경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2003 · #15
학년 5 geometry-3d
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AMC 8 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
문제는 2D 두 뷰를 주고 3D 도형을 구성하라고 합니다 — 도구 #10(직접 만져보기)의 전형적인 신호죠. 실제 또는 머릿속의 단위 정육면체를 격자에 올려놓으며 두 "그림자"가 모두 맞을 때까지 맞춰 봅니다. 도구 #17(공간 상상하기)은 한 정육면체가 두 뷰에 동시에 쓰이도록 한 축 방향으로 정렬해 개수를 줄이는 데 도움이 됩니다. 도구 #3(가능성 지우기)은 객관식 안전망입니다. 최소 후보 3부터 확인합니다 — 정면 뷰에 칸이 3 개 있으니 3 개로 가능한지 묻고, 연결 조건에서 막히면 답이 4로 굳어집니다.
좌표축 세우기
축을 잡아 뷰를 투영으로: 정면 뷰는 y축을 눌러 (x,z), 측면 뷰는 x축을 눌러 (y,z)로 보입니다.
3D 위치를 두 개의 2D 그림으로 읽는 건 5학년 좌표축 아이디어를 한 축 더 늘린 것뿐입니다.
5.G.A.1Visualize Spatial Relationships두 방향 그림 해석하기
두 뷰를 격자 칸으로 해독: 정면 L자는 (0,0),(0,1),(1,0), 측면 L자는 (0,0),(1,0),(1,1)을 채웁니다.
각 뷰의 켜진 칸을 좌표쌍 목록으로 적으면 그림이 "맞춰야 할 체크리스트"가 됩니다.
5.G.A.1Create A Physical Representation쌓기나무 겹쳐 줄이기
뷰 방향으로 정렬: (0,0,0),(0,0,1),(1,0,0),(1,1,0)의 4개가 정면·측면 L자로 투영되고 모두 면을 맞댑니다.
뷰가 누르는 축 방향으로 정육면체를 정렬하면 "한 정육면체로 두 뷰 동시에" 처리되어 개수가 최소화됩니다.
5.G.A.1Create A Physical Representation3개인 경우 지우기
3개로는? 꼭대기를 공유하면 두 바닥이 x·y 모두 달라 한쪽이 공중에 떠 면을 못 맞댑니다 — 연결 조건 위배.
두 뷰만 보면 3 개로도 그림자가 맞을 수 있지만, "모든 정육면체는 다른 정육면체와 면을 맞대야 한다" 는 조건이 한 개를 더 강제합니다.
정육면체 세 개로는 모든 정육면체가 다른 정육면체와 면 하나를 온전히 맞대면서 정면도와 측면도를 동시에 만들 수 없다.
▸ 왜?
각 뷰에는 켜진 칸이 정확히 세 개이고, 정육면체 하나는 각 뷰에서 정확히 한 칸을 만든다. 그래서 세 정육면체는 세 칸을 하나씩 대응시켜 덮어야 한다 — 빈틈을 메우거나 겹쳐 쓸 여분의 정육면체가 없다.
▸ 왜?
이 강제된 일대일 덮기는 세 정육면체를 꺾인 모양으로 고정한다: 두 L자 모두 위층에 켜진 칸을 가지므로 한 정육면체는 반드시 위층에 놓여야 하고, 두 뷰가 서로 반대 방향을 보므로 그 바닥 짝은 그 아래에 바로 놓이고 세 번째 정육면체는 다른 바닥 방향으로 비켜 놓인다 — 그래서 두 바닥 정육면체는 두 바닥 방향 모두에서 어긋난다.
▸ 왜?
두 바닥 방향 모두에서 어긋난 두 정육면체는 한쪽 면 전체를 다른 쪽 면 전체에 정확히 포개도록 밀어 옮길 수 없어서 기껏해야 모서리에서만 만나고 면을 온전히 맞대지 못한다. 위층의 한 정육면체는 오직 한 바닥 정육면체 위에만 온전히 얹히므로 다른 바닥 정육면체는 면을 맞댈 이웃이 없어 맞댐 규칙이 깨진다.
최솟값 결론 내리기
4개 구성은 되고 3개는 안 되므로 최소는 4개입니다.
선택지 중 4 만이 "구성 가능 + 그 아래로는 불가능" 을 동시에 만족합니다.
5.G.A.1Eliminate Possibilities두 개의 납작한 뷰, 하나의 3D 답: 뷰가 누르는 축 방향으로 정육면체를 정렬해 겹치고, "공중에 뜨지 않게" 한 개를 더 — 5학년 좌표 사고로 이 AMC 8 문제는 4 개로 풀립니다.
- 좌표축 세우기
- 두 방향 그림 해석하기
- 쌓기나무 겹쳐 줄이기
- 3개인 경우 지우기
- 최솟값 결론 내리기
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