AMC 10 · 2012 · #3
쉬운 모드 학년 5어떤 상자는 높이가 2센티미터, 너비가 3센티미터, 길이가 5센티미터이다. 이 상자에 점토를 가득 채우면 40그램이 들어간다. 두 번째 상자는 첫 번째 상자보다 높이가 2배, 너비가 3배이고, 길이는 같다. 두 번째 상자에도 똑같은 점토를 가득 채운다. 두 번째 상자에는 점토가 몇 그램 들어가는가?
답을 골라 클릭하세요.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 높이 $2$ cm, 너비 $3$ cm, 길이 $5$ cm 인 직육면체 상자에 점토를 가득 채우면 $40$ 그램이 들어갑니다. 두 번째 상자는 높이가 두 배, 너비가 세 배, 길이는 첫 번째 상자와 같게 만들었습니다. 같은 점토를 두 번째 상자에 가득 채웠을 때의 무게 $n$ 그램을 구하세요.
주어진 것: 첫 번째 상자: 높이 $2$ cm, 너비 $3$ cm, 길이 $5$ cm.; 가득 채우면 첫 번째 상자에는 점토 $40$ 그램이 들어간다.; 두 번째 상자: 첫 번째 상자의 높이의 두 배, 너비의 세 배, 길이는 그대로.; 두 상자 모두 같은 점토로 채운다.; 보기: (A) $120$, (B) $160$, (C) $200$, (D) $240$, (E) $280$.
구하는 것: 두 번째 상자를 가득 채웠을 때 들어가는 점토의 무게 $n$ 그램.
이해
문제 재정리: 높이 $2$ cm, 너비 $3$ cm, 길이 $5$ cm 인 직육면체 상자에 점토를 가득 채우면 $40$ 그램이 들어갑니다. 두 번째 상자는 높이가 두 배, 너비가 세 배, 길이는 첫 번째 상자와 같게 만들었습니다. 같은 점토를 두 번째 상자에 가득 채웠을 때의 무게 $n$ 그램을 구하세요.
주어진 것: 첫 번째 상자: 높이 $2$ cm, 너비 $3$ cm, 길이 $5$ cm.; 가득 채우면 첫 번째 상자에는 점토 $40$ 그램이 들어간다.; 두 번째 상자: 첫 번째 상자의 높이의 두 배, 너비의 세 배, 길이는 그대로.; 두 상자 모두 같은 점토로 채운다.; 보기: (A) $120$, (B) $160$, (C) $200$, (D) $240$, (E) $280$.
계획
주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
보조 도구: #17 공간 상상하기, #1 그림 그리기, #8 단위 살펴보기
두 번째 상자는 그냥 "더 큰" 상자가 아닙니다. 각 모서리가 첫 번째 상자의 자연수 배이고, 이 사실은 단순한 크기 비교보다 훨씬 값집니다. 도구 #17이 그 이득을 눈에 보이게 해 줍니다. 높이가 두 배, 너비가 세 배이므로 두 번째 상자는 첫 번째 상자와 똑같은 블록들로 깔끔하게 잘립니다. 이어서 도구 #7이 큰 상자를 이미 풀린 문제로 바꿔 줍니다. 각 블록에 들어가는 무게가 바로 문제에서 준 $40$ 그램이니까요. 도구 #1은 자르는 동안 두 상자와 모서리 표시를 헷갈리지 않게 잡아 주고, 도구 #8은 가장 먼저 할 일을 맡습니다. 문제는 그램으로 묻는데 설명은 센티미터로 되어 있다는 점을 알아채고, 무엇이 둘을 이어 주는지 못 박는 일이에요.
실행 — 정답: D
5.MD.C.3 단계 1 그램은 공간이 정한다
- 문제는 무게를 그램으로 주면서 상자는 센티미터로 설명합니다.
- 그러니 둘을 이어 주는 무언가가 있어야 해요.
- 그 무언가가 점토입니다.
- 두 상자 모두 같은 점토로 채우므로 점토 $1$ 세제곱센티미터의 무게는 어디에 있든 같습니다.
- 따라서 상자에 들어가는 그램 수는 오직 하나, 안쪽 공간의 크기로 정해집니다.
- 공간이 같은 두 상자에는 같은 그램이 들어가고, 공간이 $6$ 배인 상자에는 $6$ 배의 그램이 들어갑니다.
- 아래의 모든 단계는 이 문장에 기대고 있어요.
💡 점토가 어디서나 같으니, 상자가 하는 일은 공간이 얼마나 되는지 재는 것뿐입니다.
4.OA.A.1 단계 2 두 번째 상자의 크기
- 설명을 한 모서리씩 읽습니다.
- "높이의 두 배" 는 $2$를 $4$로 바꿉니다.
- "너비의 세 배" 는 $3$을 $9$로 바꿉니다.
- "길이는 같음" 은 $5$를 그대로 두는 것, 즉 $1$을 곱하는 것입니다.
- 두 상자를 나란히 그리고 모서리 값을 적어 둡니다.
💡 "두 배" 와 "세 배" 는 각각 한 모서리에 곱해지는 수이고, "같음" 은 $1$을 곱하는 것입니다.
5.MD.C.5 단계 3 똑같은 상자로 자르기
- $4 = 2 \times 2$이고 $9 = 3 \times 3$ 이므로 두 번째 상자는 딱 떨어지게 잘립니다.
- 높이 한가운데를 한 번 자르면 높이 $2$ cm 인 층이 $2$ 개 생깁니다.
- 너비를 두 번 자르면 너비 $3$ cm 인 기둥이 $3$ 개 생깁니다.
- 길이 $5$는 한 번도 자르지 않습니다.
- 그러면 $2 \times 3 = 6$ 개의 블록이 남고, 모든 블록이 $2$ 대 $3$ 대 $5$ — 첫 번째 상자와 똑같은 크기입니다.
- 남는 부분도, 겹치는 부분도 없습니다.
💡 모서리를 통째로 두 배, 세 배 하면 큰 상자는 그냥 커진 것이 아니라 작은 상자를 가지런히 쌓아 놓은 것이 됩니다.
4.OA.A.2 단계 4 블록이 여섯 개, 점토도 여섯 배
- 이제 두 번째 상자를 위까지 가득 채웁니다.
- 상상으로 그은 자국이 안의 점토를 $6$ 덩어리로 나누고, 각 덩어리는 $2$ 대 $3$ 대 $5$ 상자를 정확히 채웁니다.
- 그러니 각 덩어리의 무게는 문제가 이미 알려 준 $40$ 그램이에요.
- 덩어리들은 겹치지도, 틈을 남기지도 않으므로 무게는 그대로 더하면 전체가 됩니다.
- 따라서 $n$ 은 $40$ 그램의 여섯 배입니다.
💡 큰 상자가 작은 상자 여섯 개를 붙여 놓은 것이라면, 그 안의 점토도 작은 상자 여섯 개분입니다.
5.MD.C.3 문제는 무게를 그램으로 주면서 상자는 센티미터로 설명합니다. 그러니 둘을 이어 주는 무언가가 있어야 해요. 그 무언가가 점토입니다. 두 상자 모 4.OA.A.1 설명을 한 모서리씩 읽습니다. "높이의 두 배" 는 $2$를 $4$로 바꿉니다. "너비의 세 배" 는 $3$을 $9$로 바꿉니다. "길이는 같음 5.MD.C.5 $4 = 2 \times 2$이고 $9 = 3 \times 3$ 이므로 두 번째 상자는 딱 떨어지게 잘립니다. 높이 한가운데를 한 번 자르면 높 4.OA.A.2 이제 두 번째 상자를 위까지 가득 채웁니다. 상상으로 그은 자국이 안의 점토를 $6$ 덩어리로 나누고, 각 덩어리는 $2$ 대 $3$ 대 $5$ 검토
합리성 확인: 답은 3단계의 자르는 그림이 맞는 만큼만 믿을 수 있으므로, 그 그림을 부피 값으로 확인해 봅니다. 첫 번째 상자의 공간은 $2 \times 3 \times 5 = 30$ 세제곱센티미터, 두 번째 상자는 $4 \times 9 \times 5 = 180$이고 $180 = 6 \times 30$이 정확히 맞아떨어집니다. 자른 그림이 말한 대로 여섯 개, 나머지 없이요. 무게도 맞습니다. $\frac{240}{180} = \frac{40}{30} = \frac{4}{3}$ 이니 두 상자 모두 세제곱센티미터당 $\frac{4}{3}$ 그램이고, 이것이 문제가 점토에 대해 약속한 단 하나입니다. 오답 중 둘은 읽어낼 수 있어요. $120 = 3 \times 40$은 세 배가 된 너비만 세었을 때 나오고, $280 = 7 \times 40$은 "여섯 배 커졌다" 를 원래 것에 여섯 개를 더 얹은 것으로 읽었을 때 나옵니다. 여기에는 믿지 말아야 할 우연도 하나 있습니다. 배율 $2$, $3$, $1$은 곱해도 $6$ 이지만 더해도 $6$입니다. 그래서 더해 버린 학생도 $240$에 도착하고 자기 규칙이 틀렸다는 걸 영영 모르게 되죠. 높이가 두 배, 너비가 네 배라면 더하기는 $7$을 주지만 정답은 $8$입니다. 배율은 곱해야 합니다. 세 모서리의 곱에 각 모서리가 자기 배율을 하나씩 실어 보내기 때문이에요.
대안 접근: 도구 #4(변수 도입하기)와 도구 #8(단위 살펴보기)를 쓰면 아무것도 자르지 않고도 도착합니다. 점토 $1$ 세제곱센티미터의 무게를 $d$ 그램이라 두면 첫 번째 상자에서 $30d = 40$입니다. 두 번째 상자의 공간은 $(2\cdot 2)(3\cdot 3)(5) = 180$ 세제곱센티미터이므로 $n = 180d = 6 \times (30d) = 6 \times 40 = 240$이고, 정작 $d$ 값인 $\frac{4}{3}$ 그램은 끝까지 구하지 않아도 됩니다. 두 방법은 정직하게 맞바꿉니다. 이 방법은 높이가 $1.5$ 배처럼 배율이 자연수가 아니어서 깔끔하게 자를 수 없을 때도 통하고, 자르는 방법은 자연수 배율이 필요한 대신 점토가 고르게 채워졌다는 가정을 전혀 쓰지 않습니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)
5.MD.C.3부피를 입체도형의 한 속성으로 이해하기 (두 상자를 같은 점토로 채우므로, 들어가는 그램 수가 안쪽 공간의 크기로 정해진다는 것을 세우는 데 사용.)4.OA.A.1곱셈식을 배수 비교로 해석하기 ("높이의 두 배", "너비의 세 배" 를 모서리 $4$ cm, $9$ cm 로 바꾸는 데 사용.)5.MD.C.5부피를 곱셈과 덧셈의 연산과 연결하기 ($4 \times 9 \times 5$ 상자를 $2 \times 3 \times 5$ 블록 $6$ 개로 자르고, 그 조각들이 틈이나 겹침 없이 전체를 채운다는 것을 쓰는 데 사용.)4.OA.A.2배수 비교가 들어간 문장제를 곱셈·나눗셈으로 해결하기 ($40$ 그램짜리 블록 $6$ 개를 합쳐 $n = 6 \times 40 = 240$을 얻는 데 사용.)
⭐ 한 모서리를 두 배, 다른 모서리를 세 배 하면 상자는 원래 상자 여섯 개가 되므로, 점토도 여섯 배가 들어갑니다: $6 \times 40 = 240$ 그램.
⭐ 한 모서리를 두 배, 다른 모서리를 세 배 하면 상자는 원래 상자 여섯 개가 되므로, 점토도 여섯 배가 들어갑니다: $6 \times 40 = 240$ 그램.
비슷한 유형 더 풀어보기
같은 archetype · 비슷한 학년부터.