AMC 10 · 2021 · #4
쉬운 모드 학년 5Tom은 뱀을 13마리 키우고 있어요. 그중 어떤 뱀은 보라색이고, 어떤 뱀은 행복합니다. 그리고 어떤 뱀은 덧셈을 할 줄 알고, 어떤 뱀은 뺄셈을 할 줄 알아요.
Tom은 자신의 뱀들에 대해 세 가지 사실을 알아냈습니다.
- 행복한 뱀은 모두 덧셈을 할 수 있어요.
- 보라색 뱀은 어느 것도 뺄셈을 할 수 없어요.
- 뺄셈을 못 하는 뱀은 덧셈도 못 해요.
이 세 가지 사실만 가지고, 아래 결론 중 반드시 참인 것은 무엇일까요?
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 톰이 키우는 뱀은 $13$ 마리. 일부는 보라색, 일부는 행복함, 일부는 덧셈을 할 줄 알고, 일부는 뺄셈을 할 줄 압니다. 세 가지 사실이 주어집니다 — 행복한 뱀은 모두 덧셈을 할 줄 안다, 보라색 뱀은 모두 뺄셈을 못 한다, 뺄셈을 못 하는 뱀은 덧셈도 못 한다. 다섯 개의 결론 중 위 세 사실로부터 반드시 따르는 것은 어떤 것인가?
주어진 것: 총 $13$ 마리, 보라색 $4$ 마리, 행복한 뱀 $5$ 마리 (이 수는 미끼 — 논리에 필요 없음); 사실 1: 행복 $\Rightarrow$ 덧셈 가능; 사실 2: 보라 $\Rightarrow$ 뺄셈 불가; 사실 3: 뺄셈 불가 $\Rightarrow$ 덧셈 불가; 선택지: (A) 보라 $\Rightarrow$ 덧셈 가능 (B) 보라 $\Rightarrow$ 행복 (C) 덧셈 가능 $\Rightarrow$ 보라 (D) 행복 $\Rightarrow$ 보라 아님 (E) 행복 $\Rightarrow$ 뺄셈 불가
구하는 것: 세 사실로부터 반드시 따르는 결론
이해
문제 재정리: 톰이 키우는 뱀은 $13$ 마리. 일부는 보라색, 일부는 행복함, 일부는 덧셈을 할 줄 알고, 일부는 뺄셈을 할 줄 압니다. 세 가지 사실이 주어집니다 — 행복한 뱀은 모두 덧셈을 할 줄 안다, 보라색 뱀은 모두 뺄셈을 못 한다, 뺄셈을 못 하는 뱀은 덧셈도 못 한다. 다섯 개의 결론 중 위 세 사실로부터 반드시 따르는 것은 어떤 것인가?
주어진 것: 총 $13$ 마리, 보라색 $4$ 마리, 행복한 뱀 $5$ 마리 (이 수는 미끼 — 논리에 필요 없음); 사실 1: 행복 $\Rightarrow$ 덧셈 가능; 사실 2: 보라 $\Rightarrow$ 뺄셈 불가; 사실 3: 뺄셈 불가 $\Rightarrow$ 덧셈 불가; 선택지: (A) 보라 $\Rightarrow$ 덧셈 가능 (B) 보라 $\Rightarrow$ 행복 (C) 덧셈 가능 $\Rightarrow$ 보라 (D) 행복 $\Rightarrow$ 보라 아님 (E) 행복 $\Rightarrow$ 뺄셈 불가
계획
주요 도구: #3 가능성 지우기
보조 도구: #1 그림 그리기, #7 작은 문제로 쪼개기
다섯 보기 중 하나를 고르는 객관식 — 도구 #3(가능성 지우기)로 각 보기를 세 사실에 비춰 점검. 도구 #1(그림 그리기)로 사실들을 속성 박스 사이의 화살표로 그리면 사슬이 보입니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 사실 2와 3을 먼저 잇고, 사실 1의 대우를 그 뒤에 붙여 결론을 읽는 식으로 단계화.
실행 — 정답: D
5.G.B.3 단계 1 - 행복·보라·덧셈·뺄셈 네 박스를 그리고 각 사실을 화살표로 표시.
- 사실 1: 행복 → 덧셈.
- 사실 2: 보라 → 뺄셈 아님.
- 사실 3: 뺄셈 아님 → 덧셈 아님.
💡 'P면 Q'는 박스 사이 화살표 한 개로 표현됨.
5.G.B.3 단계 2 - 사실 2와 3을 연결: 보라 → 뺄셈 아님 → 덧셈 아님.
- 즉 보라색 뱀은 덧셈을 못 함.
💡 A→B와 B→C가 있으면 A→C까지 한 줄로 이어지는 추이 추론.
5.G.B.3 단계 3 - 사실 1(행복 → 덧셈)을 거꾸로 읽음 — 대우.
- 덧셈을 못 하면 행복하지 않음.
💡 '모든 A는 B다'와 'B 아닌 것은 모두 A 아니다'는 같은 말.
5.G.B.3 단계 4 - 단계 2와 3을 이으면 보라 → 덧셈 아님 → 행복 아님.
- 즉 보라색 뱀은 모두 행복하지 않음.
- 이는 '행복한 뱀은 보라가 아님'과 같음.
💡 두 화살표를 잇고 대우로 뒤집어 보기 표현에 맞춤.
5.G.B.3 단계 5 - 보기와 대조.
- (A) 보라 → 덧셈: 단계 2와 정반대 — 거짓.
- (B) 보라 → 행복: 강제 안 됨.
- (C) 덧셈 → 보라: 강제 안 됨 (행복한 뱀은 덧셈도 하고 보라도 아님).
- (D) 행복 → 보라 아님: 단계 4와 정확히 일치 — 채택.
- (E) 행복 → 뺄셈 아님: 강제 안 됨 (사실 2는 보라에 대해서만).
- 따라서 (D).
💡 다섯 보기를 차례로 확인해 사슬이 강제하는 것만 남김.
5.G.B.3 행복·보라·덧셈·뺄셈 네 박스를 그리고 각 사실을 화살표로 표시. 사실 1: 행복 → 덧셈. 사실 2: 보라 → 뺄셈 아님. 사실 3: 뺄셈 아 5.G.B.3 사실 2와 3을 연결: 보라 → 뺄셈 아님 → 덧셈 아님. 즉 보라색 뱀은 덧셈을 못 함. 5.G.B.3 사실 1(행복 → 덧셈)을 거꾸로 읽음 — 대우. 덧셈을 못 하면 행복하지 않음. 5.G.B.3 단계 2와 3을 이으면 보라 → 덧셈 아님 → 행복 아님. 즉 보라색 뱀은 모두 행복하지 않음. 이는 '행복한 뱀은 보라가 아님'과 같음. 5.G.B.3 보기와 대조. (A) 보라 → 덧셈: 단계 2와 정반대 — 거짓. (B) 보라 → 행복: 강제 안 됨. (C) 덧셈 → 보라: 강제 안 됨 (행 검토
합리성 확인: 구체적으로 모순법 확인. 행복한 뱀이 있다고 하자. 사실 1로 덧셈 가능. 만약 그 뱀이 보라라면, 사실 2로 뺄셈 불가, 사실 3으로 덧셈 불가 — 방금 덧셈이 가능하다고 했는데 모순. 따라서 행복한 뱀은 보라가 아니다 — (D) 확정. 마리 수 $13, 4, 5$는 추론에 한 번도 쓰이지 않음 — 문제의 둥근 수가 주는 신호와 일치.
대안 접근: 도구 #4(격자 논리표) — 행복·보라·덧셈·뺄셈 네 속성의 $2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$ 조합 표를 만들고 사실 1·2·3을 어기는 행을 모두 지움. 남은 행 중 행복인 모든 줄은 보라가 아님 — (D) 확정. 더 체계적이지만 대우 사슬보다 느림.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)
5.G.B.3한 범주에 속하는 속성은 그 하위 범주 모두에 적용된다는 이해 ('모든 행복한 뱀은 덧셈을 한다'를 행복 ⊆ 덧셈가능 으로 해석하고, 포함 관계를 잇고 대우로 뒤집어 행복 ⊆ 보라아님 을 끌어냄.)
⭐ 이 AMC 12 문제는 사실 5학년 범주 추론만 알면 풀 수 있어요 — '모든 $A$ 는 $B$' 를 화살표로 그리고, 보라 → 뺄셈 아님 → 덧셈 아님을 잇고, 행복 → 덧셈의 대우를 붙이면 행복 → 보라 아님이라는 사슬이 나와 (D)가 답.
⭐ 이 AMC 12 문제는 사실 5학년 범주 추론만 알면 풀 수 있어요 — '모든 $A$ 는 $B$' 를 화살표로 그리고, 보라 → 뺄셈 아님 → 덧셈 아님을 잇고, 행복 → 덧셈의 대우를 붙이면 행복 → 보라 아님이라는 사슬이 나와 (D)가 답.
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