AMC 10 · 2021 · #5
쉬운 모드 학년 5전봇대들이 길을 따라 일정한 간격으로 한 줄로 서 있습니다.
에뮤 Elmer는 한 전봇대에서 바로 옆 전봇대까지 똑같은 걸음으로 44번 만에 갑니다. 타조 Oscar는 같은 거리를 똑같은 점프로 12번 만에 갑니다.
이 줄에서 41번째 전봇대는 첫 번째 전봇대로부터 정확히 1마일(5280피트) 떨어져 있습니다.
Oscar의 점프 한 번은 Elmer의 걸음 한 번보다 몇 피트 더 길까요?
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 시골 도로를 따라 전봇대가 같은 간격으로 서 있다. 에뮤 Elmer는 이웃한 두 전봇대 사이를 44번의 똑같은 보폭으로 걷고, 타조 Oscar는 같은 구간을 12번의 똑같은 도약으로 건넌다. 1번째 전봇대에서 41번째 전봇대까지의 거리는 정확히 1마일, 즉 5280피트이다. Oscar의 도약 한 번이 Elmer의 보폭 한 번보다 몇 피트 더 긴지 구하여라.
주어진 것: 전봇대는 같은 간격으로 서 있으므로 이웃한 전봇대 사이의 간격은 모두 같다.; Elmer는 한 간격을 건너는 데 똑같은 보폭 44번이 필요하다.; Oscar는 바로 그 같은 간격을 똑같은 도약 12번으로 건넌다.; 1번째 전봇대에서 41번째 전봇대까지의 거리는 5280피트이다.
구하는 것: Oscar의 도약 한 번의 길이에서 Elmer의 보폭 한 번의 길이를 뺀 값(피트).
이해
문제 재정리: 시골 도로를 따라 전봇대가 같은 간격으로 서 있다. 에뮤 Elmer는 이웃한 두 전봇대 사이를 44번의 똑같은 보폭으로 걷고, 타조 Oscar는 같은 구간을 12번의 똑같은 도약으로 건넌다. 1번째 전봇대에서 41번째 전봇대까지의 거리는 정확히 1마일, 즉 5280피트이다. Oscar의 도약 한 번이 Elmer의 보폭 한 번보다 몇 피트 더 긴지 구하여라.
주어진 것: 전봇대는 같은 간격으로 서 있으므로 이웃한 전봇대 사이의 간격은 모두 같다.; Elmer는 한 간격을 건너는 데 똑같은 보폭 44번이 필요하다.; Oscar는 바로 그 같은 간격을 똑같은 도약 12번으로 건넌다.; 1번째 전봇대에서 41번째 전봇대까지의 거리는 5280피트이다.
계획
주요 도구: #8 단위 살펴보기
보조 도구: #1 그림 그리기, #7 작은 문제로 쪼개기
여기 나오는 수는 모두 거리(피트) 아니면 걸음 수이고, 문제가 원하는 것은 보폭 하나당 피트와 도약 하나당 피트이다. 단위를 살펴보면 어떤 나눗셈을 해야 하는지가 그대로 드러난다. 피트를 걸음 수로 나누면 걸음 하나당 피트가 된다. 단위가 도와주지 못하는 곳은 전봇대 개수뿐이므로, 나눗셈을 시작하기 전에 간단한 그림으로 전봇대 41개가 간격을 몇 개 만드는지부터 확정한다.
실행 — 정답: B
4.OA.A.3 단계 1 전봇대가 아니라 간격을 세기
- 전봇대 몇 개를 일렬로 그려 보자.
- 전봇대 2개는 간격 1개, 3개는 간격 2개, 4개는 간격 3개를 만든다.
- 전봇대가 하나 늘 때마다 간격이 정확히 하나씩 늘어나므로, 간격의 개수는 항상 전봇대 개수보다 1 작다.
- 1번째 전봇대부터 41번째 전봇대까지는 전봇대가 41개이므로 간격은 41개가 아니라 40개이다.
💡 첫 전봇대는 뒤에 간격을 만들지 않고 줄을 시작하므로, 전봇대는 언제나 간격보다 정확히 하나 많다.
5.NBT.B.6 단계 2 간격 하나의 길이 구하기
- 40개의 간격은 길이가 모두 같고, 그것들이 합쳐져 5280피트 전체를 이룬다.
- 1마일을 똑같은 40조각으로 나누면 간격 하나의 길이가 나온다.
💡 간격이 일정하다는 것은 1마일이 똑같은 40조각으로 잘렸다는 뜻이므로, 한 조각은 1마일을 40으로 나눈 값이다.
5.NBT.B.6 단계 3 같은 132피트를 두 가지로 나누기
- 두 동물 모두 간격 하나를 건너므로 둘 다 132피트를 이동한다.
- Elmer는 그것을 똑같은 보폭 44번으로 해내므로, 보폭 하나는 132피트를 44걸음으로 나눈 값이다.
- Oscar는 똑같은 도약 12번으로 해내므로, 도약 하나는 132피트를 12걸음으로 나눈 값이다.
- 두 경우 모두 단위가 피트 나누기 걸음 수이므로 결과는 걸음 하나당 피트가 된다.
💡 정해진 거리 하나를 더 많은 걸음으로 나눠 가지면 걸음이 짧아지므로, 같은 132피트가 짧은 보폭과 긴 도약을 만든다.
4.NBT.B.4 단계 4 빼서 비교하기
- 문제는 도약이 보폭보다 몇 피트 더 긴지를 묻고 있으므로, 비가 아니라 뺄셈이다.
- 도약 하나는 11피트, 보폭 하나는 3피트이므로 도약이 11 - 3 = 8피트 더 길다.
- 이것이 선택지 (B)이다.
- Oscar의 도약 길이 11피트에서 멈추고 빼기를 잊은 채 선택지 (D)를 고르는 실수가 흔하다.
💡 "얼마나 더 긴가"는 언제나 두 길이의 차를 뜻하므로, 마지막 동작은 뺄셈이다.
4.OA.A.3 전봇대 몇 개를 일렬로 그려 보자. 전봇대 2개는 간격 1개, 3개는 간격 2개, 4개는 간격 3개를 만든다. 전봇대가 하나 늘 때마다 간격이 5.NBT.B.6 40개의 간격은 길이가 모두 같고, 그것들이 합쳐져 5280피트 전체를 이룬다. 1마일을 똑같은 40조각으로 나누면 간격 하나의 길이가 나온다. 5.NBT.B.6 두 동물 모두 간격 하나를 건너므로 둘 다 132피트를 이동한다. Elmer는 그것을 똑같은 보폭 44번으로 해내므로, 보폭 하나는 132피트를 4.NBT.B.4 문제는 도약이 보폭보다 몇 피트 더 긴지를 묻고 있으므로, 비가 아니라 뺄셈이다. 도약 하나는 11피트, 보폭 하나는 3피트이므로 도약이 11 검토
합리성 확인: 두 걸음 수를 간격 하나에 대입해 확인해 보자. 3피트짜리 보폭 44번은 $44 \times 3 = 132$피트이고, 11피트짜리 도약 12번은 $12 \times 11 = 132$피트이므로 두 동물이 정말로 같은 간격을 이동한다. 크기도 상식에 맞는다. Oscar는 Elmer보다 걸음 수가 $\frac{44}{12} = \frac{11}{3}$배 적으므로 도약은 보폭의 $\frac{11}{3}$배여야 하는데, 실제로 $3 \times \frac{11}{3} = 11$이다. 타조의 11피트 도약과 에뮤의 3피트 보폭은 큰 새에게 그럴듯하고, 8피트라는 차도 주어진 선택지 안에 있다.
대안 접근: 간격 하나 대신 1마일 전체로 계산할 수도 있다. 40개의 간격 전체에서 Elmer는 $40 \times 44 = 1760$번 걷고 Oscar는 $40 \times 12 = 480$번 도약하며, 둘 다 5280피트를 이동한다. 그러면 보폭 하나는 $\frac{5280}{1760} = 3$피트, 도약 하나는 $\frac{5280}{480} = 11$피트가 되어 차는 똑같이 8피트이다. 이 방법은 간격 132피트를 구하는 단계를 아예 건너뛴다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)
4.OA.A.3네 가지 연산을 사용하여 여러 단계의 문장제 해결하기 (계산을 시작하기 전에 같은 간격으로 선 전봇대 41개를 간격 40개로 바꾸기.)5.NBT.B.6네 자리 피제수와 두 자리 제수의 자연수 몫 구하기 (간격 길이를 위해 5280을 40으로 나누고, 보폭과 도약을 위해 132를 44와 12로 나누기.)4.NBT.B.4여러 자리 자연수를 능숙하게 더하고 빼기 (도약이 보폭보다 얼마나 더 긴지 답하기 위해 11 - 3 계산하기.)
⭐ 전봇대가 아니라 그 사이의 간격을 세고, 그다음은 단위에 맡기면 된다. 피트를 걸음 수로 나누면 걸음 하나의 길이가 나온다.
⭐ 전봇대가 아니라 그 사이의 간격을 세고, 그다음은 단위에 맡기면 된다. 피트를 걸음 수로 나누면 걸음 하나의 길이가 나온다.
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