AMC 8 · 2012 · #14

쉬운 모드 학년 5

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문제

어느 미식축구 리그에는 여러 팀이 있습니다. 시즌 동안 각 팀은 다른 모든 팀과 정확히 한 번씩 경기를 합니다.

시즌이 끝났을 때, 총 $21$ 경기가 열렸어요.

이 리그에는 몇 팀이 속해 있을까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 중학교 미식축구 BIG N 컨퍼런스에서는 모든 팀이 다른 모든 팀과 정확히 한 번씩 경기를 합니다. $2012$ 시즌 동안 총 $21$ 경기가 열렸다면, 이 컨퍼런스에는 몇 팀이 소속되어 있을까요?

주어진 것: 두 팀씩 짝지어 정확히 한 경기를 치름(라운드로빈); 총 경기 수 $= 21$; 선택지: (A) $6$, (B) $7$, (C) $8$, (D) $9$, (E) $10$

구하는 것: 컨퍼런스 소속 팀의 수 $n$

이해

주어진 것: 두 팀씩 짝지어 정확히 한 경기를 치름(라운드로빈); 총 경기 수 $= 21$; 선택지: (A) $6$, (B) $7$, (C) $8$, (D) $9$, (E) $10$

계획

주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기

보조 도구: #6 추측하고 확인하기, #5 패턴 찾기

한 경기는 두 팀의 짝이므로, 결국 "$n$ 팀에서 만들 수 있는 짝의 수" 를 묻는 문제입니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 작은 $n$ 부터 짝을 직접 적습니다 — $3$ 팀이면 AB, AC, BC 의 $3$ 경기, $4$ 팀이면 AB, AC, AD, BC, BD, CD 의 $6$ 경기. 도구 #5(패턴 찾기)는 이 수들을 "새 팀 $n$ 이 들어오면 이전 팀들과 $n-1$ 경기가 더해진다" 는 규칙으로 정리해, 누적 합 $1, 3, 6, 10, 15, 21, \ldots$ 을 만들어 줍니다. 마지막으로 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 $21$이 나오는 선택지를 골라내면 대수 없이 답이 나옵니다.

실행 — 정답: B

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.A.3 단계 1

작은 경우부터 해 보기

가장 작은 경우부터 시작합니다.
$2$ 팀이면 AB 한 경기뿐이므로 $1$.
세 번째 팀 C 가 합류하면 C 는 A, B 와 한 번씩 새로 경기하므로 $2$ 경기가 더해져 총 $1 + 2 = 3$.
새 팀은 항상 "이전 팀 전부와 한 번씩" 경기합니다.

$n = 2 \Rightarrow 1$ 경기; $\;n = 3 \Rightarrow 1 + 2 = 3$ 경기

💡 A → B → C 순서로 짝을 적어 내려가는 것이 "빠짐없이 나열하기" 핵심으로, 빠뜨림도 중복도 생기지 않습니다.

#5 패턴 찾기 5.OA.A.2 단계 2

규칙 찾기

패턴을 봅니다.
팀 하나가 늘어날 때마다 새 팀은 이전 팀 모두와 정확히 한 번씩 경기하므로, $n$ 번째 팀을 추가하면 $n-1$ 경기가 새로 생깁니다.
따라서 $n$ 팀의 총 경기 수는 $1 + 2 + 3 + \cdots + (n-1)$의 합입니다.

$$\text{경기수}(n) = 1 + 2 + 3 + \cdots + (n-1)$$

💡 결과를 (자연수의 합이라는) 수식으로 적는 것은 5학년 "수치 표현 쓰기·해석하기" 와 정확히 같은 동작입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.A.3 단계 3

21까지 누적 합 늘리기

이 누적 합을 $21$이 나올 때까지 표로 이어갑니다.
(팀 수, 경기 수)의 작은 표를 유지합니다.

$$n = 2, 3, 4, 5, 6, 7 \Rightarrow \text{경기수} = 1, 3, 6, 10, 15, 21$$

💡 한 줄씩 다음 자연수를 더해 가면 $10 + 5 = 15$, 그다음 $15 + 6 = 21$ — 우리가 찾던 $21$이 정확히 등장합니다.

#6 추측하고 확인하기 4.OA.A.3 단계 4

선택지와 맞춰 보기

선택지에 도구 #6(추측하고 확인하기)을 적용해 답을 확인합니다.
누적 합이 정확히 $21$이 되는 $n$ 을 찾습니다.

$n = 6 \Rightarrow 15$ (작음); $\;n = 7 \Rightarrow 21$ \checkmark; $\;n = 8 \Rightarrow 28$ (큼)

💡 $21$ 경기를 정확히 만드는 선택지는 (B) $n = 7$ 뿐이므로 답은 $\textbf{(B)}$.

[1] #2 4.OA.A.3 가장 작은 경우부터 시작합니다. $2$ 팀이면 AB 한 경기뿐이므로 $1$. 세 번째 팀 C 가 합류하면 C 는 A, B 와 한 번씩 새로 경기

[2] #5 5.OA.A.2 패턴을 봅니다. 팀 하나가 늘어날 때마다 새 팀은 이전 팀 모두와 정확히 한 번씩 경기하므로, $n$ 번째 팀을 추가하면 $n-1$ 경기가 새로

[3] #2 4.OA.A.3 이 누적 합을 $21$이 나올 때까지 표로 이어갑니다. (팀 수, 경기 수)의 작은 표를 유지합니다.

[4] #6 4.OA.A.3 선택지에 도구 #6(추측하고 확인하기)을 적용해 답을 확인합니다. 누적 합이 정확히 $21$이 되는 $n$ 을 찾습니다.

검토

합리성 확인: 다른 방식으로 한 번 더 확인합니다. $7$ 팀 각각이 나머지 $6$ 팀과 한 번씩 경기하므로 겉보기엔 $7 \times 6 = 42$ 경기 슬롯이 생깁니다. 그런데 모든 경기는 두 팀의 관점에서 두 번 세어진 것이므로 실제 경기 수는 $42 \div 2 = 21$. 주어진 총 경기 수와 정확히 일치하므로 $n = 7$이 맞습니다.

대안 접근: 도구 #13(대수로 바꾸기)을 쓰면 짝의 수 공식 $\binom{n}{2} = \dfrac{n(n-1)}{2} = 21$ 에서 $n(n-1) = 42$. 두 연속한 자연수 곱이 $42$ 인 경우는 $6 \times 7$ 뿐이므로 $n = 7$. 위에서 사용한 "빠짐없이 나열하기" 방법은 같은 답을 변수·방정식 없이 얻어 줘서, 어린 학습자에게 더 잘 맞습니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

4.OA.A.3 사칙연산을 이용한 자연수 다단계 문장제 해결 (팀 수가 적을 때의 경기 수($1, 3, 6, 10, 15, 21$)를 차례로 세고, 누적 합을 선택지와 맞춰 보는 자연수 다단계 문장제 풀이에 사용.)
5.OA.A.2 수치 표현(numerical expressions) 쓰기와 해석하기 ($n$ 팀의 총 경기 수를 $1 + 2 + 3 + \cdots + (n-1)$ 라는 수식으로 표현하고, 방정식을 풀지 않고 그 값을 직접 계산하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 팀을 한 명씩 늘려 가며 경기 수를 적어 보는 것만으로 풀 수 있어요 — 대수는 필요 없습니다.