AMC 10 · 2021 · #2
쉬운 모드 학년 3카드는 직사각형이고, 한 변은 4인치, 다른 한 변은 6인치입니다.
이 카드의 한 변을 1인치 짧게 자릅니다. 그러면 남은 카드의 넓이는 18제곱인치가 됩니다.
이번에는 처음 카드로 다시 돌아가서, 대신 다른 변을 1인치 짧게 자릅니다. 그 카드의 넓이는 몇 제곱인치일까요?
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 가로세로가 $4$ 인치와 $6$ 인치인 카드가 있다. 두 변의 길이 중 하나를 $1$ 인치 줄였더니 남은 카드의 넓이가 $18$ 제곱인치가 되었다. 문제는 어느 변을 줄였는지 말해 주지 않는다. 대신 다른 쪽 변을 $1$ 인치 줄였다면 카드의 넓이가 얼마가 되는지 구하여라.
주어진 것: 카드는 처음에 $4 \times 6$ 직사각형이므로 넓이는 $4 \times 6 = 24$ 제곱인치이다; 한 변을 $1$ 인치 줄이면 넓이가 $18$ 제곱인치인 카드가 남는다; 선택지: (A) $16$, (B) $17$, (C) $18$, (D) $19$, (E) $20$ 제곱인치
구하는 것: 다른 쪽 변을 $1$ 인치 줄였을 때 카드의 넓이(제곱인치)
이해
문제 재정리: 가로세로가 $4$ 인치와 $6$ 인치인 카드가 있다. 두 변의 길이 중 하나를 $1$ 인치 줄였더니 남은 카드의 넓이가 $18$ 제곱인치가 되었다. 문제는 어느 변을 줄였는지 말해 주지 않는다. 대신 다른 쪽 변을 $1$ 인치 줄였다면 카드의 넓이가 얼마가 되는지 구하여라.
주어진 것: 카드는 처음에 $4 \times 6$ 직사각형이므로 넓이는 $4 \times 6 = 24$ 제곱인치이다; 한 변을 $1$ 인치 줄이면 넓이가 $18$ 제곱인치인 카드가 남는다; 선택지: (A) $16$, (B) $17$, (C) $18$, (D) $19$, (E) $20$ 제곱인치
계획
주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기
보조 도구: #3 가능성 지우기, #1 그림 그리기
빠져 있는 정보 — 어느 변을 줄였는가 — 는 후보가 둘뿐이므로, 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 짐작하는 대신 두 카드와 두 넓이를 두 줄짜리 표에 적는다. 그다음 도구 #3(가능성 지우기)이 문제가 건네준 단 하나의 수, 즉 넓이 $18$을 이용해 맞지 않는 줄을 지운다. 살아남은 줄이 실제로 자른 변을 알려 주고, 지워진 줄이 바로 문제가 묻는 카드이다. 도구 #1(그림 그리기)은 두 자르기를 헷갈리지 않게 해 준다. 직사각형을 그려 보면 한 변을 줄이는 것이 한쪽 가장자리에서 얇은 띠를 떼어 내는 것임이 보이고, 두 자르기가 서로 바꿔 쓸 수 없다는 것이 분명해진다.
실행 — 정답: E
3.MD.C.7 단계 1 카드와 두 가지 자르기 보기
- 한 쌍의 변이 $4$ 인치, 다른 한 쌍이 $6$ 인치인 직사각형으로 카드를 그려 보자.
- 넓이는 변끼리의 곱인 $4 \times 6 = 24$ 제곱인치이다.
- 한 변을 $1$ 인치 줄인다는 것은 한쪽 가장자리에서 폭 $1$ 인치인 띠를 깎아 내는 것이고, 깎을 수 있는 가장자리는 둘뿐이다.
- $4$ 인치 쪽이 $3$으로 줄거나, $6$ 인치 쪽이 $5$로 줄거나이다.
💡 직사각형의 변의 길이는 두 종류뿐이므로 "한 변을 줄인다"는 말은 두 가지 중 하나일 수밖에 없다.
3.MD.C.7 단계 2 만들어지는 두 카드를 나열하기
- 두 줄짜리 표를 적어 보자.
- 자르기 A는 $4$를 $3$으로 줄이고 $6$은 그대로 두므로 $3 \times 6$ 카드가 되고 넓이는 $3 \times 6 = 18$ 제곱인치이다.
- 자르기 B는 $6$을 $5$로 줄이고 $4$는 그대로 두므로 $4 \times 5$ 카드가 되고 넓이는 $4 \times 5 = 20$ 제곱인치이다.
- 두 수 모두 같은 규칙에서 나온다.
- 넓이는 두 변의 길이의 곱이다.
💡 가능성이 둘뿐이라면 어느 쪽인지 따지기보다 둘 다 계산해 두는 편이 더 빠르고 안전하다.
3.OA.D.8 단계 3 $18$이 줄을 고르게 하기
- 문제는 실제로 행한 자르기의 결과 넓이가 $18$이라고 말한다.
- $18$이 나오는 것은 자르기 A뿐이므로 실제로 일어난 일은 자르기 A이다.
- 즉 줄인 변은 $4$ 인치 쪽이다.
- 이로써 자르기 B는 그녀가 한 일에서 지워지는데, 바로 그 자르기 B가 문제가 이어서 묻는 "다른 쪽 변"이다.
💡 주어진 넓이는 장식이 아니라, 두 자르기 중 어느 쪽을 이야기하고 있는지 알려 주는 단서이다.
3.MD.C.7 단계 4 남은 줄을 읽기
- 다른 쪽 변을 줄인다는 것은 $4$ 인치 쪽은 그대로 두고 $6$ 인치 쪽을 $5$로 자른다는 뜻이다.
- 그것은 이미 표에 있는 $4 \times 5$ 카드이고 넓이는 $4 \times 5 = 20$ 제곱인치이다.
- 확인해 보면, 원래 카드는 $24$ 제곱인치이고 이 자르기는 폭 $1$ 인치, 길이 $4$ 인치인 띠를 떼어 내므로 $24 - 4 = 20$으로 일치한다.
- 답은 (E)이다.
💡 어느 자르기를 말한 것인지 알고 나면, 답은 쓰지 않고 남겨 둔 표의 나머지 줄이다.
3.MD.C.7 한 쌍의 변이 $4$ 인치, 다른 한 쌍이 $6$ 인치인 직사각형으로 카드를 그려 보자. 넓이는 변끼리의 곱인 $4 \times 6 = 24$ 3.MD.C.7 두 줄짜리 표를 적어 보자. 자르기 A는 $4$를 $3$으로 줄이고 $6$은 그대로 두므로 $3 \times 6$ 카드가 되고 넓이는 $3 \t 3.OA.D.8 문제는 실제로 행한 자르기의 결과 넓이가 $18$이라고 말한다. $18$이 나오는 것은 자르기 A뿐이므로 실제로 일어난 일은 자르기 A이다. 즉 3.MD.C.7 다른 쪽 변을 줄인다는 것은 $4$ 인치 쪽은 그대로 두고 $6$ 인치 쪽을 $5$로 자른다는 뜻이다. 그것은 이미 표에 있는 $4 \times 검토
합리성 확인: 한 변을 $1$ 인치 자르면 항상 다른 쪽 변의 길이만큼의 넓이를 가진 띠가 떨어져 나가므로, 두 자르기는 원래 넓이 $24$에서 각각 $6$과 $4$를 덜어 낸다. $6$을 덜어 낸 쪽이 $18$이었으니 $4$만 덜어 낸 쪽은 $18$보다 크고 $24$보다 작아야 하는데, $20$이 정확히 그 자리에 있다. 또 하나의 점검: 새 넓이는 $\{3,4\}$와 $\{5,6\}$에서 고른 정수 변의 곱이어야 하므로 (D) $19$와 (B) $17$은 소수라서 곧바로 제외된다. 선택지 (C) $18$은 문제가 이미 준 넓이를 되풀이하는 함정이고, (A) $16$은 한 변이 아니라 두 변을 모두 줄여야 나오는 수이다.
대안 접근: 표를 건너뛰고 떨어져 나가는 띠로 생각하자. 한 변을 $1$ 인치 자르면 폭이 $1$ 인치이고 길이가 다른 쪽 변인 직사각형이 떨어져 나간다. 넓이가 $24$에서 $18$로 줄었으니 떨어진 띠의 넓이는 $6$이고, 따라서 그 길이는 $6$이다. 즉 자른 변은 $4$ 인치 쪽이었다. 다른 쪽을 자르면 넓이 $1 \times 4 = 4$인 띠가 떨어지므로 $24 - 4 = 20$ 제곱인치가 남는다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 3)
3.MD.C.7Relate area to multiplication and addition operations (각 직사각형 카드의 넓이를 두 변의 길이의 곱($4 \times 6$, $3 \times 6$, $4 \times 5$)으로 구하고, 잘린 가장자리를 떨어져 나간 띠의 넓이로 보는 데 사용.)3.OA.D.8Solve two-step word problems using four operations within 100 (주어진 넓이 $18$로 두 자르기 중 어느 쪽을 이야기하는지 판단하고, 그 판단을 다른 자르기의 두 번째 곱셈으로 이어 가는 데 사용.)
⭐ 어느 변이 바뀌었는지 문제가 숨기고 있다면 두 경우를 모두 해 보자 — 문제가 건네준 수가 어느 쪽이 실제로 일어난 일인지 알려 주고, 지워 둔 쪽이 대개 다음에 묻는 것이다.
⭐ 어느 변이 바뀌었는지 문제가 숨기고 있다면 두 경우를 모두 해 보자 — 문제가 건네준 수가 어느 쪽이 실제로 일어난 일인지 알려 주고, 지워 둔 쪽이 대개 다음에 묻는 것이다.
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