(C)

672

(D)

679

(E)

694

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 여객선이 한 시간에 한 번씩 섬으로 출발한다. 첫 배는 오전 10시에, 마지막 배는 오후 3시에 떠난다. 오전 10시 배에는 관광객 $100$명이 탔고, 그 뒤의 모든 배에는 바로 앞 배보다 정확히 한 명씩 적게 탔다. 그날 섬으로 실어 나른 관광객의 총수를 구하여라.

주어진 것: 배는 한 시간에 한 번, 정각마다 출발한다; 첫 배는 오전 10시에, 마지막 배는 오후 3시에 떠난다; 오전 10시 배에는 관광객 $100$명이 탔다; 첫 배 이후의 각 배에는 바로 앞 배보다 정확히 $1$명 적게 탔다; 선택지: (A) $585$, (B) $594$, (C) $672$, (D) $679$, (E) $694$

구하는 것: 그날의 모든 운항을 통틀어 여객선이 섬으로 실어 나른 관광객의 총수

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기, #5 패턴 찾기, #14 극단의 원리, #3 가능성 지우기

총합은 하나씩 따로 답할 수 있는 두 질문으로 깔끔하게 갈라진다 — 운항은 몇 번이었는가, 그리고 각 운항에 몇 명이 탔는가. 그래서 작업의 뼈대를 잡는 것은 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이다. 이 분할이 중요한 이유는 두 쪽의 난이도가 전혀 다르기 때문이다. 덧셈은 뻔하다. 운항 횟수가 난이도 전부이고, 횟수를 틀리면 그 뒤의 인원이 조용히 전부 망가진다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)는 출발 시각을 직접 써 보고, 양 끝을 포함한 구간을 세는 규칙과 대조해 그 횟수를 확정한다. 도구 #5(패턴 찾기)는 한 단계씩 적용되는 '한 명 적게' 규칙을, 임의의 운항의 인원을 곧바로 주는 식으로 바꾼다. 마지막 배를 $95$로 못 박는 것이 바로 이 식이다. 도구 #14(극단의 원리)는 정확한 덧셈을 하기 전에, 여섯 번 운항하는 날의 최소와 최대 사이로 총합을 가둔다. 도구 #3(가능성 지우기)은 덧셈을 되풀이하지 않는 검사로 마무리한다. 여섯 번 운항한 날의 총합이라면 반드시 통과해야 하는 배수 검사이다.

실행 — 정답: A

#2 빠짐없이 나열하기 3.MD.A.1 단계 1

시간이 아니라 배를 세기

출발 시각을 $24$시간제로 놓자.
오후 3시는 $15$시이다.
배는 $10, 11, 12, 13, 14, 15$시에 떠나며, 이는 $10$부터 $15$까지 연속한 정시들의 구간이다.
이런 구간에 들어 있는 개수는 $15-10=5$가 아니라 $15-10+1=6$이다.
이 $+1$은 외울 규칙이 아니라 눈으로 볼 수 있다.
이웃한 두 출발 사이의 한 시간짜리 기다림은 $10\to 11$, $11\to 12$, $12\to 13$, $13\to 14$, $14\to 15$의 다섯 칸이고, 다섯 칸으로 이어진 울타리를 받치는 기둥은 여섯 개다.
양 끝에 하나씩, 그리고 안쪽 이음매에 넷이다.
기둥이 곧 출발이다.
보통 시각으로 써 보면 확인된다: 오전 10시, 오전 11시, 낮 12시, 오후 1시, 오후 2시, 오후 3시.
여섯 번이다.

$$\{10,11,12,13,14,15\}\qquad\Rightarrow\qquad 15-10+1=6\ \text{번 운항}$$

💡 한 시간짜리 칸 다섯 개를 막으려면 기둥은 여섯 개가 필요하고, 관광객을 싣는 것은 칸이 아니라 기둥이다.

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 2

각 배의 인원 구하기

운항에 $k=0,1,2,3,4,5$로 번호를 붙이자.
여기서 $k$는 이 배보다 앞서 떠난 배의 수이다.
규칙은 운항이 한 번 지날 때마다 $1$명씩 덜어 내므로, $k$번의 운항이 지난 뒤에는 정확히 $k$만큼 줄어 $a_k = 100-k$가 된다.
여섯 번의 인원은 $100, 99, 98, 97, 96, 95$이다.
마지막 배는 $k=5$이므로 $100-5=95$명이며, $94$명이 아니다.
이는 앞의 기둥 세기와 똑같은 이야기가 옷만 바꿔 입은 것이다.
감소는 배와 배 사이의 칸마다 한 번씩 일어나는데, 여섯 번의 운항에는 칸이 다섯 개뿐이므로 마지막 배는 첫 배보다 여섯이 아니라 다섯만큼 가볍다.

$$a_k = 100-k,\quad k=0,1,2,3,4,5\qquad\Rightarrow\qquad 100,\ 99,\ 98,\ 97,\ 96,\ 95$$

💡 인원은 운항마다가 아니라 운항 사이의 칸마다 줄어들므로, 첫 배와 마지막 배 사이에는 다섯 번의 감소가 있다.

#14 극단의 원리 4.OA.A.3 단계 3

더하기 전에 범위로 가두기

모든 운항의 인원은 적어도 $95$이고 많아야 $100$이다.
따라서 하루 총합 $T$는 $6\times 95 = 570$과 $6\times 100 = 600$ 사이에 있고, 인원이 모두 같지는 않으므로 양 끝은 제외된다.
두 극단을 한 번 훑는 것만으로 선택지 셋이 한꺼번에 사라진다.
$672$, $679$, $694$는 모두 $600$을 넘는다.
남는 것은 $585$와 $594$ 둘이므로 이 범위만으로는 끝나지 않는다.
이 범위가 무엇에 기대고 있는지도 짚어 둘 만하다.
운항이 일곱 번이었다면 창은 $7\times 94 = 658$부터 $700$까지가 되고 $679$가 그 안에 편안히 들어앉는다.
이 어림은 단계 1의 운항 횟수만큼만 믿을 수 있다.

$$6\times 95 = 570 \;<\; T \;<\; 600 = 6\times 100$$

💡 백 명 남짓한 배 여섯 척이면 총합은 육백에 조금 못 미쳐야 한다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NBT.B.4 단계 4

100에 기대어 더하기

여섯 수를 차례로 더하는 대신, 각 인원을 $100$에서 모자란 만큼 뺀 것으로 쓰자: $100-0$, $100-1$, $100-2$, $100-3$, $100-4$, $100-5$.
이것들을 더하면 여섯 항이 각각 $100$씩을 내놓고, 그다음 모자란 몫 여섯 개를 되돌려 준다.
모자란 몫은 $0,1,2,3,4,5$이고 합은 $15$이다.
따라서 $T = 6\times 100 - 15 = 600 - 15 = 585$이다.
이 값은 단계 3의 범위 안에 있고, 거기서 살아남은 두 후보 중 하나이다.

$$T=\sum_{k=0}^{5}(100-k)=6\times 100-(0+1+2+3+4+5)=600-15=585$$

💡 모든 배가 백 명을 꽉 채워 떠났다고 치고, 실제로 비어 있던 열다섯 자리를 되돌려 주면 된다.

#3 가능성 지우기 4.OA.B.4 단계 5

총합의 생김새 검사하기

덧셈을 전혀 되풀이하지 않는 검사가 있다.
여섯 번의 운항이 연속한 수 $n, n+1, \dots, n+5$명을 실었다면, 그 합은 $n$이 무엇이든 $6n+15$이다.
여기서 두 가지가 곧바로 따라 나온다.
$6n$은 짝수이고 $15$는 홀수이므로 총합은 항상 홀수이다.
또 $6n+15 = 3(2n+5)$이므로 총합은 항상 $3$의 배수이다.
이 두 사실에 선택지를 비추어 보자.
$594$, $672$, $694$는 짝수이므로 그런 여섯 번 운항한 날은 결코 이 값을 만들 수 없다.
$679$는 홀수이지만 $6+7+9=22$가 $3$의 배수가 아니므로 역시 탈락한다.
둘 다 통과하는 것은 $585 = 3\times 195$뿐이고, 이는 단계 4와 일치한다.
아깝게 빗나간 값에는 이름을 붙여 둘 만하다.
이 문제가 그것을 노리고 만들어졌기 때문이다.
$679 = 7\times 97$은 정확히 $94+95+96+97+98+99+100$, 즉 운항을 일곱 번으로 잘못 센 날의 총합이다.
연속한 일곱 수의 합은 언제나 $7$의 배수인데 $585$는 그렇지 않다.
답은 $\textbf{(A)}$이다.

$$n+(n+1)+\cdots+(n+5)=6n+15=3(2n+5)\ \text{(홀수)};\qquad 585=3\times 195,\qquad 679=7\times 97$$

💡 연속한 여섯 수의 합은 언제나 홀수이면서 3의 배수이고, 그 둘을 다 만족하는 선택지는 하나뿐이다.

[1] #2 3.MD.A.1 출발 시각을 $24$시간제로 놓자. 오후 3시는 $15$시이다. 배는 $10, 11, 12, 13, 14, 15$시에 떠나며, 이는 $10$부터

[2] #5 4.OA.C.5 운항에 $k=0,1,2,3,4,5$로 번호를 붙이자. 여기서 $k$는 이 배보다 앞서 떠난 배의 수이다. 규칙은 운항이 한 번 지날 때마다 $1

[3] #14 4.OA.A.3 모든 운항의 인원은 적어도 $95$이고 많아야 $100$이다. 따라서 하루 총합 $T$는 $6\times 95 = 570$과 $6\times 1

[4] #7 4.NBT.B.4 여섯 수를 차례로 더하는 대신, 각 인원을 $100$에서 모자란 만큼 뺀 것으로 쓰자: $100-0$, $100-1$, $100-2$, $100

[5] #3 4.OA.B.4 덧셈을 전혀 되풀이하지 않는 검사가 있다. 여섯 번의 운항이 연속한 수 $n, n+1, \dots, n+5$명을 실었다면, 그 합은 $n$이 무

검토

합리성 확인: 총합을 반대쪽 끝에서 다시 쌓아 독립적으로 확인해 보자. 여섯 번의 운항 모두 적어도 $95$명을 실으므로 $6\times 95 = 570$이 깔리고, 그 바닥 위로 더 실은 몫은 $5,4,3,2,1,0$으로 합이 $15$이다. 위에서가 아니라 아래에서 쌓아도 $570+15=585$가 다시 나온다. 여기서 틀리는 길은 둘 다 계산이 아니라 세기의 문제이다. 운항을 일곱 번으로 세면 $679$가 나오는데 이것이 선택지 (D)로 놓여 있다. 다섯 번으로 세면 $100+99+98+97+96=490$이 나오지만 이 값은 선택지에 없으므로, 미끼는 과다하게 센 쪽에만 놓여 있다. 각 검사가 혼자서 얼마나 감당할 수 있는지도 솔직히 말해 두자. 범위 $570<T<600$은 $585$와 $594$를 모두 살려 두므로 어림만으로는 문제가 끝나지 않고, $594$를 없애는 것은 배수 검사이다. 짝수는 연속한 여섯 정수의 합이 될 수 없다. 마지막으로 문제 해석도 무리가 없다. 나가는 배만 세는 것이 '섬으로 실어 나른'이 요구하는 바이고, 같은 관광객이 두 번 탔는지 여부에 답이 의존하지 않는다. 문제는 각 배에 몇 명이 탔는지를 알려 주고 하루 총합을 물었기 때문이다.

대안 접근: $100$에 기대는 대신 양 끝을 짝지어 보자. $1$씩 내려가는 나열에서는 양 끝에서 같은 거리에 있는 두 항의 합이 언제나 같다. 왼쪽에서 한 칸 안으로 들어오면 한 항이 $1$ 커지고, 오른쪽에서 한 칸 안으로 들어오면 다른 항이 정확히 $1$ 작아지기 때문이다. 여기서는 $100+95=99+96=98+97=195$이다. 여섯 항은 그런 짝 세 쌍을 이루므로 $T = 3\times 195 = 585$이다. 같은 생각을 평균으로 말하면, 평균 인원은 양 끝의 한가운데인 $\frac{100+95}{2}=97.5$이므로 $T = 6\times 97.5 = 585$이다. 이 경로는 여섯 수를 하나씩 더하지 않으며 길이가 얼마든 통한다. 그리고 운항 횟수를 세 번째 각도에서 드러내 준다. 짝짓기가 깔끔한 것은 운항 횟수가 짝수이기 때문이고, 홀수 번 운항한 날이라면 가운데 한 항이 짝 없이 남는다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

3.MD.A.1 Tell and write time to the nearest minute and solve elapsed time problems ('오전 10시부터 오후 3시까지 매시간'이라는 시간표를 여섯 개의 출발 시각으로 바꾸고, 한 시간짜리 칸이 다섯이면 출발은 여섯임을 보는 데 사용.)
4.OA.C.5 Generate a number or shape pattern following a given rule ('앞 배보다 한 명 적게'라는 단계별 규칙을 인원을 곧바로 주는 식 $a_k = 100-k$로 바꾸어, 마지막 배를 $95$로 못 박는 데 사용.)
4.OA.A.3 Solve multi-step word problems using four operations with whole numbers (하루 총합을 $6\times 95$와 $6\times 100$ 사이로 가두어 $600$을 넘는 선택지 셋을 버리는 데 사용.)
4.NBT.B.4 Fluently add and subtract multi-digit whole numbers (여섯 인원의 합을 $6\times 100$에서 모자란 몫 $0+1+2+3+4+5$를 뺀 $600-15=585$로 계산하는 데 사용.)
4.OA.B.4 Find all factor pairs and recognize multiples; determine prime or composite (연속한 여섯 정수의 합이 홀수이면서 $3$의 배수라는 사실로 각 선택지를 검사하고, $679=7\times 97$을 일곱 번 운항한 날의 총합으로 알아보는 데 사용.)

⭐ 시간 사이의 칸이 아니라 배를 세라 — 오전 10시부터 오후 3시까지는 여섯 번의 출발이다 — 그다음 여섯 척 모두 백 명을 채우고 떠났다고 치고 비어 있던 열다섯 자리를 되돌려 주면 된다.