AMC 10 · 2012 · #5
쉬운 모드 학년 2정수는 …,−2,−1,0,1,2,…처럼 소수점 아래 부분이 없는 수이고, 음수여도 된다. 미나가 정수 여섯 개를 두 개씩 차례로 적는다. 처음 두 수의 합은 26이다. 다음 두 수까지 적으면 네 수의 합은 41이다. 마지막 두 수까지 적으면 여섯 수의 합은 57이다. 미나가 적은 여섯 수 가운데 짝수는 최소 몇 개인가?
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 여섯 개의 정수를 두 개씩 차례로 더한다. 처음 두 개의 합은 $26$, 네 개까지의 합은 $41$, 여섯 개 모두의 합은 $57$이다. 이 여섯 정수가 가질 수 있는 짝수의 개수 중 가장 작은 값을 구하시오.
주어진 것: 처음 두 정수의 합은 $26$이다; 정수 두 개를 더 더하면 누적 합이 $41$이 된다; 다시 정수 두 개를 더 더하면 누적 합이 $57$이 된다; 여섯 수는 모두 정수이다; 선택지: (A) $1$, (B) $2$, (C) $3$, (D) $4$, (E) $5$
구하는 것: 여섯 정수 중 짝수 개수가 될 수 있는 가장 작은 값
이해
문제 재정리: 여섯 개의 정수를 두 개씩 차례로 더한다. 처음 두 개의 합은 $26$, 네 개까지의 합은 $41$, 여섯 개 모두의 합은 $57$이다. 이 여섯 정수가 가질 수 있는 짝수의 개수 중 가장 작은 값을 구하시오.
주어진 것: 처음 두 정수의 합은 $26$이다; 정수 두 개를 더 더하면 누적 합이 $41$이 된다; 다시 정수 두 개를 더 더하면 누적 합이 $57$이 된다; 여섯 수는 모두 정수이다; 선택지: (A) $1$, (B) $2$, (C) $3$, (D) $4$, (E) $5$
계획
주요 도구: #14 극단의 원리
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #16 관점 바꾸기, #6 추측하고 확인하기
최솟값을 묻는 문제이므로 도구 #14(극단의 원리)가 풀이의 뼈대를 정한다: 어떤 경우도 그 아래로 내려갈 수 없는 하한을 찾고, 그 하한에 정확히 놓이는 예를 하나 만들어 보인다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 하한을 찾을 수 있게 해 준다 — 누적 합이 여섯 정수를 각자의 합을 가진 세 쌍으로 잘라 준다. 도구 #16(관점 바꾸기)은 수의 크기를 버리고 짝수인지 홀수인지만 남기는데, 개수는 오직 그것에만 달려 있다. 그다음 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 주어진 모든 합을 맞추면서 하한이 허락하는 만큼만 짝수를 담은 구체적인 여섯 정수를 만든다.
실행 — 정답: A
2.OA.A.1 단계 1 여섯 수를 세 쌍으로 자르기
- 정수는 두 개씩 들어오므로 누적 합이 이들을 갈라 준다.
- 첫 쌍의 합은 $26$이다.
- 네 개까지의 합이 $41$이므로 둘째 쌍이 더한 값은 $41-26=15$이다.
- 여섯 개 모두의 합이 $57$이므로 셋째 쌍이 더한 값은 $57-41=16$이다.
- 이제 문제는 각각 $26$, $15$, $16$을 합으로 가져야 하는 세 개의 독립된 쌍이 되었고, 각 쌍은 자기 합만 맞추면 자유롭게 고를 수 있다.
💡 두 누적 합의 차이는 그 사이에 더한 것과 정확히 같으므로, 빼면 새로 들어온 쌍만 남는다.
2.OA.C.3 단계 2 크기가 아니라 홀짝을 보기
- 정수가 얼마나 큰지는 상관없다 — 각각이 짝수인지 홀수인지만 문제가 된다.
- 홀수 두 개를 더하면 짝수, 짝수 두 개를 더해도 짝수, 하나씩 더하면 홀수가 된다.
- 이를 거꾸로 읽자.
- 합이 홀수인 쌍은 반드시 짝수 하나와 홀수 하나여야 하므로 언제나 짝수를 정확히 한 개 품는다.
- 합이 짝수인 쌍은 홀수 둘이거나 짝수 둘이므로 짝수를 하나도 품지 않아도 된다.
- 따라서 각 쌍의 합이 그 쌍이 얼마나 아낄 수 있는지를 결정한다.
💡 짝수와 홀수는 정해진 규칙대로 결합하므로, 쌍의 합이 그 쌍에 짝수가 몇 개 있는지를 알려 준다.
2.OA.C.3 단계 3 짝수가 0개는 불가능함을 보이기
- 그 규칙을 각 쌍에 적용하자.
- 합 $26$과 $16$은 짝수이므로 그 두 쌍은 각각 홀수 두 개로 둘 수 있고 짝수를 하나도 내놓지 않아도 된다.
- 가운데 쌍의 합은 $15$로 홀수이다.
- 홀수 두 개는 언제나 짝수를 만들므로 이 쌍은 홀수 둘일 수 없고, 같은 이유로 짝수 둘도 될 수 없다.
- 반드시 짝수 하나와 홀수 하나여야 한다.
- 그러므로 수를 어떻게 고르든 여섯 정수 중 짝수가 적어도 하나는 나타난다 — 개수가 $0$인 경우는 불가능하고, 아직 열려 있는 가장 작은 개수는 $1$이다.
💡 홀수인 쌍의 합 하나만 있어도 짝수가 목록에 강제로 들어오지만, 강제되는 것은 딱 하나뿐이다.
2.NBT.B.5 단계 4 짝수 한 개짜리 예 만들기
- 하한은 실제로 그 값에 도달하는 여섯 정수가 있어야 비로소 답이 된다.
- 첫 쌍으로 $15$와 $11$을 잡으면 둘 다 홀수이고 합이 $26$이다.
- 둘째 쌍으로 $8$과 $7$을 잡으면 합이 $15$이고 짝수는 하나뿐이다.
- 셋째 쌍으로 $9$와 $7$을 잡으면 둘 다 홀수이고 합이 $16$이다.
- 문제의 순서대로 확인하자: $15+11=26$, 그다음 $26+8+7=41$, 그다음 $41+9+7=57$.
- 주어진 세 합이 모두 정확히 맞고, 여섯 수 중 짝수는 $8$ 하나뿐이다.
- 짝수 한 개는 피할 수 없으면서 동시에 충분하므로 최솟값은 $1$이다.
- (B)부터 (E)까지의 더 큰 개수는 이 목록이 이미 이겨 냈다.
- 따라서 답은 (A)이다.
💡 실제로 닿을 수 있는 경계가 진짜 최솟값이고, 아무도 닿지 못하는 경계는 추측일 뿐이다.
2.OA.A.1 정수는 두 개씩 들어오므로 누적 합이 이들을 갈라 준다. 첫 쌍의 합은 $26$이다. 네 개까지의 합이 $41$이므로 둘째 쌍이 더한 값은 $4 2.OA.C.3 정수가 얼마나 큰지는 상관없다 — 각각이 짝수인지 홀수인지만 문제가 된다. 홀수 두 개를 더하면 짝수, 짝수 두 개를 더해도 짝수, 하나씩 더하 2.OA.C.3 그 규칙을 각 쌍에 적용하자. 합 $26$과 $16$은 짝수이므로 그 두 쌍은 각각 홀수 두 개로 둘 수 있고 짝수를 하나도 내놓지 않아도 된다 2.NBT.B.5 하한은 실제로 그 값에 도달하는 여섯 정수가 있어야 비로소 답이 된다. 첫 쌍으로 $15$와 $11$을 잡으면 둘 다 홀수이고 합이 $26$이다 검토
합리성 확인: 찾아낸 예를 쌍이 아니라 원래 문장에 직접 맞추어 확인하자. 여섯 수 $15$, $11$, $8$, $7$, $9$, $7$은 처음 두 개에서 $15+11=26$, 두 개를 더 더하면 $26+8+7=41$, 마지막 두 개를 더 더하면 $41+9+7=57$이 되어 주어진 세 합이 모두 정확하다. 그 목록에서 짝수를 세면 $8$ 하나이다. 3단계에서 $0$은 불가능함을 이미 보였으므로 최솟값은 $1$과 $1$ 사이에 갇힌다. 최솟값 주장의 두 부분이 모두 성립하므로 (A)가 일관적이다.
대안 접근: 쌍의 합을 만들지 않고 누적 합에서 홀짝을 바로 읽을 수도 있다. 여섯 정수에 짝수가 하나도 없다고 하자. 그러면 여섯 개가 모두 홀수이다. 홀수 두 개의 합도 짝수, 네 개의 합도 짝수, 여섯 개의 합도 짝수이므로 세 누적 합이 모두 짝수여야 한다. 그런데 두 번째 누적 합은 홀수인 $41$이므로 가정이 무너지고, 처음 네 정수 중 적어도 하나는 짝수이다. 그다음 $15$, $11$, $8$, $7$, $9$, $7$이라는 목록이 짝수 하나면 충분함을 보여 주므로, $15$나 $16$을 한 번도 계산하지 않고도 같은 최솟값 $1$을 얻는다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 2)
2.OA.A.1100 이내의 덧셈과 뺄셈으로 한 단계 및 두 단계 문장제 해결하기 (세 개의 누적 합을 세 쌍의 합 $26$, $15$, $16$으로 바꾸기.)2.OA.C.3물건의 모임이 홀수인지 짝수인지 판단하기 (합의 홀짝 규칙으로, 합이 $15$인 쌍은 짝수를 정확히 하나 가져야 하고 합이 $26$과 $16$인 쌍은 하나도 갖지 않아도 됨을 보이기.)2.NBT.B.5100 이내에서 능숙하게 더하고 빼기 ($15$, $11$, $8$, $7$, $9$, $7$이 누적 합 $26$, $41$, $57$을 만드는지 확인하기.)
⭐ 홀수 두 개는 언제나 짝수가 되므로, 합이 홀수여야 하는 쌍은 반드시 그 안에 짝수를 정확히 하나 숨기고 있다.
⭐ 홀수 두 개는 언제나 짝수가 되므로, 합이 홀수여야 하는 쌍은 반드시 그 안에 짝수를 정확히 하나 숨기고 있다.
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