AMC 10 · 2011 · #2
쉬운 모드 학년 4동전 다섯 개가 서로 겹친 채 탁자 위에 납작하게 놓여 있다. 그림에서 동전에는 A부터 E까지 이름이 붙어 있다. 각 동전의 테두리는 다른 동전에 가려지지 않은 부분만 그려져 있다. 다섯 동전을 맨 위에 있는 것부터 맨 아래에 있는 것까지 차례대로 나열하면 순서는 어떻게 되는가?
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 똑같은 동전 5개가 서로 겹친 채 탁자 위에 납작하게 놓여 있다. 그림은 각 동전의 테두리를 다른 동전에 가려지지 않은 부분만 그려 놓았다. 이렇게 끊어진 테두리들로부터 다섯 동전이 위에서 아래로 어떤 순서로 쌓여 있는지 알아내라.
주어진 것: $A$, $B$, $C$, $D$, $E$로 이름 붙은 합동인 원 모양 동전 5개, 중심이 정오각형의 다섯 꼭짓점에 놓여 있다; 각 동전은 이웃 동전을 넘어설 만큼 크므로 동전들이 서로 겹친다; 각 동전의 테두리는 그 위에 놓인 동전이 가리지 않은 자리에만 그려져 있다; 동전 $C$의 테두리는 끊긴 데 없는 완전한 원이고, $A$, $B$, $D$, $E$의 테두리는 끊어진 호다; 선택지: (A) $(C, A, E, D, B)$, (B) $(C, A, D, E, B)$, (C) $(C, D, E, A, B)$, (D) $(C, E, A, D, B)$, (E) $(C, E, D, A, B)$
구하는 것: 다섯 동전의 위에서 아래로의 순서
이해
문제 재정리: 똑같은 동전 5개가 서로 겹친 채 탁자 위에 납작하게 놓여 있다. 그림은 각 동전의 테두리를 다른 동전에 가려지지 않은 부분만 그려 놓았다. 이렇게 끊어진 테두리들로부터 다섯 동전이 위에서 아래로 어떤 순서로 쌓여 있는지 알아내라.
주어진 것: $A$, $B$, $C$, $D$, $E$로 이름 붙은 합동인 원 모양 동전 5개, 중심이 정오각형의 다섯 꼭짓점에 놓여 있다; 각 동전은 이웃 동전을 넘어설 만큼 크므로 동전들이 서로 겹친다; 각 동전의 테두리는 그 위에 놓인 동전이 가리지 않은 자리에만 그려져 있다; 동전 $C$의 테두리는 끊긴 데 없는 완전한 원이고, $A$, $B$, $D$, $E$의 테두리는 끊어진 호다; 선택지: (A) $(C, A, E, D, B)$, (B) $(C, A, D, E, B)$, (C) $(C, D, E, A, B)$, (D) $(C, E, A, D, B)$, (E) $(C, E, D, A, B)$
계획
주요 도구: #17 공간 상상하기
보조 도구: #15 다르게 정리하기, #3 가능성 지우기
도구 #17 (공간 상상하기): 그림은 평면이지만 묻는 것은 위아래이고, 그림 속 유일한 깊이 정보는 겹치는 자리에서 어느 테두리가 살아남았는가이다. 그래서 겹침 하나하나를 두 동전 중 어느 쪽이 위인지에 대한 진술로 읽는다. 도구 #15 (다르게 정리하기): 그림 자체로는 따지기 어려우니 "$X$가 $Y$ 위에 있다"는 사실들의 목록으로 바꾼 뒤 그 목록을 하나의 순서로 합친다. 도구 #3 (가능성 지우기): 맞닿은 이웃끼리의 쉬운 겹침만으로는 선택지 3개가 동시에 살아남으므로, 그중 둘을 죽이는 겹침 하나를 더 찾아야 한다.
실행 — 정답: E
4.G.A.1 단계 1 모든 동전 쌍이 서로 겹친다
- 크기가 같은 두 동전은 중심 사이 거리가 반지름 두 개보다 가까울 때 정확히 겹친다.
- 여기서 중심들은 정오각형의 꼭짓점에 있고 각 동전은 오각형 건너편 동전과도 만날 만큼 크다.
- 그림에서 확인해 보면 열 쌍의 원이 모두 두 점에서 만난다.
- 이 점을 먼저 짚어 두는 이유는, 그래야 모든 동전 쌍이 둘 중 어느 쪽이 위인지에 대한 증거를 남긴다는 뜻이 되기 때문이다.
- 즉 그림은 순서의 일부가 아니라 전부를 정한다.
💡 두 동전이 겹치기만 하면 한쪽이 다른 쪽 일부를 반드시 가리고, 그 사라진 조각이 단서가 된다.
K.G.A.1 단계 2 동전 C는 통째로 그려졌으므로 맨 위
- 동전 $C$의 테두리는 빠진 데 없는 완전한 원이다.
- 그런데 $C$는 나머지 네 동전과 모두 겹치므로, $C$ 위에 놓인 동전이 있다면 $C$의 테두리에 빈틈을 냈어야 한다.
- 어디에도 빈틈이 없다.
- 따라서 $C$ 위에는 아무것도 없고 $C$가 맨 위 동전이다.
- 모든 선택지가 이미 $C$로 시작하니 얻는 것이 없어 보이지만, 이것은 그림이 대놓고 말해 주는 유일한 관계이고 출발점을 확정해 준다.
💡 테두리가 어디에서도 끊기지 않은 동전은 그 위에 아무것도 없는 동전이다.
K.G.A.1 단계 3 겹치는 자리마다 누가 누구를 덮는지 읽기
- 그림을 사실로 바꿔 주는 규칙은 이렇다.
- 동전 $X$의 그려진 테두리 중 어느 조각이라도 동전 $Y$의 면 위를 지나간다면 $X$가 $Y$ 위에 있다.
- $Y$가 위에 있었다면 그 조각은 지워졌을 것이기 때문이다.
- 이 규칙을 고리 모양으로 나란히 붙어 있는 다섯 쌍에 적용한다.
- $C$의 테두리는 $A$의 면과 $E$의 면을 가로지른다.
- $E$의 테두리는 $D$를 가로지른다.
- $D$의 테두리는 $B$를 가로지른다.
- $A$의 테두리는 $B$를 가로지른다.
- 이렇게 위아래 사실 다섯 개를 하나씩 읽어 낸다.
💡 다른 동전을 가로지르는 모습이 아직 보이는 쪽이 위에 놓인 동전이다.
1.MD.A.1 단계 4 다섯 사실만으로는 부족하다
- 이어 붙이면 $C > E > D > B$이고, 따로 $C > A > B$다.
- 두 사슬 모두 $C$에서 시작해 $B$에서 끝나지만, 어디에서도 $A$를 $E$나 $D$와 비교하지 않는다.
- 즉 $A$의 자리가 뜬다.
- 다섯 사실을 모두 만족하는 완전한 순서는 정확히 세 가지 — $(C, A, E, D, B)$, $(C, E, A, D, B)$, $(C, E, D, A, B)$ — 이고 이는 바로 선택지 (A), (D), (E)다.
- 선택지 (B)와 (C)는 둘 다 $D$를 $E$ 위에 놓는데 그림이 이를 반박하므로 이미 탈락이다.
- 이제 모든 것이 한 가지 물음에 달려 있다.
- $A$는 어디에 들어가는가?
💡 사슬 잇기는 모든 쌍이 사슬 어딘가에서 비교되어야만 순서를 확정한다.
4.MD.C.6 단계 5 A와 D의 겹침이 결정한다
- $A$와 $D$는 고리에서 나란히 붙어 있지 않지만, 1단계에서 보았듯 두 동전은 여전히 겹치므로 그림은 이 둘도 비교해 준다.
- 각도는 각 동전 자기 중심에서, $0^\circ$가 오른쪽을 향하고 반시계 방향으로 재자.
- 동전 $D$의 테두리는 약 $75^\circ$에서 시작해 $A$를 벗어나는 약 $110^\circ$까지 이어지는데, 그 구간 전체가 $A$의 면 위에 그려져 있다.
- 따라서 $D$가 $A$ 위에 있다.
- 반대쪽 확인도 같은 결론이다.
- 동전 $A$의 테두리는 $25^\circ$에서 $214^\circ$까지 돌다가 뚝 끊긴다.
- $A$와 $D$의 원은 $A$ 위에서 $214^\circ$와 $290^\circ$에서 만나므로, $214^\circ$는 바로 $A$가 $D$ 안으로 들어가려던 지점이고 그 너머는 모두 지워져 있다.
- 그 자리를 자를 수 있는 다른 동전은 없다.
- $B$는 $A$를 $155^\circ$와 $277^\circ$에서, $C$는 $25^\circ$와 $263^\circ$에서, $E$는 $250^\circ$와 $326^\circ$에서 자른다.
- 그 끊김을 만든 것은 오직 $D$뿐이다.
💡 동전 테두리가 멈춘 바로 그 지점이 그것을 잘라 낸 동전의 이름을 알려 준다.
1.MD.A.1 단계 6 하나의 순서로 조립하기
- $D > A$를 사슬에 다시 넣는다.
- $C$가 맨 위다.
- 3단계에서 $C > E > D$, 5단계에서 $D > A$, 다시 3단계에서 $A > B$다.
- 이어 붙이면 $C > E > D > A > B$이고 이제 모든 쌍이 비교되었다.
- 4단계까지 살아남은 세 순서 중 $D$를 $A$ 위에 놓는 것은 이것뿐이므로 답은 (E)다.
💡 비교 하나를 더하면 가능한 세 순서가 하나로 접힌다.
4.G.A.1 크기가 같은 두 동전은 중심 사이 거리가 반지름 두 개보다 가까울 때 정확히 겹친다. 여기서 중심들은 정오각형의 꼭짓점에 있고 각 동전은 오각형 K.G.A.1 동전 $C$의 테두리는 빠진 데 없는 완전한 원이다. 그런데 $C$는 나머지 네 동전과 모두 겹치므로, $C$ 위에 놓인 동전이 있다면 $C$의 K.G.A.1 그림을 사실로 바꿔 주는 규칙은 이렇다. 동전 $X$의 그려진 테두리 중 어느 조각이라도 동전 $Y$의 면 위를 지나간다면 $X$가 $Y$ 위에 1.MD.A.1 이어 붙이면 $C > E > D > B$이고, 따로 $C > A > B$다. 두 사슬 모두 $C$에서 시작해 $B$에서 끝나지만, 어디에서도 $ 4.MD.C.6 $A$와 $D$는 고리에서 나란히 붙어 있지 않지만, 1단계에서 보았듯 두 동전은 여전히 겹치므로 그림은 이 둘도 비교해 준다. 각도는 각 동전 1.MD.A.1 $D > A$를 사슬에 다시 넣는다. $C$가 맨 위다. 3단계에서 $C > E > D$, 5단계에서 $D > A$, 다시 3단계에서 $A > 검토
합리성 확인: 논리를 거꾸로 돌려 본다. 순서가 $C, E, D, A, B$라고 가정하고 그림을 다시 그린 뒤 호 하나하나를 원래 그림과 비교한다. 이 원들은 고리에서 이웃일 때 두 중심을 잇는 선의 양옆 $61^\circ$씩에서, 이웃이 아닐 때 양옆 $38^\circ$씩에서 서로를 자른다. 그러면 $C$는 아무것에도 덮이지 않아 $360^\circ$ 온전한 원으로 남는다. $E$는 $C$에만 덮여 $11^\circ$부터 $133^\circ$까지 가려지고 $133^\circ$부터 그려지는데, 그림은 $E$를 $132^\circ$부터 그린다. $D$는 $C$와 $E$에 덮여 $299^\circ$부터 $74^\circ$까지 가려지고 $74^\circ$에서 $299^\circ$까지 그려지는데, 그림은 $75^\circ$에서 $300^\circ$다. $A$는 $C$, $E$, $D$에 덮여 $25^\circ$에서 $214^\circ$까지 그려지는데, 그림과 정확히 일치한다. $B$는 넷 모두에 덮여 $97^\circ$에서 $227^\circ$까지 그려지는데, 그림은 $96^\circ$에서 $228^\circ$다. 다섯 호 모두 그림이 도 단위로 반올림된 오차 안에서 일치하고, 다섯 동전의 다른 어떤 순서도 다섯 호를 전부 재현하지 못한다. 좀 더 거친 두 번째 확인도 있다. 열 쌍이 모두 겹치므로 위에서 $k$번째 동전은 위에 있는 $k-1$개에 정확히 그만큼 잘려야 하고, 실제로 그려진 호의 길이는 목록을 따라 꾸준히 줄어든다 — $360^\circ$, $238^\circ$, $225^\circ$, $189^\circ$, $132^\circ$. 마지막으로, 열 개의 판독 어디에도 "$X$가 $Y$ 위, $Y$가 $Z$ 위, $Z$가 다시 $X$ 위" 같은 고리가 없다. 그림은 그런 것을 그릴 수도 있지만 실제 동전 더미는 결코 그럴 수 없으니, 이 그림은 정직하다.
대안 접근: 그림이 아니라 선택지에서 출발한다. 나열된 순서를 하나씩 가정하고 각 테두리가 어디에서 끊겨야 하는지 예측한 뒤, 다섯 호를 모두 재현하는 순서만 남긴다. 선택지 (B)와 (C)는 $D$를 $E$ 위에 놓는데, 그러면 $E$의 테두리에서 $D$를 향한 쪽에 빈틈이 생겨야 한다. 그런 빈틈이 없으므로 둘 다 즉시 탈락한다. 선택지 (A)는 $A$를 $C$ 하나 바로 아래에 놓는데, 그러면 $A$의 테두리가 $263^\circ$까지 이어져야 한다. 선택지 (D)는 $A$를 $C$와 $E$ 아래에 놓는데, 그러면 $250^\circ$까지 이어져야 한다. 그림은 $A$를 $214^\circ$에서 멈추므로 둘 다 탈락이다. 남는 것은 $(C, E, D, A, B)$뿐이다. 결국 같은 측정 하나가 일을 하되, 그림 쪽이 아니라 답 쪽에서 접근한 것이다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)
K.G.A.1Describe positions of objects using above, below, beside, in front of (그림에서 겹치는 자리 하나하나를 어떤 동전이 다른 동전 위에 있다는 진술로 읽는 데 사용.)1.MD.A.1Order three objects by length and compare lengths indirectly (따로 얻은 위아래 쌍들을 하나의 위에서 아래로의 순서로 이어 붙이고, 쉬운 겹침만으로는 A가 D나 E와 결코 비교되지 않음을 알아채는 데 사용.)4.G.A.1Draw points, lines, line segments, rays, angles, and identify in figures (호와 두 원이 만나는 점을 알아보고, 열 쌍의 원이 모두 만난다는 사실을 확인하는 데 사용.)4.MD.C.6Measure angles in whole-number degrees using a protractor (동전 A의 테두리가 멈추는 자리를 도 단위로 짚고, 다른 원들의 교점과 맞춰 보아 그것을 자른 동전을 지목하는 데 사용.)
⭐ 동전 테두리가 끊긴 자리는 그 위에 놓인 동전의 이름을 알려 준다. 그리고 나란히 붙은 쌍만이 아니라 멀리 떨어진 쌍까지 확인해야 한다.
⭐ 동전 테두리가 끊긴 자리는 그 위에 놓인 동전의 이름을 알려 준다. 그리고 나란히 붙은 쌍만이 아니라 멀리 떨어진 쌍까지 확인해야 한다.
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