AMC 10 · 2002 · #1
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AMC 10 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
이 분수는 거대한 지수 때문에 무서워 보일 뿐이다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기)로 일을 세 조각으로 나눈다 — 분자를 인수분해하고, 분모를 합치고, 약분한다. 도구 #9 (더 쉬운 문제로 줄이기)가 지수를 무력화하는 핵심이다 — 분자와 분모에서 공통 인수 10²⁰⁰⁰을 뽑아내면 거대한 거듭제곱이 한 번에 사라지고, 작은 자연수로 된 아주 작은 분수만 남는다. 그다음 도구 #3 (가능성 지우기)가 '가장 가깝다'를 처리한다 — 값이 5.05로 정해지면 선택지 0.1, 0.2, 1, 10은 모두 멀리 떨어져 있으므로 5만 살아남는다.
분자 인수분해하기
분자의 두 항 모두 10의 거듭제곱이니 작은 쪽을 묶으면 10²⁰⁰⁰(1+10²)=101 · 10²⁰⁰⁰입니다.
밑이 같은 거듭제곱을 더할 때는 가장 작은 거듭제곱을 뽑아낼 수 있어, 지수가 평범한 수로 줄어든다.
같은 밑의 거듭제곱을 더할 때는 가장 작은 거듭제곱을 뽑아낼 수 있고, 그러면 지수가 평범한 수로 줄어든다.
▸ 왜?
모든 항이 공유하는 인수는 합에서 들어낼 수 있고, 안에는 작은 것만 남는다.
▸ 왜?
지수는 밑을 몇 번 쓰는지를 세므로, 작은 거듭제곱이 큰 거듭제곱 안에 인수로 들어 있다.
분모 합치기
분모는 자기 자신을 더한 것이고 10²⁰⁰¹=10 · 10²⁰⁰⁰이므로 2 · 10²⁰⁰¹=20 · 10²⁰⁰⁰입니다.
무엇이든 자기 자신에 더하면 그 두 배일 뿐이고, 10을 하나 더 곱하면 10²⁰⁰¹이 10 · 10²⁰⁰⁰이 된다.
6.EE.A.3Identify Subproblems공통 거듭제곱 10 약분하기
(101 · 10²⁰⁰⁰)/(20 · 10²⁰⁰⁰)에서 공통 인수 10²⁰⁰⁰이 완전히 약분되어 101/20만 남습니다.
분자와 분모가 함께 가진 인수는 아무리 커도 나누면 1이 되어 사라진다.
8.EE.A.1Solve An Easier Related Problem나누고 가장 가까운 선택지 고르기
101/20=5.05이고 0.1, 0.2, 1, 10은 모두 머니, 가장 가까운 선택지는 5, 즉 (D)입니다.
괴물 같던 분수가 101/20으로 줄어들면, 평범한 나눗셈이 어느 선택지가 가장 가까운지 정해 준다.
5.NBT.B.7Eliminate Possibilities모든 항이 같은 밑의 거듭제곱이면 가장 작은 거듭제곱을 뽑아내 약분하라 — 거대한 지수가 사라지고 아주 작은 분수만 남는다.
- 분자 인수분해하기
- 분모 합치기
- 공통 거듭제곱 10 약분하기
- 나누고 가장 가까운 선택지 고르기