AMC 10 · 2021 · #1

쉬운 모드 학년 4

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문제

여기 네 개의 수가 있습니다: $1234$ , $2341$ , $3412$ , $4123$ .

네 수를 모두 더하세요. 합은 얼마일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$10{,}000$

(B)

$10{,}010$

(C)

$10{,}110$

(D)

$11{,}000$

(E)

$11{,}110$

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 네 자리 수 $1234$, $2341$, $3412$, $4123$을 모두 더하고, 그 합을 다섯 개의 선택지 가운데 하나와 맞춰라.

주어진 것: 더해야 할 네 수는 $1234$, $2341$, $3412$, $4123$이다; 네 수 모두 숫자 $1$, $2$, $3$, $4$를 각각 한 번씩만 써서 만들어졌다; 각 수는 바로 앞 수의 맨 앞 숫자를 맨 뒤로 옮긴 것이다(순환 이동); 선택지: (A) $10{,}000$, (B) $10{,}010$, (C) $10{,}110$, (D) $11{,}000$, (E) $11{,}110$

구하는 것: 합 $1234 + 2341 + 3412 + 4123$의 값

이해

문제 재정리: 네 자리 수 $1234$, $2341$, $3412$, $4123$을 모두 더하고, 그 합을 다섯 개의 선택지 가운데 하나와 맞춰라.

계획

주요 도구: #5 패턴 찾기

보조 도구: #15 다르게 정리하기, #7 작은 문제로 쪼개기

그냥 세로셈으로 더해도 되지만, 네 수는 같은 네 숫자를 순환 이동시킨 것이고 도구 #5(패턴 찾기)로 그 사실을 알아채면 그것만으로 풀이가 끝난다. 그 패턴을 눈에 보이게 만드는 것이 도구 #15(다르게 정리하기)다. 각 수를 가로로 읽는 대신, 수들을 세로로 쌓아 자릿값 열을 아래로 읽는 것이다. 그러면 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 전체 합을 네 개의 독립적인 열의 합으로 나눌 수 있고, 각 열의 합은 모두 똑같이 쉬운 $1 + 2 + 3 + 4$가 된다.

실행 — 정답: E

#15 다르게 정리하기 4.NBT.A.2 단계 1

수를 쌓아 놓고 아래로 읽기

네 수를 자릿값을 맞춰 세로로 쓴다.
가로로 한 줄을 읽으면 하나의 수가 되고, 세로로 한 열을 읽으면 같은 자릿값을 나누어 가진 네 개의 숫자가 나온다.
천의 자리 열은 $1, 2, 3, 4$이다.
백의 자리 열은 $2, 3, 4, 1$이다.
십의 자리 열은 $3, 4, 1, 2$이다.
일의 자리 열은 $4, 1, 2, 3$이다.

$$\begin{array}{r} 1\,2\,3\,4 \\ 2\,3\,4\,1 \\ 3\,4\,1\,2 \\ 4\,1\,2\,3 \end{array}$$

💡 쌓아 놓은 수의 한 열을 읽으면 어떤 숫자들이 같은 자릿값을 놓고 모여 있는지가 보인다.

#5 패턴 찾기 4.NBT.A.1 단계 2

모든 열에 1, 2, 3, 4가 한 번씩

각 열에 무엇이 들어 있는지 보자.
어느 열이든 숫자 $1$, $2$, $3$, $4$가 순서만 다를 뿐 한 번씩 들어 있고, 같은 숫자가 두 번 나오는 일은 없다.
각 수가 바로 위의 수를 한 칸 옮긴 것이라서, 아래로 내려갈수록 어떤 숫자든 열에서 열로 미끄러지며 모든 열에 정확히 한 번씩 들르기 때문이다.
그래서 모든 열의 합은 예외 없이 $1 + 2 + 3 + 4 = 10$이다.

네 열 모두에서 $1 + 2 + 3 + 4 = 10$

💡 순환 이동은 모든 숫자를 모든 자리로 한 번씩 보내므로, 어느 자리도 특별대우를 받지 않는다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NBT.B.4 단계 3

열의 합에서 전체 합 되살리기

각 열은 자기 자릿값만큼 $10$개씩을 보탠다.
곧 천이 $10$개, 백이 $10$개, 십이 $10$개, 일이 $10$개다.
이는 $10 \times 1000 + 10 \times 100 + 10 \times 10 + 10 \times 1$이고, 공통인수 $10$을 묶어 내면 $10 \times 1111 = 11110$이다.
쉼표를 넣어 쓰면 합은 $11{,}110$이고, 이는 선택지 (E)이다.

$$10 \times 1000 + 10 \times 100 + 10 \times 10 + 10 \times 1 = 10 \times 1111 = 11{,}110$$

💡 모든 자리에 똑같은 개수가 들어 있다면, 네 번 더하는 대신 그 개수를 묶어 한 번만 곱하면 된다.

[1] #15 4.NBT.A.2 네 수를 자릿값을 맞춰 세로로 쓴다. 가로로 한 줄을 읽으면 하나의 수가 되고, 세로로 한 열을 읽으면 같은 자릿값을 나누어 가진 네 개의 숫자

[2] #5 4.NBT.A.1 각 열에 무엇이 들어 있는지 보자. 어느 열이든 숫자 $1$, $2$, $3$, $4$가 순서만 다를 뿐 한 번씩 들어 있고, 같은 숫자가 두

[3] #7 4.NBT.B.4 각 열은 자기 자릿값만큼 $10$개씩을 보탠다. 곧 천이 $10$개, 백이 $10$개, 십이 $10$개, 일이 $10$개다. 이는 $10 \ti

검토

합리성 확인: 직접 더해서 확인해 보자. $1234 + 2341 = 3575$이고 $3412 + 4123 = 7535$이며, $3575 + 7535 = 11110$이다. $11{,}110$이 맞다. 크기를 어림해 봐도 들어맞는다. 각 수는 평균적으로 $2500$에 조금 못 미치고 그런 수 네 개면 $10{,}000$ 근처이므로, $11{,}000$을 갓 넘는 합은 알맞은 크기다. 나머지 선택지들은 평균 약 $2778$인 네 수의 합을 담기에는 모두 너무 작다.

대안 접근: 일의 자리와 받아올림만 따라가 보자. 일의 자리 열의 합이 $10$이므로 합은 $0$으로 끝나고 $1$을 십의 자리로 올린다. 십의 자리 열도 합이 $10$이고 여기에 올라온 $1$을 더하면 $11$이니, $1$을 쓰고 $1$을 올린다. 백의 자리와 천의 자리에서도 똑같은 일이 반복되므로 남은 자리의 숫자는 모두 $1$이 되고, 마지막 $1$이 맨 앞으로 올라간다. 전체 합을 계산하지 않고도 숫자가 $11110$으로 나오며, $0$으로 끝나고 앞이 $1$들인 선택지는 (E)뿐이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.NBT.A.2 Read and write multi-digit whole numbers and compare using symbols (네 수를 자릿값에 맞춰 세로로 정렬하고 각 자릿값 열을 읽어 어떤 숫자들이 같은 자리를 공유하는지 확인하는 데 사용.)
4.NBT.A.1 Recognize that a digit represents ten times what it represents in place to its right (한 열의 값이 그 열의 숫자 합에 자릿값을 곱한 것임을 알고, 합이 $10$인 열이 천 $10$개, 백 $10$개처럼 기여함을 파악하는 데 사용.)
4.NBT.B.4 Fluently add and subtract multi-digit whole numbers (네 열의 기여를 합쳐 $10 \times 1111 = 11{,}110$을 얻고, 직접 세로셈으로 검산하는 데 사용.)

⭐ 같은 숫자들을 섞어 만든 수들을 더할 때는 가로가 아니라 세로 열로 더해 보라. 모든 열의 숫자 합이 같아서 전체 합이 한 번에 나온다.