AMC 8 · 2000 · #11

학년 4 number-theory

유형 Casework by Position / Vertex Type └ 세부 유형 Digit Place Position

divisibility-rulesdigit-constraintssystematic-enumeration caseworksystematic-enumerationdigit-constraints ↑ 선수 지식: divisibility-rulesmulti-digit-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

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문제

64 는 일의 자리 숫자 4 로 나누어떨어집니다 (64 ÷ 4 = 16). 10 보다 크고 50 보다 작은 자연수 중에서 자기 자신이 일의 자리 숫자로 나누어떨어지는 수는 몇 개일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2000 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

범위 안 수는 39 개뿐이라 전체 확인도 가능하지만, 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 일의 자리 u 별로 묶으면 훨씬 효율적입니다. 각 u (1 부터 9) 마다 후보는 1u, 2u, 3u, 4u 네 개뿐이고, "N 이 u 로 나누어떨어지는가?" 라는 질문은 이 네 후보에 똑같이 적용됩니다. 그 다음 도구 #3(가능성 지우기)으로 각 묶음에서 한 번의 나누어떨어짐 규칙으로 비배수를 잘라냅니다. 일의 자리별로 묶으면 39 회 검사가 9 묶음(각 최대 4 개) 검사로 줄어들어 빠지거나 중복될 확률이 훨씬 낮아집니다.

1STEP 1

일의 자리 u 를 고정(0 은 제외). 후보는 늘 1u, 2u, 3u, 4u 네 개, 그중 u 의 배수를 찾습니다.

일의 자리 u 의 후보: {10+u, 20+u, 30+u, 40+u}

2STEP 2

쉬운 자리는 넷 다 통과: u=1(모든 수), u=2(짝수), u=5(5 로 끝남) — 이렇게 12 개.

u=1: {11,21,31,41} → 4. u=2: {12,22,32,42} → 4. u=5: {15,25,35,45} → 4.

3STEP 3

중간 경우: u=4 는 24·44, u=3 은 33, u=6 은 36, u=8 은 48 — 여기서 5 개 추가.

u=4: {24,44} → 2. u=3: {33} → 1. u=6: {36} → 1. u=8: {48} → 1.

4STEP 4

어렵지만 빈 경우: 7 과 9 의 배수는 범위 안에서 7·9 로 끝나지 않음(다음은 77, 99) — 둘 다 0.

u=7: { } → 0. u=9: { } → 0.

5STEP 5

모든 경우를 더하면 4+4+1+2+4+1+0+1+0 = 17, 답은 (C).

4_u=1 + 4_u=2 + 1_u=3 + 2_u=4 + 4_u=5 + 1_u=6 + 0_u=7 + 1_u=8 + 0_u=9 = 17 → (C)

정답

17 개 수를 십의 자리별로 다시 적어 누락·중복을 확인합니다. 십의 자리 1: 11, 12, 15 (3 개 — 14 는 4 로 나누어떨어지지 않음). 십의 자리 2: 21, 22, 24, 25 (4). 십의 자리 3: 31, 32, 33, 35, 36 (5). 십의 자리 4: 41, 42, 44, 45, 48 (5). 합계 3 + 4 + 5 + 5 = 17 — 일의 자리별 계산과 일치합니다. 규모 점검: 각 일의 자리당 평균 17 / 9 ≈ 1.9 개가 후보 4 개 중 살아남으니 약 47%, 절반은 "쉬운" 일의 자리이고 절반은 거의 안 나누어지는 자리라는 점을 생각하면 자연스러운 비율입니다.

💡핵심 정리

39 개 수를 일의 자리별로 묶어 한 번에 한 규칙으로 확인하세요. 쉬운 자리 셋(1, 2, 5)만으로 12 개를 얻고, 나머지에서 5 개를 더해 합 17 — 답은 (C).

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