AMC 10 · 2011 · #9

쉬운 모드 학년 5

문제

어떤 방에 쌍둥이 $9$ 쌍과 세쌍둥이 $6$ 조가 모였다. 모든 쌍과 모든 조는 서로 다른 가족이다. 각 쌍둥이는 자기 가족이 아닌 쌍둥이 모두와 악수하고, 세쌍둥이 중 절반과도 악수한다. 각 세쌍둥이는 자기 가족이 아닌 세쌍둥이 모두와 악수하고, 쌍둥이 중 절반과도 악수한다. 악수는 모두 몇 번 일어나는가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

324

(B)

441

(C)

630

(D)

648

(E)

882

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 어떤 모임에 쌍둥이 $9$팀과 세쌍둥이 $6$팀이 모였고, 각 팀은 모두 다른 가족이다. 각 쌍둥이는 자기 형제자매를 뺀 모든 쌍둥이와 악수하고, 세쌍둥이 중 정확히 절반과도 악수한다. 각 세쌍둥이는 자기 형제자매를 뺀 모든 세쌍둥이와 악수하고, 쌍둥이 중 정확히 절반과도 악수한다. 악수는 모두 몇 번 일어났는지 구하라.

주어진 것: 쌍둥이 $9$팀, 한 팀에 $2$명; 세쌍둥이 $6$팀, 한 팀에 $3$명; $15$개 팀이 모두 다른 가족이므로 형제자매는 언제나 같은 팀 안에만 있다; 각 쌍둥이는 형제자매가 아닌 모든 쌍둥이, 그리고 세쌍둥이의 절반과 악수한다; 각 세쌍둥이는 형제자매가 아닌 모든 세쌍둥이, 그리고 쌍둥이의 절반과 악수한다

구하는 것: 일어난 악수의 총 횟수

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #16 관점 바꾸기, #15 다르게 정리하기, #2 빠짐없이 나열하기

악수에는 두 사람이 들어 있으므로, 모든 악수는 쌍둥이끼리, 세쌍둥이끼리, 또는 쌍둥이와 세쌍둥이 사이 중 하나이고 두 종류에 동시에 속하는 일은 없다. 이렇게 하면 엉킨 하나의 세기가 깔끔한 세 개로 나뉜다. 한 무리 안에서는 형제자매 짝을 빼는 편이 누가 누구와 악수하는지 직접 따라가는 것보다 쉽다. 쌍둥이-세쌍둥이 부분은 더 조심해야 한다. 문제가 이 부분을 양쪽에서 두 번 설명하므로, 양쪽으로 각각 세어 두 결과가 같은지 확인하고, 두 규칙을 실제로 만족하는 악수 방식을 하나 만들어 본다.

실행 — 정답: B

#15 다르게 정리하기 3.OA.A.1 단계 1

각 무리의 인원 세기

쌍둥이 팀과 세쌍둥이 팀은 똑같은 크기의 묶음이므로 인원수는 곱셈으로 나온다.
$2$명씩 $9$팀이면 $9 \times 2 = 18$명의 쌍둥이, $3$명씩 $6$팀이면 $6 \times 3 = 18$명의 세쌍둥이로, 모두 $36$명이다.
두 무리의 크기가 $18$로 같은데, 이는 뒤에서 중요해진다.
쌍둥이의 형제자매는 $1$명, 세쌍둥이의 형제자매는 $2$명이다.

$$9 \times 2 = 18 \text{ twins}, \qquad 6 \times 3 = 18 \text{ triplets}$$

💡 크기가 같은 묶음이 여러 개면 인원수는 나열이 아니라 곱셈으로 구해진다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.A.3 단계 2

악수를 세 종류로 나누기

악수를 아무거나 하나 골라 보자.
그 두 사람은 둘 다 쌍둥이거나, 둘 다 세쌍둥이거나, 한 명씩이다.
이 세 경우는 모든 악수를 덮고 두 경우에 동시에 들어가는 악수는 없으므로, 종류별로 따로 세어 더하면 모든 악수를 정확히 한 번씩 세게 된다.
이제 큰 문제 하나가 작은 문제 셋이 되었다.

$$\text{total} = (\text{twin--twin}) + (\text{triplet--triplet}) + (\text{twin--triplet})$$

💡 겹치지도 빠뜨리지도 않는 바구니로 나누면 바구니별 개수를 그냥 더해도 안전하다.

#16 관점 바꾸기 5.NBT.B.5 단계 3

쌍둥이끼리: 모든 짝에서 형제자매 빼기

$18$명의 쌍둥이 안에서는 형제자매만 빼고 모두가 악수한다.
먼저 모든 짝을 세면, $18$명 각자가 나머지 $17$명과 짝을 이루어 $18 \times 17 = 306$개의 기록이 나오는데 이렇게 하면 짝마다 두 번씩 세므로 실제 짝은 $\frac{306}{2} = 153$개다.
쌍둥이 한 팀마다 형제자매 짝이 정확히 하나이므로 $9$개의 짝은 악수하지 않는다.
따라서 쌍둥이끼리의 악수는 $153 - 9 = 144$번이다.

$$\frac{18 \times 17}{2} - 9 = 153 - 9 = 144$$

💡 전부 세고 금지된 몇 개만 빼는 편이 누가 누구와 악수하는지 좇는 것보다 낫다.

#16 관점 바꾸기 5.NBT.B.6 단계 4

세쌍둥이끼리: 형제자매 짝을 더 많이 빼기

$18$명의 세쌍둥이도 짝은 $\frac{18 \times 17}{2} = 153$개다.
그런데 이번에는 한 팀에 형제자매가 $3$명이고, $3$명은 $\frac{3 \times 2}{2} = 3$개의 짝을 만들므로 $6$팀이 각각 $3$개씩, 모두 $6 \times 3 = 18$개의 짝이 막힌다.
그래서 세쌍둥이끼리의 악수는 $153 - 18 = 135$번이다.
무리의 크기는 쌍둥이와 같지만 가족이 더 커서 사라지는 악수가 더 많다.

$$\frac{18 \times 17}{2} - 6 \times \frac{3 \times 2}{2} = 153 - 18 = 135$$

💡 세 명짜리 가족은 형제자매 짝을 하나가 아니라 셋 숨기고 있어서 더 많은 악수를 지운다.

#15 다르게 정리하기 5.NF.B.4 단계 5

양쪽에서 읽는 쌍둥이-세쌍둥이 악수

쌍둥이-세쌍둥이 악수를 먼저 쌍둥이 쪽에서 읽어 보자.
세쌍둥이 $18$명의 절반은 $\frac{1}{2} \times 18 = 9$명이므로 쌍둥이 $18$명이 각각 $9$번씩, 곧 $18 \times 9 = 162$개의 기록이 나온다.
이런 악수에는 쌍둥이가 정확히 한 명씩만 들어 있으므로 기록도 정확히 하나씩 생긴다.
즉 쌍둥이-세쌍둥이 악수는 $162$번이다.
이제 같은 악수를 세쌍둥이 쪽에서 읽으면, 세쌍둥이 $18$명이 각각 $\frac{1}{2} \times 18 = 9$번씩이므로 역시 $18 \times 9 = 162$다.
두 읽기가 일치한다.
쌍둥이 쪽 규칙과 세쌍둥이 쪽 규칙은 똑같은 악수 묶음을 두 가지로 설명한 것이므로, 이 일치가 문제가 스스로 모순되지 않게 해 주는 핵심이다.

$$18 \times 9 = 162 \quad (\text{twin side}), \qquad 18 \times 9 = 162 \quad (\text{triplet side})$$

💡 같은 더미를 두 방향에서 세는 일은 두 결과가 같을 때만 안전하므로, 확인 자체가 요점이다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.C.5 단계 6

그런 모임이 가능한지 확인하기

규칙은 각 쌍둥이가 세쌍둥이의 '어떤' 절반을 고른다고만 하고 어느 절반인지는 말하지 않는다.
그러니 규칙을 지키는 방식이 실제로 존재하는지, 그리고 내 계산이 그 선택에 따라 달라지지 않는지 확인해야 한다.
쌍둥이에 $1$부터 $18$까지, 세쌍둥이에도 $1$부터 $18$까지 번호를 붙이고, 쌍둥이 $k$가 세쌍둥이 $k, k+1, \ldots, k+8$과 악수하되 $18$을 넘으면 $1$로 되돌아간다고 하자.
그러면 각 쌍둥이는 $9$명과 악수하고, 세쌍둥이 $m$은 정확히 쌍둥이 $m-8, \ldots, m$의 $9$명과 악수하므로 두 규칙이 모두 성립한다.
다른 어떤 방식을 골라도 쌍둥이-세쌍둥이 악수는 여전히 $162$번인데, 그 수는 세쌍둥이를 어떻게 골랐는지가 아니라 쌍둥이 쪽 세기만으로 정해지기 때문이다.

$$\text{twin } k \;\longleftrightarrow\; \text{triplets } k, k+1, \ldots, k+8 \pmod{18}$$

💡 아홉 칸짜리 창을 한 칸씩 밀며 돌리면 모든 세쌍둥이가 정확히 아홉 번씩 뽑힌다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NBT.B.4 단계 7

세 종류를 더하기

세 바구니에는 쌍둥이끼리 $144$번, 세쌍둥이끼리 $135$번, 쌍둥이-세쌍둥이 $162$번이 담겨 있고, 모든 악수는 정확히 한 바구니에만 들어간다.
더하면 $144 + 135 + 162 = 441$번이고, 이는 보기 (B)이다.

$$144 + 135 + 162 = 441$$

💡 바구니가 겹치지 않으면 전체는 그저 바구니들의 합이다.

[1] #15 3.OA.A.1 쌍둥이 팀과 세쌍둥이 팀은 똑같은 크기의 묶음이므로 인원수는 곱셈으로 나온다. $2$명씩 $9$팀이면 $9 \times 2 = 18$명의 쌍둥이

[2] #7 4.OA.A.3 악수를 아무거나 하나 골라 보자. 그 두 사람은 둘 다 쌍둥이거나, 둘 다 세쌍둥이거나, 한 명씩이다. 이 세 경우는 모든 악수를 덮고 두 경우

[3] #16 5.NBT.B.5 $18$명의 쌍둥이 안에서는 형제자매만 빼고 모두가 악수한다. 먼저 모든 짝을 세면, $18$명 각자가 나머지 $17$명과 짝을 이루어 $18

[4] #16 5.NBT.B.6 $18$명의 세쌍둥이도 짝은 $\frac{18 \times 17}{2} = 153$개다. 그런데 이번에는 한 팀에 형제자매가 $3$명이고, $3

[5] #15 5.NF.B.4 쌍둥이-세쌍둥이 악수를 먼저 쌍둥이 쪽에서 읽어 보자. 세쌍둥이 $18$명의 절반은 $\frac{1}{2} \times 18 = 9$명이므로 쌍

[6] #2 4.OA.C.5 규칙은 각 쌍둥이가 세쌍둥이의 '어떤' 절반을 고른다고만 하고 어느 절반인지는 말하지 않는다. 그러니 규칙을 지키는 방식이 실제로 존재하는지,

[7] #7 4.NBT.B.4 세 바구니에는 쌍둥이끼리 $144$번, 세쌍둥이끼리 $135$번, 쌍둥이-세쌍둥이 $162$번이 담겨 있고, 모든 악수는 정확히 한 바구니에만

검토

합리성 확인: 위쪽 한계를 잡아 보자. $36$명이면 가능한 악수는 최대 $\frac{36 \times 35}{2} = 630$번인데, 이는 정확히 보기 (C)이고 아무도 악수를 거르지 않는 경우다. 형제자매 짝 $9 + 18 = 27$개가 악수하지 않고, 쌍둥이-세쌍둥이 짝 $18 \times 18 = 324$개 중 절반은 만나지 않으므로 답은 $630 - 27 - 162 = 441$이어야 하고, 앞의 계산과 맞는다. 이 위쪽 한계 $630$은 두 보기를 바로 지운다. $648$과 $882$는 존재하는 짝의 개수보다 크기 때문이다. 그리고 $324$는 쌍둥이-세쌍둥이 짝 전체의 개수로, 교차 악수만 보고 답한 값이다.

대안 접근: 짝의 종류가 아니라 사람 쪽에서 세어 볼 수도 있다. 쌍둥이 한 명은 형제자매가 아닌 쌍둥이 $16$명과 세쌍둥이 $9$명, 곧 $25$번 악수한다. 세쌍둥이 한 명은 형제자매가 아닌 세쌍둥이 $15$명과 쌍둥이 $9$명, 곧 $24$번 악수한다. $36$명 전체에 대해 더하면 악수마다 두 당사자가 한 번씩 세므로 총합은 $\frac{18 \times 25 + 18 \times 24}{2} = \frac{450 + 432}{2} = \frac{882}{2} = 441$이다. 이 방법은 사람을 따라 더하고 앞의 방법은 짝의 종류를 따라 더하는데, 결과가 일치한다. 반으로 나누기 전의 합 $882$가 보기에 들어 있으니, 나누기를 잊으면 오답 보기에 정확히 걸린다는 점도 눈여겨볼 만하다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

3.OA.A.1 Interpret products of whole numbers as total number of objects in groups ($2$명씩 $9$팀과 $3$명씩 $6$팀을 쌍둥이 $18$명, 세쌍둥이 $18$명이라는 인원수로 바꾸는 데 사용.)
4.OA.A.3 Solve multi-step word problems using four operations with whole numbers (모든 악수를 쌍둥이끼리, 세쌍둥이끼리, 쌍둥이-세쌍둥이의 세 종류로 나누고 세 결과를 더하도록 계획하는 데 사용.)
5.NBT.B.5 Fluently multiply multi-digit whole numbers (쌍둥이들 사이의 짝 $18 \times 17 = 306$과 교차 악수 $18 \times 9 = 162$를 계산하는 데 사용.)
5.NBT.B.6 Find whole-number quotients with up to four-digit dividends and two-digit divisors ($18 \times 17$을 반으로 나누어 짝 $153$개를 얻고, $3 \times 2$를 반으로 나누어 세쌍둥이 한 팀의 형제자매 짝 $3$개를 얻는 데 사용.)
5.NF.B.4 Apply and extend understanding of multiplication to multiply a fraction by a fraction ('세쌍둥이의 절반'을 교차 악수의 양쪽에서 $\frac{1}{2} \times 18 = 9$로 읽는 데 사용.)
4.OA.C.5 Generate a number or shape pattern following a given rule (양쪽 '절반' 규칙을 모두 지키는 악수 방식이 실제로 존재함을 보이는 순환 패턴을 만드는 데 사용.)
4.NBT.B.4 Fluently add and subtract multi-digit whole numbers (짝의 개수에서 형제자매 짝을 빼고, 마지막에 $144 + 135 + 162$를 더하는 데 사용.)

⭐ 악수를 누가 들어 있는지에 따라 나누고, 모든 짝을 센 뒤 일어나지 않는 짝을 빼고, 악수는 두 사람의 것이지만 한 번만 일어난다는 것을 기억하자.