경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2000 · #11
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AMC 8 2000 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
범위 안 수는 39 개뿐이라 전체 확인도 가능하지만, 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 일의 자리 u 별로 묶으면 훨씬 효율적입니다. 각 u (1부터 9) 마다 후보는 1u, 2u, 3u, 4u 네 개뿐이고, "N 이 u 로 나누어떨어지는가?" 라는 질문은 이 네 후보에 똑같이 적용됩니다. 그 다음 도구 #3(가능성 지우기)으로 각 묶음에서 한 번의 나누어떨어짐 규칙으로 비배수를 잘라냅니다. 일의 자리별로 묶으면 39 회 검사가 9 묶음(각 최대 4 개) 검사로 줄어들어 빠지거나 중복될 확률이 훨씬 낮아집니다.
일의 자리로 경우 나누기
일의 자리 u 를 고정(0은 제외). 후보는 늘 1u, 2u, 3u, 4u 네 개, 그중 u 의 배수를 찾습니다.
4학년 자릿값: 두 자리 수 = (십의 자리) × 10 + (일의 자리). u 를 고정하면 변하는 것은 십의 자리뿐입니다.
4.NBT.A.2Make A Systematic List쉬운 경우 세기
쉬운 자리는 넷 다 통과: u=1(모든 수), u=2(짝수), u=5(5로 끝남) — 이렇게 12 개.
세 자리(1, 2, 5)는 거저 얻습니다 — 끝자리만 보면 바로 결정되는 4학년 나누어떨어짐 규칙.
일의 자리 숫자가 1, 2, 5인 경우, 십의 자리 숫자가 무엇이든 범위 안의 모든 후보는 자기 일의 자리 숫자로 나누어떨어진다.
▸ 왜?
일의 자리 숫자가 1인 수는 1로 나누어떨어진다. 어떤 수를 한 번 온전히 세면 바로 그 수 자체이기 때문이다.
▸ 왜?
일의 자리 숫자가 2 또는 5인 수는 십의 자리 부분과 그 마지막 숫자로 나뉘는데, 두 조각 모두 이미 그 마지막 숫자의 배수라서 수 전체도 그 배수가 된다 — 그리고 이는 십의 자리 숫자가 무엇이든 성립한다.
▸ 왜?
두 자리 수를 (십의 자리 숫자)만큼의 십과 (일의 자리 숫자)만큼의 일로 읽는 것은 그저 자리값을 부르는 것일 뿐이다.
▸ 왜?
십은 5가 두 개이면서 2가 다섯 개이므로, 몇 개든 온전한 십은 2의 배수이자 5의 배수다. 그 숫자만큼의 같은 크기 묶음으로 만들어지기 때문이다.
▸ 왜?
마지막 숫자는 자기 자신을 한 번 담은 것이라 자기 자신의 배수이고, 두 조각에서 공통된 그 숫자를 한꺼번에 밖으로 빼내면 두 조각의 합도 여전히 그 숫자의 배수임을 알 수 있다.
중간 경우 세기
중간 경우: u=4는 24·44, u=3은 33, u=6은 36, u=8은 48 — 여기서 5 개 추가.
곱셈구구만 알면 됩니다 — 50까지 u 의 배수를 훑어 일의 자리가 정말 u 인 것만 남깁니다.
3.OA.C.7Eliminate Possibilities빈 경우 확인하기
어렵지만 빈 경우: 7과 9의 배수는 범위 안에서 7·9로 끝나지 않음(다음은 77, 99) — 둘 다 0.
u 의 배수이면서 일의 자리도 u 이려면 u · k 에서 k 가 일정한 조건을 만족해야 하는데, u = 7, 9 에서는 k = 1 다음이 k = 11 이어서 77, 99가 됩니다 — 모두 [11, 49] 바깥.
4.OA.B.4Eliminate Possibilities아홉 경우 합치기
모든 경우를 더하면 4+4+1+2+4+1+0+1+0 = 17, 답은 (C).
빠짐없이 나열한 묶음들은 서로 겹치지 않으므로 (각 수의 일의 자리는 단 하나) 단순히 더하면 됩니다.
3.NBT.A.2Make A Systematic List39 개 수를 일의 자리별로 묶어 한 번에 한 규칙으로 확인하세요. 쉬운 자리 셋(1, 2, 5)만으로 12 개를 얻고, 나머지에서 5 개를 더해 합 17 — 답은 (C).
- 일의 자리로 경우 나누기
- 쉬운 경우 세기
- 중간 경우 세기
- 빈 경우 확인하기
- 아홉 경우 합치기
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