AMC 10 · 2002 · #10
학년 8 arithmetic답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
모두 전개하는 대신 좌변의 모양을 보자: (2x+3) 곱하기 어떤 것 더하기 (2x+3) 곱하기 또 다른 것이다. 도구 #16(관점 바꾸기)은 전개하지 말고 이 구조를 읽으라고 한다. 공통 인수 (2x+3)을 밖으로 묶어낼 수 있기 때문이다. 0이 되는 곱의 꼴로 인수분해되면 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 이어받는다: 곱이 0이 되는 것은 인수 중 하나가 0일 때뿐이므로, 어려운 방정식 하나가 쉬운 일차방정식 두 개로 갈라진다. 각각을 풀어 근을 하나씩 구한 뒤 그 근들을 더한다.
공통 인수 묶어내기
두 항이 모두 공통 인수 (2x+3)을 가지므로 묶어내면 (2x+3)[(x-4)+(x-6)] = (2x+3)(2x-10) = 0이다.
모든 조각이 같은 인수를 지니고 있으면, 그 인수를 다시 곱하는 대신 한 번에 묶어낼 수 있다.
6.EE.A.3Change Focus Count The Complement두 일차방정식으로 나누기
곱이 0이 되려면 한 인수가 0이어야 하므로 2x+3=0에서 x=-3/2, 2x-10=0에서 x=5이다.
두 수를 곱해서 0이 되었다면 그중 하나는 0이어야 하므로, 각 인수가 근을 하나씩 내어 준다.
두 수를 곱해 0이 되었다면 그 가운데 하나가 0이었어야 하므로, 각 인수가 근을 하나씩 준다.
▸ 왜?
0이 아닌 두 수를 곱해 0이 될 수 없으므로, 인수 밖에 숨은 근은 없다.
▸ 왜?
공통 인수를 앞으로 빼낸 것이 애초에 합을 곱으로 바꾼다.
두 근을 더하기
5를 10/2로 써서 두 근을 더하면 -3/2+10/2 = 7/2, 즉 보기 (A)이다.
음의 분수와 자연수를 더하는 것은 같은 분모로 맞춰 나란히 놓는 일일 뿐이다.
7.NS.A.1Identify Subproblems두 항이 공통 인수를 가지면 먼저 그것을 묶어내라 — 0이 되는 곱은 각 인수마다 쉬운 방정식 하나로 문제를 쪼개 준다.
- 공통 인수 묶어내기
- 두 일차방정식으로 나누기
- 두 근을 더하기