AMC 10 · 2013 · #7

쉬운 모드 학년 4

문제

열 개의 수가 한 줄로 나열되어 있다. 세 번째 수부터는 모든 수가 바로 앞의 두 수를 더한 값이다. 예를 들어 다섯 번째 수는 세 번째 수와 네 번째 수를 더한 값이고, 열 번째 수까지 같은 규칙이 이어진다. 일곱 번째 수는 $42$ 이고, 아홉 번째 수는 $110$ 이다. 네 번째 수는 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 열 개의 수로 이루어진 수열이 하나의 규칙을 따른다. 세 번째 수부터는 각 수가 바로 앞의 두 수의 합이다. 일곱 번째 수는 42이고 아홉 번째 수는 110이다. 네 번째 수를 구하라.

주어진 것: $n$이 3부터 10까지일 때 규칙 $S_n = S_{n-2} + S_{n-1}$이 성립한다.; $S_7 = 42$.; $S_9 = 110$.

구하는 것: $S_4$의 값.

이해

주어진 것: $n$이 3부터 10까지일 때 규칙 $S_n = S_{n-2} + S_{n-1}$이 성립한다.; $S_7 = 42$.; $S_9 = 110$.

계획

주요 도구: #11 거꾸로 풀기

보조 도구: #5 패턴 찾기, #4 변수 도입하기

규칙은 앞으로 나아가는 방향을 가리키지만, 아는 항들은 구하려는 항보다 뒤쪽에 있다. 그러니 규칙을 거꾸로 돌린다. 규칙은 연속한 세 항 묶음에서 마지막 항이 앞의 두 항의 합이라는 뜻이고, 덧셈과 뺄셈은 서로를 되돌리므로 그 묶음에서 두 항을 알면 나머지 한 항은 하나로 정해진다. 이미 두 항을 아는 묶음 $(S_7, S_8, S_9)$에서 출발하면, 새로 채운 항이 다음 묶음에 참여하면서 또 한 항을 내주고, 이렇게 목록을 따라 $S_4$까지 내려간다. 채워지는 값이 모두 강제되므로 이 사슬은 $S_4$가 오직 한 값뿐임을 보여 준다. 그다음 앞으로 한 번 돌려 보면 그런 수열이 실제로 존재함까지 확인된다.

실행 — 정답: C

#11 거꾸로 풀기 1.OA.B.4 단계 1

규칙을 채우는 도구로 바꾸기

규칙은 연속한 세 항 $S_{n-2}$, $S_{n-1}$, $S_n$을 묶어 주고, 마지막 항이 앞의 두 항의 합이다.
뺄셈은 덧셈을 되돌리므로 셋 중 어느 것이든 나머지 둘로부터 되찾을 수 있다.
특히 가운데 항은 $S_{n-1} = S_n - S_{n-2}$이고, 가장 앞 항은 $S_{n-2} = S_n - S_{n-1}$이다.
바로 이것 덕분에 위로 가는 대신 아래로 내려갈 수 있다.

$$S_n = S_{n-2} + S_{n-1} \iff S_{n-1} = S_n - S_{n-2} \iff S_{n-2} = S_n - S_{n-1}$$

💡 세 항 묶음에서 둘을 알면, 빠진 것이 어느 자리든 나머지 하나에는 선택의 여지가 없다.

#11 거꾸로 풀기 4.NBT.B.4 단계 2

주어진 두 항 사이 메우기

묶음 $(S_7, S_8, S_9)$를 보자.
$n = 9$일 때 규칙은 $S_9 = S_7 + S_8$이다.
세 항 중 둘이 주어졌으므로 빠진 가운데 항은 하나로 정해진다.
$S_9 = 110$에서 $S_7 = 42$를 빼면 된다.

$$S_8 = S_9 - S_7 = 110 - 42 = 68$$

💡 주어진 두 항 사이의 틈이 딱 한 항 넓이라서 뺄셈 한 번으로 메워진다.

#11 거꾸로 풀기 4.OA.C.5 단계 3

$S_6$으로 한 칸 내려가기

이제 $S_7 = 42$와 $S_8 = 68$을 모두 아니 묶음 $(S_6, S_7, S_8)$을 쓴다.
$n = 8$일 때 규칙은 $S_8 = S_6 + S_7$이고, 빠진 것은 가장 앞 항이다.

$$S_6 = S_8 - S_7 = 68 - 42 = 26$$

💡 새로 찾은 항이 이웃 항과 짝을 이뤄 그 바로 앞 항을 열어 준다.

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 4

$S_5$를 거쳐 $S_4$까지

같은 동작을 두 번 더 반복한다.
$S_7 = 42$, $S_6 = 26$인 묶음 $(S_5, S_6, S_7)$에서 가장 앞 항은 $S_5 = 42 - 26 = 16$이다.
이어서 $S_6 = 26$, $S_5 = 16$인 묶음 $(S_4, S_5, S_6)$에서 가장 앞 항은 $S_4 = 26 - 16 = 10$이다.

$$S_5 = S_7 - S_6 = 42 - 26 = 16, \qquad S_4 = S_6 - S_5 = 26 - 16 = 10$$

💡 거꾸로 가는 규칙은 매번 똑같은 뺄셈이라, 목록을 내려가는 일은 한 동작의 반복이다.

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 5

그런 수열이 정말 있는지 확인하기

거꾸로 이어 온 사슬은 그런 수열이 존재한다면 $S_4$는 10일 수밖에 없음을 보여 준다.
지나온 값이 모두 강제되었기 때문이다.
하지만 그것만으로는 $S_7 = 42$이고 $S_9 = 110$인 수열이 애초에 존재하는지는 알 수 없다.
그래서 방금 찾은 두 항에서 규칙을 앞으로 돌려 두 조건이 실제로 맞아떨어지는지 확인한다.
$S_4 = 10$, $S_5 = 16$에서 시작하면 $S_6 = 10 + 16 = 26$, $S_7 = 16 + 26 = 42$, $S_8 = 26 + 42 = 68$, $S_9 = 42 + 68 = 110$이다.
주어진 두 값이 모두 맞으므로 수열은 존재하고 $S_4 = 10$, 즉 보기 (C)이다.

$$10,\ 16,\ 26,\ 42,\ 68,\ 110 \quad\Rightarrow\quad S_7 = 42 \ \checkmark,\ S_9 = 110 \ \checkmark$$

💡 거꾸로 풀기는 답이 무엇이어야 하는지를 말해 주고, 앞으로 돌려 보기는 그 답이 실제로 일어난다는 것을 말해 준다.

[1] #11 1.OA.B.4 규칙은 연속한 세 항 $S_{n-2}$, $S_{n-1}$, $S_n$을 묶어 주고, 마지막 항이 앞의 두 항의 합이다. 뺄셈은 덧셈을 되돌리므

[2] #11 4.NBT.B.4 묶음 $(S_7, S_8, S_9)$를 보자. $n = 9$일 때 규칙은 $S_9 = S_7 + S_8$이다. 세 항 중 둘이 주어졌으므로 빠진

[3] #11 4.OA.C.5 이제 $S_7 = 42$와 $S_8 = 68$을 모두 아니 묶음 $(S_6, S_7, S_8)$을 쓴다. $n = 8$일 때 규칙은 $S_8 =

[4] #5 4.OA.C.5 같은 동작을 두 번 더 반복한다. $S_7 = 42$, $S_6 = 26$인 묶음 $(S_5, S_6, S_7)$에서 가장 앞 항은 $S_5 =

[5] #5 4.OA.C.5 거꾸로 이어 온 사슬은 그런 수열이 존재한다면 $S_4$는 10일 수밖에 없음을 보여 준다. 지나온 값이 모두 강제되었기 때문이다. 하지만 그것

검토

합리성 확인: 위의 계산을 전혀 쓰지 않은 크기 어림도 같은 결론을 준다. 앞의 두 항을 더하는 수열은 자리를 잡고 나면 한 칸마다 대략 $1.618$배로 커지므로, $S_4$에서 $S_7$까지 세 칸이면 약 $1.618^3 \approx 4.24$배가 된다. 그러면 $S_4 \approx \frac{42}{4.24} \approx 9.9$로 예상되어 10이 곧바로 지목되고, 4와 6과 16은 아예 제외되며 12는 확실히 너무 크다. 정확한 값들도 이상이 없다. 거꾸로 가는 규칙을 $S_4$ 아래로 더 밀면 $S_3 = 16 - 10 = 6$, $S_2 = 10 - 6 = 4$, $S_1 = 6 - 4 = 2$가 되어, 목록 전체 $2, 4, 6, 10, 16, 26, 42, 68, 110, 178$이 모두 양의 정수로 남고 어디에도 모순이 없다.

대안 접근: 거꾸로 내려가는 대신 변수를 도입한다. $S_1 = a$, $S_2 = b$라 두고 앞으로 전개하면 $S_3 = a + b$, $S_4 = a + 2b$, $S_5 = 2a + 3b$, $S_6 = 3a + 5b$, $S_7 = 5a + 8b$, $S_8 = 8a + 13b$, $S_9 = 13a + 21b$이고, 계수는 피보나치 수이다. 주어진 조건은 연립방정식 $5a + 8b = 42$와 $13a + 21b = 110$이 된다. 이 연립의 행렬식은 $5 \cdot 21 - 8 \cdot 13 = 105 - 104 = 1$로 0이 아니므로 해가 정확히 하나뿐이다. 떨어져 있는 두 조건만으로 수열 전체가 정해지는 진짜 이유가 바로 이것이다. 풀면 $a = 2$, $b = 4$이고, 따라서 $S_4 = a + 2b = 2 + 8 = 10$으로 (C)와 일치한다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

1.OA.B.4 Understand subtraction as an unknown-addend problem ($S_n = S_{n-2} + S_{n-1}$을 뺄셈으로 고쳐 써서 세 항 묶음에서 빠진 항을 되찾기.)
4.NBT.B.4 Fluently add and subtract multi-digit whole numbers ($110 - 42$, $68 - 42$, $42 - 26$, $26 - 16$의 뺄셈을 수행하기.)
4.OA.C.5 Generate a number or shape pattern following a given rule (앞의 두 항을 더하는 규칙을 반복 적용하여 거꾸로 $S_4$까지 내려가고, 앞으로 돌려 $S_7$과 $S_9$를 확인하기.)

⭐ 연속한 세 항이 정해진 방식으로 더해질 때는 그중 둘만 알면 나머지 하나가 정해지므로, 앞으로 가는 것만큼 쉽게 거꾸로도 내려갈 수 있다.