AMC 8 · 2015 · #12

쉬운 모드 학년 4

문제

정육면체를 떠올려봅시다. 정육면체에는 모서리가 모두 $12$ 개 있어요.

두 모서리가 같은 방향을 향하면서 서로 닿지 않으면, 두 모서리를 "평행한 쌍"이라고 부릅니다. 예를 들어 그림에서 $\overline{AB}$ 와 $\overline{GH}$ 는 평행한 쌍이고, $\overline{EH}$ 와 $\overline{FG}$ 도 평행한 쌍이에요.

정육면체에는 모서리의 평행한 쌍이 모두 몇 쌍 있을까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2015 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 정육면체에는 모서리가 $12$ 개 있습니다. 이 모서리들 중에서 서로 평행한 짝(예: $\overline{AB}$와 $\overline{GH}$, $\overline{EH}$와 $\overline{FG}$)이 몇 쌍인지 세어 봅니다.

주어진 것: 도형은 정육면체이고 모서리는 총 $12$ 개; 두 모서리가 같은 방향(또는 정반대 방향)을 가리키면 "평행 한 쌍" 으로 셈; 쌍은 순서를 따지지 않음: $\{e_1, e_2\}$와 $\{e_2, e_1\}$은 같은 한 쌍; 선택지: (A) $6$, (B) $12$, (C) $18$, (D) $24$, (E) $36$

구하는 것: 정육면체 위 평행한 모서리의 (순서를 따지지 않는) 총 쌍 수

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #10 직접 만져보기, #2 빠짐없이 나열하기

$12$ 개 모서리를 일일이 훑어 모든 쌍을 확인하려면 $66$ 쌍을 검사해야 해서, 눈으로 안전하게 셀 수 없습니다. 먼저 도구 #10(직접 만져보기)가 도움이 됩니다 — 휴지 상자 같은 정육면체를 손에 들고 보면 $12$ 개 모서리가 정확히 $3$ 방향(가로·세로·높이)으로 갈리고, 각 방향마다 평행한 모서리가 $4$ 개씩 있다는 게 한눈에 보입니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 큰 문제를 "$4$ 개에서 쌍을 몇 개 만들 수 있나?" 라는 똑같은 작은 문제 세 개로 바꿔 줍니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 한 그룹의 쌍을 순서대로 적어 두면 중복도 누락도 없습니다. 마지막에 세 번 더하면 끝.

실행 — 정답: C

#10 직접 만져보기 4.G.A.1 단계 1

모서리 12개를 방향별로 나누기

휴지 상자나 정육면체 모양의 물체를 손에 들고 모서리 $12$ 개를 살펴봅니다.
모서리는 $3$ 방향으로 정리됩니다: 좌우 방향 $4$ 개, 앞뒤 방향 $4$ 개, 위아래 방향 $4$ 개.
같은 방향끼리는 평행, 다른 방향끼리는 평행하지 않습니다.
결국 $12$ 개 모서리는 $4$ 개씩 세 그룹으로 깔끔하게 나뉩니다.

$$12 \text{ 모서리} = 3 \text{ 방향} \times 4 \text{ 모서리/방향}$$

💡 정육면체를 직접 만져 보면 세 방향이 바로 보이고, "같은 방향" 이 곧 "평행" 임을 자연스럽게 알 수 있습니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.A.3 단계 2

한 방향씩 따로 보기

이제 한 방향씩 따로 떼어 작은 문제로 다룹니다.
"전체 평행 쌍은 몇 개인가?" 라는 질문은 "$4$ 개의 모서리에서 쌍을 몇 개 만들 수 있는가?" 라는 똑같은 문제 세 개와, 마지막에 합치는 한 단계로 바뀝니다.

$$\text{전체 쌍} = 3 \times (\text{한 그룹의 쌍 수})$$

💡 어려운 한 번의 세기를 똑같이 쉬운 세 번의 세기로 바꾸는 것이 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)의 핵심 동작입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.A.3 단계 3

한 묶음의 짝 적기

한 그룹 안의 쌍을 나열합니다.
한 방향의 모서리 $4$ 개에 $1, 2, 3, 4$ 라는 번호를 매기고, 작은 번호를 큰 번호와 차례로 짝지어 순서대로 적습니다: $\{1,2\}, \{1,3\}, \{1,4\}, \{2,3\}, \{2,4\}, \{3,4\}$.
총 $6$ 쌍이고, 순서 규칙 덕분에 중복도 누락도 생기지 않습니다.

$$\{1,2\}, \{1,3\}, \{1,4\}, \{2,3\}, \{2,4\}, \{3,4\} \;\Rightarrow\; 6 \text{ 쌍}$$

💡 순서 규칙이 분명한 체계적인 나열은 쌍을 중복 없이 세는 가장 안전한 방법입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 3.OA.A.1 단계 4

방향 3개만큼 곱하기

세 방향이 각각 똑같이 $6$ 쌍을 만들고, 한 방향의 쌍은 다른 방향의 쌍과 절대 같아질 수 없습니다(방향 자체가 다르니까).
따라서 전체는 $6$ 쌍짜리 그룹이 $3$ 개입니다.

$$3 \times 6 = 18 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 "$6$ 짜리 묶음이 $3$ 개" 가 바로 3학년 곱셈의 정의 그대로입니다.

[1] #10 4.G.A.1 휴지 상자나 정육면체 모양의 물체를 손에 들고 모서리 $12$ 개를 살펴봅니다. 모서리는 $3$ 방향으로 정리됩니다: 좌우 방향 $4$ 개, 앞

[2] #7 4.OA.A.3 이제 한 방향씩 따로 떼어 작은 문제로 다룹니다. "전체 평행 쌍은 몇 개인가?" 라는 질문은 "$4$ 개의 모서리에서 쌍을 몇 개 만들 수 있

[3] #2 4.OA.A.3 한 그룹 안의 쌍을 나열합니다. 한 방향의 모서리 $4$ 개에 $1, 2, 3, 4$ 라는 번호를 매기고, 작은 번호를 큰 번호와 차례로 짝지어

[4] #7 3.OA.A.1 세 방향이 각각 똑같이 $6$ 쌍을 만들고, 한 방향의 쌍은 다른 방향의 쌍과 절대 같아질 수 없습니다(방향 자체가 다르니까). 따라서 전체는

검토

합리성 확인: 다른 방식으로도 확인해 봅시다. $12$ 개 모서리에서 만들 수 있는 모든 (순서 없는) 쌍은 $12 \times 11 / 2 = 66$ 쌍입니다. 이 중 평행 쌍이 $18$, 수직 쌍(서로 다른 두 방향의 모서리끼리)이 $3 \times (4 \times 4) = 48$이라 합치면 $18 + 48 = 66$. 장부가 정확히 맞습니다. 또한 $18$은 작은 쪽($6, 12$)과 부풀려진 함정($24, 36$) 사이의 자연스러운 값입니다. (D) $24$는 두 방향에서 $(e_1, e_2)$와 $(e_2, e_1)$를 다른 쌍으로 잘못 셀 때, (E) $36$은 세 방향 모두에서 같은 실수를 할 때 나옵니다. (A) $6$은 한 방향만 센 값, (B) $12$는 쌍 수와 모서리 수를 혼동한 값입니다.

대안 접근: 도구 #1(그림 그리기)로 면을 기준으로 세는 방법도 있습니다. 정육면체에는 마주 보는 (평행한) 면이 $3$ 쌍 있고, 각 면 쌍의 둘레를 따라 평행한 모서리 $4$ 개가 놓여 그 방향에서 $\binom{4}{2} = 6$ 쌍을 만듭니다. 면 쌍이 $3$ 쌍이므로 총 $3 \times 6 = 18$. 만져서 세는 대신 그려서 센 같은 답.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

3.OA.A.1 자연수의 곱셈을 "몇 묶음의 몇" 으로 해석하기 (예: $5 \times 7$을 "$5$ 묶음의 $7$") (세 방향 그룹을 합칠 때 $3 \times 6 = 18$을 "$6$ 쌍짜리 묶음이 $3$ 개" 로 읽는 데 사용.)
4.G.A.1 2차원 도형에서 점, 직선, 선분, 반직선, 각, 수직선과 평행선을 그리고 식별하기 (두 모서리가 같은 방향을 가리킬 때만 평행이라는 성질을 인식하고, 그 성질로 정육면체의 모서리 $12$ 개를 세 방향 그룹으로 분류.)
4.OA.A.3 사칙연산을 사용한 다단계 문장제 해결 (전체 세기를 세 개의 똑같은 작은 문제(방향별)로 쪼개고, 한 그룹에서 $6$ 쌍을 나열한 뒤 부분 결과를 하나의 총합으로 합치는 데 사용.)

⭐ 상자를 손에 들고 모서리만 살펴봐도 방향이 $3$ 개뿐이라, 결국 "$6$ 쌍을 세 번 더하는" 3학년 곱셈 문제로 바뀝니다!