AMC 8 · 2017 · #5

쉬운 모드 학년 4

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문제

다음 분수를 봅시다:

$\frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8}{1+2+3+4+5+6+7+8}$

분자는 $1$ 부터 $8$ 까지의 수를 모두 곱한 값이에요. 분모는 같은 수들을 모두 더한 값입니다.

먼저 분자의 값을 구하고, 그 다음 분모의 값을 구한 뒤, 나눗셈을 해봅시다.

이 분수의 값은 얼마일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

1020

(B)

1120

(C)

1220

(D)

2240

(E)

3360

AMC 8 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 분자는 $1$부터 $8$ 까지의 곱 $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8$, 분모는 같은 수들의 합 $1+2+3+4+5+6+7+8$ 인 분수의 값을 구하고, 다섯 개의 선택지 중 어느 것에 해당하는지 고르는 문제입니다.

주어진 것: 분자 $= 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8$ ($1$부터 $8$까지 자연수의 곱); 분모 $= 1+2+3+4+5+6+7+8$ ($1$부터 $8$까지 자연수의 합); 선택지: (A) $1020$, (B) $1120$, (C) $1220$, (D) $2240$, (E) $3360$

구하는 것: $\dfrac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8}{1+2+3+4+5+6+7+8}$의 값과 그에 해당하는 선택지 (A)$\sim$(E)

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #5 패턴 찾기

한 식 안에 "분모(합)" 와 "분자(곱)" 라는 서로 독립된 두 개의 작은 문제가 들어 있어서, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)의 "각각 구하고 나서 합치기" 가 그대로 들어맞습니다. 분모를 구할 때는 도구 #5(패턴 찾기)가 빛납니다 — $1+2+\cdots+n = \dfrac{n(n+1)}{2}$ 라는 익숙한 패턴으로 $\dfrac{8 \cdot 9}{2} = 36$을 바로 얻습니다. 분모를 손에 쥔 다음에는 분자를 끝까지 곱해 $8! = 40320$을 만들지 말고, 세 번째 작은 문제로 "$36 = 4 \times 9$의 인수가 이미 분자 안에 들어 있다" 는 걸 찾아서 약분으로 해결합니다.

실행 — 정답: B

#5 패턴 찾기 2.NBT.B.5 단계 1

1부터 8까지 더하기

첫 번째 작은 문제: $1$부터 $8$ 까지의 합을 구합니다.
양 끝부터 짝지어 보면 $1+8=9$, $2+7=9$, $3+6=9$, $4+5=9$ — $9$ 짜리 짝이 네 개라는 패턴이 보이고, 그게 곧 공식 $\dfrac{n(n+1)}{2}$입니다.
$n=8$이면 $\dfrac{8 \cdot 9}{2} = 36$입니다.

$$1+2+3+4+5+6+7+8 = \dfrac{8 \cdot 9}{2} = 36$$

💡 $100$ 이내의 자연수 덧셈은 2학년에서 익숙해지는 연산이고, 양 끝부터 짝짓기는 그 덧셈을 더 빨리 끝내는 요령일 뿐입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.A.3 단계 2

새 분모로 다시 쓰기

두 번째 작은 문제: 방금 구한 분모 $36$을 원래 식에 다시 끼워 넣어, 풀어야 할 식을 $\dfrac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8}{36}$로 바꿉니다.

$$\dfrac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8}{1+2+3+4+5+6+7+8} = \dfrac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8}{36}$$

💡 구한 결과를 식에 다시 대입해서 다음 단계로 이어가는 흐름은 4학년 "여러 단계 문장제" 의 핵심 동작입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.B.4 단계 3

분모 인수분해하기

세 번째 작은 문제: 분모 $36$을 분자 안에 이미 들어 있는 인수들로 쪼갭니다.
$36$의 인수쌍을 찾으면 $36 = 4 \times 9 = 4 \times 3 \times 3$ — 그런데 분자에는 $4$, $3$, $6 = 2 \times 3$이 이미 줄지어 있어서 $36$의 인수가 전부 숨어 있습니다.

$$36 = 4 \times 9 = 4 \times 3 \times 3$$

💡 $36$의 인수쌍을 적고 "이미 분자에 있는지" 확인하는 것은 4학년 "인수쌍·약수·배수" 단원 그대로입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NF.A.1 단계 4

같은 인수 약분하기

찾은 인수들을 짝지어 약분합니다.
분자의 $4$가 분모의 $4$와, 분자의 $3$이 분모의 $3$ 하나와, 그리고 $6 = 2 \cdot 3$의 $3$이 남은 $3$과 약분되며 $6$ 자리에는 $2$가 남습니다.
분자·분모를 같은 수로 동시에 나눠 동치인 분수를 얻는 것은, $\tfrac{6}{8} = \tfrac{3}{4}$ 처럼 익숙한 약분과 똑같은 원리입니다.

$$\dfrac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8}{36} = \dfrac{1 \cdot 2 \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{4} \cdot 5 \cdot (2 \cdot \cancel{3}) \cdot 7 \cdot 8}{\cancel{4} \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{3}} = 1 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 8$$

💡 분자와 분모를 같은 수로 나눠 동치 분수를 만드는 것은 4학년 "동치 분수" 규칙을 인수마다 차례로 적용한 것에 불과합니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 3.OA.C.7 단계 5

남은 수 곱하기

남은 곱을 계산합니다.
$2 \times 5 = 10$을 먼저 묶어 두면 손이 편해집니다: $1 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 8 = (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 7) \cdot 8 = 10 \cdot 14 \cdot 8 = 10 \cdot 112 = 1120$ — 선택지 (B)입니다.

$$(2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 7) \cdot 8 = 10 \cdot 14 \cdot 8 = 1120 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 $2 \cdot 5$, $2 \cdot 7$, $14 \cdot 8$, $\times 10$ 모두 $100$ 이내 곱셈 기초 사실이라 3학년 곱셈 유창성으로 충분합니다.

[1] #5 2.NBT.B.5 첫 번째 작은 문제: $1$부터 $8$ 까지의 합을 구합니다. 양 끝부터 짝지어 보면 $1+8=9$, $2+7=9$, $3+6=9$, $4+5=

[2] #7 4.OA.A.3 두 번째 작은 문제: 방금 구한 분모 $36$을 원래 식에 다시 끼워 넣어, 풀어야 할 식을 $\dfrac{1 \cdot 2 \cdot 3 \c

[3] #7 4.OA.B.4 세 번째 작은 문제: 분모 $36$을 분자 안에 이미 들어 있는 인수들로 쪼갭니다. $36$의 인수쌍을 찾으면 $36 = 4 \times 9 =

[4] #7 4.NF.A.1 찾은 인수들을 짝지어 약분합니다. 분자의 $4$가 분모의 $4$와, 분자의 $3$이 분모의 $3$ 하나와, 그리고 $6 = 2 \cdot 3$의

[5] #7 3.OA.C.7 남은 곱을 계산합니다. $2 \times 5 = 10$을 먼저 묶어 두면 손이 편해집니다: $1 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \c

검토

합리성 확인: 정직하게 끝까지 곱해서 확인해 봅시다: $8! = 40320$, $40320 \div 36 = 1120$ — 선택지 (B)와 정확히 일치합니다. 크기 감각으로도 그럴듯한지 봅니다 — $40320 / 36$은 대략 $40000 / 40 = 1000$ 근처여야 하므로 네 자리 수 중 $1000$ 살짝 위인 답이 맞고, (D) $2240$ 이나 (E) $3360$ 처럼 큰 수는 크기부터 어색합니다.

대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기)를 활용한 "배수 판정" 도 있습니다. 분자에는 $7$이 들어 있는데 분모 $36$ 에는 $7$이 없으므로 답은 반드시 $7$의 배수여야 합니다. 선택지를 $7$로 나눠 보면 $1020 \div 7$은 나누어떨어지지 않고, $1120 \div 7 = 160$ ✓, $1220 \div 7$도 나누어떨어지지 않으며, $2240 \div 7 = 320$ ✓, $3360 \div 7 = 480$ ✓ 입니다. 같은 방식으로 분자에 들어 있는 $8$까지 살린 뒤 "$8! / 36$은 $40000 / 40 \approx 1000$ 정도" 라는 크기 추정을 합치면, 후보는 (B) $1120$ 하나만 살아남습니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

2.NBT.B.5 $100$ 이내의 덧셈과 뺄셈을 유창하게 수행 (분모를 구하기 위해 $1+2+\cdots+8 = 36$의 자연수 덧셈을 수행.)
3.OA.C.7 $100$ 이내의 곱셈과 나눗셈을 유창하게 수행 (약분 후 남은 작은 곱셈들 — $2 \times 5$, $2 \times 7 = 14$, $14 \times 8 = 112$, 마지막 $\times 10$ — 을 처리해 $1120$에 도달.)
4.OA.A.3 네 가지 연산을 활용한 여러 단계 문장제 해결 ("합 → 대입 → 약분 → 곱셈" 의 여러 단계를 차례로 연결하는 풀이 흐름 전체.)
4.OA.B.4 인수쌍 찾기와 배수·소수·합성수 판별 ($36 = 4 \times 9 = 4 \times 3 \times 3$으로 분해하고, 그 인수들이 이미 분자의 $4$·$3$·$6$ 안에 들어 있음을 알아채는 데 사용.)
4.NF.A.1 두 분수가 동치임을 설명 (분자·분모에서 공통 인수를 차례로 약분해 동치이지만 훨씬 간단한 분수를 만든 뒤 곱셈을 수행.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 "인수쌍" 과 "동치 분수" 만 알면, 계산기 없이도 영리한 약분만으로 풀 수 있어요!